V matematice je sada součástí sady , někdy volal síťový set , odkazuje na sadu z podmnožiny této sady.
Buď sada. Sada částí je sada, obecně označovaná , jejíž prvky jsou podmnožinami :
.To je také někdy známý , nebo (gotický), nebo ( P de Weierstrass ).
V Zermelo teorie množin , existence, pro nějaký soubor , z takového souboru , předpokládá se podle axiomu sady dílů a jeho jedinečnost vyplývá z axiomu extensionality .
není nikdy prázdný, protože sada je prázdná a vždy je součástí : , .
Pokud se dvě sady E a F jsou ekvivalentní tehdy a také.
Konečná mohutnostDovolit být množina s n prvky. Pak je sada částí E konečná a má 2 n prvků.
Důkaz indukcíVlastnost je pravdivá na hodnosti 0, protože prázdná sada má ve skutečnosti pouze jednu podmnožinu: samotnou. Předpokládáme skutečnou vlastnost na hodnosti n . Nechť E je množina mající n + 1 prvků; není tedy prázdný; buď má členskou E . Podskupiny E jsou rozděleny do dvou tříd: podskupin, do kterých a patří, a podskupin, do kterých a nepatří. Druhá třída má 2 n prvků indukční hypotézou; první také, protože je v bijekci s druhým, operací, která spočívá v odstranění a . Sada částí E má tedy 2 n + 2 n = 2 n +1 prvků.
Demonstrace přes n n-tic z bitůBez ztráty obecnosti lze předpokládat , že množina E s n prvky se rovná {1,…, n }. Kanonická bijekce ( viz níže ) pak ukazuje, že mohutnost je stejná jako mohutnost množiny n - n- tic , to znamená (srov. „ Uspořádání s opakováním “) na 2 n .
Důkaz binomickým vzorcemExistují části E obsahující K prvků ( K, mezi 0 a n ), a tím podle binomické věty: .
Nekonečná mohutnostPro každé přirozené číslo n máme n <2 n . Tento výsledek se zobecňuje na nekonečnou mohutnost . The cantorova věta uvádí, že všechny podmnožiny nastavenou E (dokončených nebo ne) je striktně vyšší než mohutnosti E : je zde injekci množiny ve všech jeho částí (například sdružující Singleton k níž náleží k prvek ), ale bez bijekce .
O jakékoli množině, kterou lze bijektovat pomocí ℕ, množiny přirozených čísel , se říká, že je spočetná . Cantorova věta ukazuje zejména to, že P (ℕ) nelze spočítat, což lze interpretovat tím, že podmnožiny ℕ nemůžeme vyčerpávajícím způsobem „spočítat“. To znamená, že jakmile máme posloupnost podmnožin ℕ indexovaných celými čísly, nutně najdeme podmnožinu ℕ, která se v této posloupnosti neobjevuje.
Jaká může být mohutnost množiny částí ℕ, tj. Podmnožiny P (ℕ)? Georg Cantor si myslel, že to může být jen konečné, spočetné nebo P (ℕ). Jedná se o hypotézu kontinua, která není v teorii množin ZFC ani prokazatelná, ani vyvrátitelná .
Sada částí sady E , poskytovaná operacemi sjednocení , průniku a doplňování , tvoří typický příklad booleovské algebry . Můžeme zejména ukázat, že jakákoli konečná booleovská algebra je izomorfní s booleovskou algebrou množiny částí konečné množiny. To neplatí pro nekonečné booleovské algebry , ale jakákoli nekonečná booleovská algebra je subalgebrou booleovské algebry množiny částí množiny.
Stejně jako u jakékoli booleovské algebry můžeme definovat prstencovou strukturu zavedením operace definované ze sjednocení a průniku: symetrický rozdíl . Sada částí sady E opatřená symetrickým rozdílem je abelianská skupina . Neutrálním prvkem je prázdná množina . Každá podmnožina je svým opakem. Tato stejná sada je komutativní poloskupina, pokud je k dispozici s operací průniku. Můžeme tedy ukázat (pomocí zákonů distributivity ), že množina částí množiny, obdařená symetrickým rozdílem a průsečíkem, je komutativním prstencem, jehož každý prvek je idempotentní ( x 2 = x , zde je produkt průsečík), to znamená booleovský kruh (naopak k jakémukoli booleovskému kruhu můžeme přiřadit booleovskou algebru).
Zvažte sadu tří prvků. Podmnožiny jsou:
Sada částí je tedy:
.Okamžitě zkontrolujeme, že to máme .
V teorii množin, X Y znamená sadu aplikací Y na X . Protože 2 lze definovat jako množinu {0, 1} v konstrukci von Neumannův přirozených celých čísel , 2 E může označovat množinu funkcí z E v {0, 1}.
Existuje kanonická bijekce mezi 2 E a . Může se tedy stát, že identifikujeme 2 E a .
(en) Eric W. Weisstein , „ Power Set “ , na MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">