Sada hlavně

Ve funkční analýze a v polích blízkých matematice je barel set nebo barel v topologickém vektorovém prostoru množina, která je konvexní , absorpční , uzavřená a vyvážená (mnemotechnická, je to barel na kávu).

Definice

Sada E z K -topological vektorovém prostoru X (kde K je non-diskrétní hodnotou pole, které je algebra) je hlavní, je-li: $\ mathbb {R}$

konvexní : ${\ displaystyle \ forall t \ in [0,1], tE + (1-t) E \ podmnožina E}$
vyvážený : ${\ displaystyle \ forall \ lambda \ v K, | \ lambda | \ leq 1 \ Rightarrow \ lambda E \ podmnožina E}$
absorbent : ${\ displaystyle \ forall x \ v X, \ existuje \ alpha \ v \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, \ forall \ lambda \ v K: | \ lambda | \ leq \ alpha \ Rightarrow \ lambda x \ v E}$
Zavřeno

Poznámky .

Topologická je pouze poslední vlastnost (uzavřená).
K tomu, aby byla konvexní E vyvážená (říkáme také „zakroužkovaná“), to stačí ${\ displaystyle \ forall \ lambda \ v K, | \ lambda | = 1 \ Rightarrow \ lambda E \ podmnožina E.}$
Část E je vyvážená konvexní právě tehdy, je-li absolutně konvexní (in) : ${\ displaystyle \ forall \ lambda, \ mu \ v K, | \ lambda | + | \ mu | \ leq 1 \ Rightarrow \ lambda E + \ mu E \ podmnožina E.}$
Aby byla vyvážená část E absorpční, stačí, aby jakýkoli vektor X byl homotetický vektoru E : ${\ displaystyle KE = X.}$

Vlastnosti

Sudy mají zajímavé vlastnosti hlavně v místně konvexním případě. Ve skutečnosti, ať E lokálně konvexní plocha (pole reálnou nebo komplexní), jeho dvojí a T část E . Následující podmínky jsou ekvivalentní: ${\ displaystyle E ^ {\ prime}}$

(a) T je hlaveň;(b) T je polární konvexní, vyvážená a silně ohraničená množina M ;

{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

x \ v E.

{\ displaystyle p (x) \ leq 1}

Tyto ekvivalence jsou důsledkem bipolární věty (tedy Hahn-Banachovy věty ).

Příklady

V polonormovaném vektorovém prostoru je hlavní koule hlavní .
Jakýkoli místně konvexní prostor připouští základ sousedství 0 barelů.

Reference

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Barreled set “ ( viz seznam autorů ) .
(en) „ Barrel “ , na PlanetMath

Podívejte se také

Blokovaný prostor, samostatný topologický vektorový prostor, kde je jakákoli blokovaná množina sousedství 0.