Společně dokončená topologie

Cofinished topologie je topologie , který může být definován na nějaký soubor X v následujícím způsobem: množina otvorů sestává z prázdné množiny a části X cofinies , to znamená jehož komplement v X je dokončena. Formálně, když označíme $τ$ spoluvytvořenou topologii na X , máme:

\ tau = \ {A \ podmnožina X \ mid X \ setminus A {\ mbox {je dokončeno nebo}} A = \ varnothing \}

nebo jednodušeji definováním topologie prostřednictvím uzavřených :

uzavřen z X jsou X a jeho konečných dílů .

Vlastnosti

Topologie indukované na část Y z X je cofiniteness na Y .
Na libovolné sadě X je společně dokončená topologie nejméně jemná z topologií T 1 .
Pokud X je nekonečný, otevřený nonempty cofiniteness jsou prvky fréchetův filtr na X .
Když X je dokončena, jakákoli část X je cofinite, proto $▼ se$ : ZAŘÍZENÍ cofiniteness je vlastně diskrétní topologie na X .
Když X je nekonečný, co-konečná topologie není oddělena . A fortiori (protože se jedná o T 1 ), nesplňuje žádný z separačních axiomů T 3 , T 4 a T 5 . Prostor X je propojen a místně propojen .
Přesněji řečeno, konvergence posloupnosti závisí na množině A hodnot, kterými opět prochází nekonečně krát:
- má- li A alespoň dva prvky, nemá sekvence žádný limit;
- pokud A = { a }, a je jedinečný limit posloupnosti;
- pokud je prázdná, výsledek konverguje směrem každém bodě X .
Když je X nespočetné, nemá spočítatelný základ sousedství .
Když X má alespoň sílu DC , je spojeno obloukem a místně spojeno obloukem . Jakákoli injektivní mapa segmentu [0, 1] v X je skutečně spojitá.
Jakýkoli prostor poskytovaný společně vytvořenou topologií je kvazi-kompaktní a postupně kompaktní .

Příklady

Pokud X je algebraické potrubí o rozměru maximálně 1, pak její základní topologický prostor je cofinished.

Topologie primárního spektra kruhu ℤ celých čísel je striktně méně jemná než topologie s dokončením, protože singleton tvořený obecným bodem (odpovídající nulovému ideálu) je konečný, ale ne uzavřený.

Varianty

Zdvojnásobením body X (to znamená, že tím, že se topologie produktu z X o hrubé prostor se dvěma prvky), když X je nekonečná množina obdařen společně konečný topologii, získáme kvazi-kompaktní prostor, které nesplňují žádnou separačních axiomů T i .
Podobně konstruujeme codenumerable topology .

Odkaz

(en) Lynn Arthur Steen a J. Arthur Seebach, Jr. , Counterexamples in Topology , Dover ,1995( 1 st ed. Springer , 1978), 244 str. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , číst online ) příklady 18, 19, 20.