V matematice , přesněji v teorii množin , je nekonečná množina množina, která není konečná , to znamená, že neexistuje způsob, jak „spočítat“ prvky této množiny do l pomocí omezené množiny celých čísel. Sada v bijekci s nekonečnou sadou je tedy nekonečná.
Jakákoli sada obsahující spočetnou sadu je nekonečná.
O množině E se říká, že je nekonečná (v obvyklém smyslu), pokud pro žádné přirozené celé číslo n neexistuje bijekce {0, 1,…, n - 1} (přirozená celá čísla striktně menší než n ) v této množině E .
V Zermelově teorii ( Z ) nám axiom nekonečna umožňuje sestrojit množinu ℕ přirozených celých čísel, která je pak nekonečnou množinou. S jedinými dalšími axiomy ZFC nemůžeme ukázat existenci nekonečných množin.
O sadě se říká, že je nekonečná ve smyslu Dedekinda, pokud je ekvipotentní k jedné ze svých správných částí .
Sada je nekonečná ve smyslu Dedekinda právě tehdy, pokud obsahuje spočetnou sadu.
V teorii Z je jakákoli nekonečná množina ve smyslu Dedekinda nekonečná (v obvyklém smyslu). V ZF (bez axiomu výběru ), je hovořit není prokazatelný . Stane se to, když přidáme axiom volby ( ZFC ) a postačuje axiom spočetné volby :
Díky spočítatelné volbě „nekonečný“ ⇒ „nekonečný ve smyslu Dedekinda“.Nechť X je nekonečná množina. Pro každé přirozené celé číslo n , množina X n o n -tuples z různých prvků X je tedy neprázdný, tak, že existuje (o spočetnou výběru) se sekvenci ( y n ) tak, že pro všechna n , y n = ( y n , 1 ,…, y n , n ) ∈ X n . Poté se můžeme definovat indukcí s injekční f o ℕ v X podle nastavení, pro všechna n , f ( n ) = y p , q , kde ( p , q ) je nejmenší dvojice (pro lexikografické pořadí ) tak, že y p , q ∉ { f ( k ) | k < n }.
Můžeme ukázat, že ekvivalence mezi „nekonečným“ a „nekonečným ve smyslu Dedekinda“ je slabší než axiom spočitatelné volby v tom smyslu, že za předpokladu, že teorie ZF je koherentní, existuje model množin teorie ZF, kde jakákoli nekonečná množina je nekonečná ve smyslu Dedekinda, ale která nesplňuje axiom spočitatelné volby.
Další informace najdete v článku Nekonečná množina ve smyslu Dedekinda (en) .
Za přítomnosti zvoleného axiomu je aritmetika nekonečných kardinálů značně zjednodušena. Zejména :
Tento poslední výsledek má za následek dva předcházející věty Cantor-Bernstein . Stačí si všimnout, že pokud je do λ • 2 injektováno λ ≥ μ, λ + μ (disjunktní spojení) a λ • μ do λ • λ.
Abychom to dokázali, identifikujeme nekonečný kardinál λ s nekonečným počátečním ordinálem . Ve skutečnosti vše dohromady je dobře uspořádatelné podle axiomu volby , tedy ekvipotentní k řadovému. Počáteční pořadové číslo je pořadové číslo, které se nevstřikuje do žádného přísně nižšího pořadového čísla. Můžeme mluvit o nejmenším kardinálovi neprázdné třídy kardinálů, protože třída kardinálů se stává podtřídou třídy ordinálů.
Je zřejmé, že λ je vstřikováno do λ 2 . Předpokládejme, že existuje nekonečný kardinál λ takový, že λ ≠ λ 2 a od nynějška bude λ nazývat nejmenší z nich. Pořadí ≤ 2 definované na λ × λ podle
(α, β) ≤ 2 (α ', β') iff sup (α, β) <sup (α ', β') nebo (sup (α, β) = sup (α ', β') a α < α ') nebo (sup (α, β) = sup (α', β ') a α = α' a β ≤ β 'je dobrá objednávka.
Tento dobrý řád je izomorfní od f k ordinálnímu γ, s γ ≥ karta (γ)> λ podle hypotézy o λ. Protože λ <γ, λ má předchůdce (α, β) bijekcí f . Protože karta (α) ≤ α <λ a karta (β) ≤ β <λ, nastavením δ = sup (α, β) máme δ <λ, proto karta (δ) <λ: tato poslední nerovnost je ve skutečnosti nerovností mezi kardinály, protože λ je počáteční ordinál. Výběrem objednávky ≤ 2 {(ζ, η) | (ζ, η) < 2 (α, β)} ⊆ (α +1) × (β + 1), takže f - 1 omezené na λ definuje injekci λ do (δ + 1) 2 . Protože λ je nekonečné, (δ + 1) 2 také, tak δ + 1, a proto také δ. Takže karta (δ + 1) = karta (δ).
Stejně jako karta (δ) <λ, karta (δ) ≠ karta (δ) 2 , což je v rozporu s minimem λ. Pro libovolného nekonečného kardinála λ máme λ = λ 2 .
Ukazuje se, že ekvipotence jakékoli nekonečné množiny s jejím kartézským čtvercem je dokonce ekvivalentní axiomu volby, jak ukázal Alfred Tarski (viz Ordinal de Hartogs, odstavec o kardinálním součinu ).