V matematice a logice je důkazem strukturovaná sada správných kroků uvažování.
Při důkazu, každý krok je buď axiom (získaná skutečnost), nebo použití z pravidla , což umožňuje potvrdit, že problém je závěr , je logický důsledek jednoho nebo více dalších tvrzení, že prostory z pravidlo. Areálem jsou buď axiomy, nebo návrhy, které již byly získány jako závěry z použití jiných pravidel. Věta, která je závěrem posledního kroku důkazu, je věta .
Termín „ proof “ se někdy používá jako synonymum pro demonstraci přitažlivostí z anglického proof .
Demonstrace se zásadně liší od argumentace , což je další forma uvažování , při níž se používají kvalitativní argumenty, případně s odkazem na čísla, s cílem přimět někoho jednat.
Ve Fitchově stylu přirozené dedukce je důkazem „konečná řada vzorců, z nichž každá je buď axiomem, nebo bezprostředním důsledkem předcházejících forem na základě pravidla závěru . “ Od přirozené dedukce , důkaz je strom .
Obecně platí, že důkazem je „odůvodnění, které umožňuje stanovit tvrzení“ .
Ve svém dokumentu věnovaném Fermat je poslední teorém , Simon Singh ptá matematici včetně John Conway , Bary Mazur , Ken Ribet , John Coates , Richard Taylor objasnit pojem důkaz v matematice. Neformálně nabízejí: „řadu argumentů založených na logických dedukcích, které od sebe plynou krok za krokem, dokud neprovedete důkladný důkaz“ .
Na Euklide najdeme první důsledné demonstrace .
Před příchodem formální logiky koncept absolutního důkazu odkazoval na myšlenku důkazu, který nesporně prokazuje návrh, který má být prokázán, rozhodující pro všechny, všude a vždy, což ukazuje, že dané řešení bylo implicitně připuštěno všemi odůvodněnými lidmi.
Samotný koncept důkazu však vyžaduje základní znalosti, aby bylo možné zřídit prostory. Myšlenka absolutní demonstrace, to znamená bez jakéhokoli předpokladu, se pak jeví jako absurdní, protože demonstrace je diskurz, který jde od známého k neznámému. Z tohoto pozorování se demonstrace přiklání k demonstraci vztahující se k pravdivosti jejích předpokladů.
Pro zjištění pravdivosti těchto předpokladů je nutné určit věrohodnost zásad, subjektů a vlastností, které tyto předpoklady znamenají.
Pokud jde o „zásady, je třeba vědět, že jsou pravdivé“, jejich pravdy jsou stanoveny buď skutečností, že jsou zřejmé, nebo že byly již dříve prokázány. Tato myšlenka důkazů odkazuje na apodiktickou pravdu . a vysvětluje, proč se pojem apodiktický důkaz někdy používá jako synonymum pro absolutní důkaz.
Pokud jde o subjekty, jsou známy svou podstatou a existencí. Podstata je známa z definice a existence není prokázána, vždy se předpokládá.
Stručně řečeno, v absolutních číslech by bylo v konečném důsledku nutné, aby byly první předpoklady samy předvedeny, aby se vytvořil skutečný a absolutní základ. Jinými slovy, nejvyšší možná úroveň pravdy premisy je v nejlepším případě apodiktická pravda . Za tímto účelem se několik logiků pokouší založit systémy logiky nebo matematiky na prokazatelných základech, zejména během krize matematických základů .
Ve své Cours d'Analyse de l'École royale polytechnique publikované v roce 1821 přednesl Cauchy prohlášení o teorému mezilehlých hodnot, jako je věta IV kapitoly II, poté předvedl demonstraci (viz obrázky výše).
Věta o mezilehlé hodnotě (začátek)
Věta o střední hodnotě (konec)
Jednou předvedený návrh lze pak sám použít v dalších předvádění. V každé situaci, kdy jsou původní návrhy pravdivé, by uvedená nabídka měla být pravdivá; mohlo by to být zpochybněno pouze zpochybněním jednoho nebo více původních návrhů nebo samotného systému pravidel dedukce.
Tento popis může být ideální. Stává se, že demonstrace je částečně založena na intuici, například geometrické, a proto všechny přijaté vlastnosti, axiomy , nejsou explicitní. Důkazy geometrie, které lze najít v Euklidových prvcích, jsou například dodnes považovány za modely přísnosti, zatímco Euklid spoléhá částečně na implicitní axiomy, jak ukázal David . Hilbert ve svých „ základech geometrie “. Demonstrace matematiků navíc nejsou formální a demonstraci lze v širokém obrysu považovat za správnou, zatímco některé body je třeba vyjasnit ve všech ohledech, i když jiné jsou poznamenány „drobnými“ chybami. Píšeme ukázku ke čtení a přesvědčíme čtenáře a požadovaná úroveň podrobností není stejná v závislosti na jejich znalostech. S příchodem počítačů a systémů na podporu demonstrací však někteří současní matematici píší ukázky, které je třeba ověřit pomocí programů.
Matematické demonstrace procházejí různými fázemi po určité linii dedukce. Některé hlavní typy demonstrací získaly konkrétní názvy.
Matematická logika vyvinula větev, která se věnuje studiu demonstrace a deduktivních systémů a je známý pro své teorie důkazu . Pojem demonstrace je tedy formalizován. Poté mluvíme o formální demonstraci jako o matematickém objektu, který obsahuje všechny fáze dedukce. O vzorci F jazyka L se říká, že je předveden v teorii T právě tehdy, když existuje konečná řada vzorců končících na F, takže:
Někdy je možné prokázat, že určité tvrzení nelze prokázat v určitém axiomatickém systému . V geometrii je Euklidův postulát , nazývaný také axiom rovnoběžek, nezávislý na ostatních axiomech geometrie.
Axiom výběru nelze prokázat teorie množin Zermelo-Fraenkel , ani její negace. Podobně nelze hypotézu kontinua ani její negaci v Zermelo-Fraenkelově teorii demonstrovat pomocí axiomu volby . Říkáme, že tato tvrzení jsou nezávislá na tomto systému axiomů: je tedy možné do teorie množin přidat jak axiom výběru, tak jeho negaci, teorie zůstane koherentní (za předpokladu, že teorie množin je).
Ve skutečnosti, jak uvádí Gödelova věta o neúplnosti , v každé „rozumné“ axiomatické teorii, která obsahuje přirozená čísla, existují teze, které nelze prokázat, když jsou ve skutečnosti „pravdivé“, tj. Přesněji řečeno, že všechny instance , každým z přirozených čísel, dotyčných výroků je prokazatelných.
IT vytvořilo nástroje na podporu demonstrace, které jsou dvou typů: