Duální topologický vektorový prostor

• Nebo X sada a sada podmnožin X . Říkáme, že jde o bornologii, pokud (a) je jakákoli část prvku prvku  ; (b) jakékoli konečné spojení prvků prvku je prvkem  ; (c) každý singleton patří . Základna z bornology je podmnožina z tak, že jakýkoli prvek je obsažen v prvku . Pokud X je vektorový prostor na pole k reálných čísel nebo komplexů, je bornology na X se říká, že je kompatibilní s vektorem strukturou z X (nebo se nazývá „vektor“), pokud kromě toho, tyto vlastnosti jsou splněny: (d ) if , then , (e) if and , then . Potom řekneme, že X , poskytnutý s bornologií , je bornologický vektorový prostor , který označujeme . Nechť X je algebraický dual  ; za všechno a všechno , a to buďB{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}B{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}B{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}B{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}B{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}B{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}{X}{\ displaystyle \ left \ {x \ right \}}B{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}B{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}B1{\ displaystyle {\ mathfrak {B}} _ {1}}B{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}B{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}B1{\ displaystyle {\ mathfrak {B}} _ {1}}B{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}NA,B∈B{\ displaystyle A, B \ v {\ mathfrak {B}}}NA+B∈B{\ displaystyle A + B \ v {\ mathfrak {B}}}NA∈B{\ displaystyle A \ v {\ mathfrak {B}}}λ∈k{\ displaystyle \ lambda \ v k}λNA∈B{\ displaystyle \ lambda A \ v {\ mathfrak {B}}}B{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}XB{\ displaystyle X _ {\ mathfrak {B}}}X∗{\ displaystyle X ^ {*}}X∗∈X∗{\ displaystyle x ^ {*} \ v X ^ {*}}NA∈B{\ displaystyle A \ v {\ mathfrak {B}}}

pNA(X∗)=supX∈NA|⟨X,X∗⟩|{\ displaystyle p_ {A} (x ^ {*}) = \ sup \ limity _ {x \ v A} \ levá \ vert \ levá \ langle x, x ^ {\ ast} \ pravá \ rangle \ pravá \ vert }

⟨-,-⟩{\ displaystyle \ left \ langle -, - \ right \ rangle}

(XB)′{\ displaystyle (X _ {\ mathfrak {B}}) ^ {\ prime}}

X∗∈X∗{\ displaystyle x ^ {*} \ v X ^ {*}}

pNA(X∗)<∞{\ displaystyle p_ {A} (x ^ {*}) <\ infty}

NA∈B{\ displaystyle A \ v {\ mathfrak {B}}}

(XB)′{\ displaystyle (X _ {\ mathfrak {B}}) ^ {\ prime}}

X∗{\ displaystyle X ^ {*}}

pNA,NA∈B{\ displaystyle p_ {A}, A \ in {\ mathfrak {B}}}

(XB)′{\ displaystyle (X _ {\ mathfrak {B}}) ^ {\ prime}}

XB{\ displaystyle X _ {\ mathfrak {B}}}

B{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}

B1⊂B2{\ displaystyle {\ mathfrak {B}} _ {1} \ podmnožina {\ mathfrak {B}} _ {2}}

B1{\ displaystyle {\ mathfrak {B}} _ {1}}

B2{\ displaystyle {\ mathfrak {B}} _ {2}}

XB1{\ displaystyle X _ {{\ mathfrak {B}} _ {1}}}

XB2{\ displaystyle X _ {{\ mathfrak {B}} _ {2}}}

• Nechť E je lokálně konvexní prostor. Připomeňme, že množina je řekl, aby byl ohraničen , pokud je absorbován jakýmkoliv okolí 0. Řekneme, že bornology of E je kompatibilní s topologií E (nebo je řekl, aby byl přizpůsoben ), jestliže pro všechny , je omezená a jeho dodržování je omezené. Lokálně konvexní prostor opatřený adaptovanou terminalogií se nazývá prostor disku . Získáme místo na disku z místně konvexní prostoru tím, že se jako bornology, například sadu ohraničených oblastí E ( kanonické bornology ) nebo sady prekompaktní částí o E ; nebo znovu, pokud je E oddělené, přičemž základem bornologie jsou kompaktní „disky“ (disk je vyvážená konvexní část ).NA⊂E{\ displaystyle A \ podmnožina E}B{\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}NA∈B{\ displaystyle A \ v {\ mathfrak {B}}}
• Ve všem, co následuje, E je místně konvexní prostor, je jeho topologické dual a je bornology of E . Nechť F je druhý lokálně konvexní prostor. Označíme prostor spojitých lineárních map E v F , obdařený -topologií, konkrétně topologií jednotné konvergence na částech . Sur , -topologie je lokálně konvexní a shoduje se s -topologií, kde je nejmenší bornologie přizpůsobená E obsahující (nebo jinými slovy topologie přizpůsobená E generovaná ).E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}LS(E;F){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathfrak {S}} (E; F)}S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}L(E;F){\ displaystyle {\ mathcal {L}} (E; F)}S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}S~{\ displaystyle {\ mathfrak {\ tilde {S}}}}S~{\ displaystyle {\ mathfrak {\ tilde {S}}}}S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}
• To platí v případě, že F = k , tedy kde , a poté je zaznamenáno . Pokud není uvedeno jinak, označuje bornologii přizpůsobenou E ; pokud to nebude v případě, nejmenší bornology přizpůsobit E obsahující třeba poznamenat . Rodina polárních prvků formy tvoří základ sousedství 0 v . Máme (jinými slovy, bornologie je jemnější než ) tehdy a jen tehdy, když -topologie of je méně jemná než její -topologie, jinými slovy všechno otevřené v je otevřené v  ; naopak, jakákoli předkompaktní sada je předkompaktní v .L(E;F)=E′{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (E; F) = E '}LS(E;F){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathfrak {S}} (E; F)}ES′{\ displaystyle E _ {\ mathfrak {S}} ^ {\ prime}}S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}S~{\ displaystyle {\ mathfrak {\ tilde {S}}}}S0{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} ^ {0}}S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}ES′{\ displaystyle E _ {\ mathfrak {S}} ^ {\ prime}}S1⊂S2{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {1} \ podmnožina {\ mathfrak {S}} _ {2}}S1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {1}}S2{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {2}}S1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {1}}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}S2{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {2}}ES1′{\ displaystyle E _ {{\ mathfrak {S}} _ {1}} ^ {\ prime}}ES2′{\ displaystyle E _ {{\ mathfrak {S}} _ {2}} ^ {\ prime}}ES2′{\ displaystyle E _ {{\ mathfrak {S}} _ {2}} ^ {\ prime}}ES1′{\ displaystyle E _ {{\ mathfrak {S}} _ {1}} ^ {\ prime}}

Nejběžnější bornologie včetně následujících:

S=σ{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} = \ sigma}

σ(E′,E){\ displaystyle \ sigma (E ^ {\ prime}, E)}

E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

σ(E′,E′′){\ displaystyle \ sigma (E ^ {\ prime}, E ^ {\ prime \ prime})}

σ{\ displaystyle \ sigma}

σ~{\ displaystyle {\ tilde {\ sigma}}}

S=y{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} = \ gamma}

S=vs.{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} = c}

S=ρ{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} = \ rho}

S=κ{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} = \ kappa}

S=β{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} = \ beta}

β(E′,E){\ displaystyle \ beta (E ^ {\ prime}, E)}

E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

Výše uvedené -topologie přecházejí od nejméně jemné po nejjemnější (zatímco bornologie přecházejí od nejjemnější k nejméně jemné). S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}

Rovnoměrné části duálu E.

V následujícím textu (resp. ) Označuje vektorový prostor E poskytnutý s počáteční topologií (resp. Slabá topologie ). Když mluvíme o polární níže , je to relativní k dualitě mezi E a . Eι{\ displaystyle E _ {\ iota}}Eσ{\ displaystyle E _ {\ sigma}}ι(E){\ displaystyle \ iota (E)}σ(E,E′){\ displaystyle \ sigma (E, E ^ {\ prime})}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

• Připomeňme si, že část M o je equicontinuous tehdy a jen tehdy, pokudE′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}

Eι{\ displaystyle E _ {\ iota}}

|⟨X,X′⟩|≤ε{\ Displaystyle \ left \ vert \ left \ langle x, x ^ {\ prime} \ right \ rangle \ right \ vert \ leq \ varepsilon}

X∈PROTI{\ displaystyle x \ ve V}

X′∈M{\ displaystyle x ^ {\ prime} \ v M}

• Pokud je M součástí , snadno ukážeme, že následující podmínky jsou ekvivalentní:E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

Eι{\ displaystyle E _ {\ iota}}

Eι{\ displaystyle E _ {\ iota}}

Proto je topologie identická s topologií jednotné konvergence na ekvikontinuálních částech . ι(E){\ displaystyle \ iota (E)}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

Rovnoměrné části jsou ohraničeny a ohraničené části jsou ohraničeny . Následující výsledek se nazývá Banachova-Alaoglu-Bourbakiho věta  ; zobecňuje Banach-Alaoglu teorém , platný v případě Banachových prostorů: E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}Eσ′{\ displaystyle E _ {\ sigma} ^ {\ prime}}

Věta  -  Jakákoli ekvivalentní část je relativně slabá pro slabou topologii . E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}σ(E′,E){\ displaystyle \ sigma (E ^ {\ prime}, E)}

Máme následující charakterizaci zatarasených prostorů  :

Věta  -  Nechť E je lokálně konvexní prostor. Následující podmínky jsou ekvivalentní:

(a) E je hlavní;

(b) equicontinuous části dvojí z E se shodují s ohraničených částí . E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}Eσ′{\ displaystyle E _ {\ sigma} ^ {\ prime}}

Pojďme k klasifikaci omezených částí dvojí of E  : E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

σ(E′,E){\ displaystyle \ sigma (E ^ {\ prime}, E)}

σ(E′,E){\ displaystyle \ sigma (E ^ {\ prime}, E)}

Obecně platí, že (a) (b) (c) (d), (b) (c ') (d). ⊂{\ displaystyle \ podmnožina}⊂{\ displaystyle \ podmnožina}⊂{\ displaystyle \ podmnožina}⊂{\ displaystyle \ podmnožina}⊂{\ displaystyle \ podmnožina}

Zvláštní případy jsou: (a) = (b) if, a pouze v případě, že E je Mackeyův prostor (viz níže ), (a) = (c ') if, a pouze v případě, že E je infratonální prostor (dostatečná podmínka, takže že máme tuto rovnost proto, že E je bornologické ), (b) = (d) jestliže, a pouze pokud je pro topologii téměř úplné , (c ') = (d) je- li E semi-reflexivní (viz níže ) nebo polokompletní (zejména je- li E kvazikompletní), (a) = (d) právě tehdy, když E je sudový prostor ( Banachova-Steinhausova věta ). E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}σ(E′,E){\ displaystyle \ sigma (E ^ {\ prime}, E)}

Kromě toho, pokud E je omezený a poloúplný lokálně konvexní prostor , výše uvedené množiny se shodují s:

S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}

E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}

• Zohlednění rovnocenných podmnožin umožňuje získat kritérium úplnosti E , kvůli Grothendieckovi:E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

Eσ′{\ displaystyle E _ {\ sigma} ^ {\ prime}}

E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

σ(E′,E){\ displaystyle \ sigma (E ^ {\ prime}, E)}

Duální vlastnosti

Nechť E je samostatný lokálně konvexní prostor a bornologie. S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}

Nahoře jsme viděli, že je to samostatný lokálně konvexní prostor. ES′{\ displaystyle E _ {\ mathfrak {S}} ^ {\ prime}}

Pokud E je sudový prostor, je téměř kompletní . ES′{\ displaystyle E _ {\ mathfrak {S}} ^ {\ prime}}

Pokud E je bornologický prostor , silná dvojnice je úplná (a je to prostor (DF), pokud je E metrizovatelný). Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}

Pokud E je normalizovaný prostor (tedy bornologický), je plně normalizovaný, proto Banachův prostor. Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}

Topologie E kompatibilní s dualitou

Nebo E a F dvě mezery oddělující dualitu a znovu zvážit, pro všechny , lineární formu na E . Je místně konvexní topologie na E . Říká se, že se v souladu s dualitu mezi E a F , pokud je bijection z F na dvojí místně konvexní plochy, získané tím, že E se . y∈F{\ displaystyle \ v F}dy{\ displaystyle d_ {y}}T{\ displaystyle {\ mathfrak {T}}}d:y↦dy{\ displaystyle d: y \ mapsto d_ {y}}T{\ displaystyle {\ mathfrak {T}}}

Topologie je zjevně kompatibilní s dualitou. Následující výsledek je způsoben Mackeyem: σ(E,F){\ displaystyle \ sigma (E, F)}

Věta a definice  -  (1) nazýváme topologie Mackey se v -topology kde je množina konvexních částí F , kompaktní pro . Tato topologie je zaznamenána . S′{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} ^ {\ prime}}S′{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} ^ {\ prime}}σ(F,E){\ displaystyle \ sigma (F, E)}τ(E,F){\ displaystyle \ tau (E, F)}

(2) Topologie je kompatibilní s dualitou mezi E a F , a to pouze v případě, že je jemnější než a méně jemná než . T{\ displaystyle {\ mathfrak {T}}}σ(E,F){\ displaystyle \ sigma (E, F)}τ(E,F){\ displaystyle \ tau (E, F)}

Konvexní části uzavřené v E a tyto části jsou popsány v E jsou stejné pro všechny topologie lokálně konvexní kompatibilní s dualitu mezi E a F . Můžeme tedy hovořit o uzavřené konvexní části nebo o ohraničené části E bez přesnosti topologie .

Nechť E je nyní samostatný lokálně konvexní prostor. Jeho topologie je kompatibilní s dualitou mezi E a je tedy méně jemná než . Pokud se shoduje s , E se nazývá prostor Mackey (en) ( infratonneléovy prostory a bornologické prostory - tedy pole lokálně konvexní metrisovatelné - jsou Mackeyovy prostory). Nechť E je dvojí  ; topologie je méně jemná než  ; pokud je E téměř kompletní, a tyto tři topologie jsou proto méně jemné než . ι(E){\ displaystyle \ iota (E)}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}ι(E){\ displaystyle \ iota (E)}τ(E,E′){\ displaystyle \ tau (E, E ^ {\ prime})}τ(E,E′){\ displaystyle \ tau (E, E ^ {\ prime})} E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}y(E′,E){\ displaystyle \ gamma (E ^ {\ prime}, E)}τ(E′,E){\ displaystyle \ tau (E ^ {\ prime}, E)}y(E′,E)=vs.(E′,E)=κ(E′,E){\ displaystyle \ gamma (E ^ {\ prime}, E) = c (E ^ {\ prime}, E) = \ kappa (E ^ {\ prime}, E)}τ(E′,E){\ displaystyle \ tau (E ^ {\ prime}, E)}

Nechť E a F jsou lokálně konvexní mezery a spojitá mapa. Pak je slabě spojitý (tj. Je spojitý pro topologie a ). Naopak, pokud u je slabě spojitý, je spojitý pro Mackeyovy topologie a  ; zejména je to spojité pro topologie a pokud E je Mackeyův prostor. u:E→F{\ displaystyle u: E \ rightarrow F}σ(E,E′){\ displaystyle \ sigma (E, E ^ {\ prime})}σ(F,F′){\ displaystyle \ sigma (F, F ^ {\ prime})}τ(E,E′){\ displaystyle \ tau (E, E ^ {\ prime})}τ(F,F′){\ displaystyle \ tau (F, F ^ {\ prime})}ι(E){\ displaystyle \ iota (E)}ι(F){\ displaystyle \ iota (F)}

Transponováno z kontinuální lineární mapy

Nechť a být dvě oddělené lokálně konvexní prostory, které mají pro duals a , a kontinuální lineární mapy (tj kontinuální topologií , ). Protože je slabě spojitý, připouští slabě spojitou transpozici . Ukazujeme, že je spojitý pro všechny -topologie, kde je prostředník mezi a , stejně jako pro topologie Mackey ( ). E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}E1′{\ displaystyle E_ {1} ^ {\ prime}}E2′{\ displaystyle E_ {2} ^ {\ prime}}u:E1→E2{\ displaystyle u: E_ {1} \ rightarrow E_ {2}}ι(Ei){\ displaystyle \ iota (E_ {i})}i=1,2{\ displaystyle i = 1,2}tu:F′→E′{\ displaystyle ^ {t} u: F ^ {\ prime} \ rightarrow E ^ {\ prime}}tu{\ displaystyle ^ {t} u}S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}S(Ei′,Ei){\ displaystyle {\ mathfrak {S}} (E_ {i} ^ {\ prime}, E_ {i})}S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}σ{\ displaystyle \ sigma}β{\ displaystyle \ beta}τ(Ei′,Ei){\ displaystyle \ tau (E_ {i} ^ {\ prime}, E_ {i})}i=1,2{\ displaystyle i = 1,2}

Bidual

Definice

• Nechť E je samostatný lokálně konvexní prostor a jeho silný dvojník. Topologie není obecně kompatibilní s dualitou mezi a E , jinými slovy silná topologie je jemnější než Mackeyova topologie a obecně se s touto neshoduje. Duální je známý a je nazýván bidual z E .Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}β(E′,E){\ displaystyle \ beta (E ^ {\ prime}, E)}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}β(E′,E){\ displaystyle \ beta (E ^ {\ prime}, E)}τ(E′,E){\ displaystyle \ tau (E ^ {\ prime}, E)}Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}E′′{\ displaystyle E ^ {\ prime \ prime}}

Buď  ; aplikace je nepřetržitá pro , proto a fortiori pro . Máme na všechno, pokud, a pouze pokud X∈E{\ displaystyle x \ v E}vs.E(X):X′↦ <X,X′>{\ displaystyle c_ {E} (x): x ^ {\ prime} \ mapsto <x, x ^ {\ prime}>}σ(E′,E){\ displaystyle \ sigma (E ^ {\ prime}, E)}β(E′,E){\ displaystyle \ beta (E ^ {\ prime}, E)}<X,X′> =0{\ displaystyle <x, x ^ {\ prime}> = 0}X′∈E′{\ displaystyle x ^ {\ prime} \ v E ^ {\ prime}}

X∈(E′)0=(ker⁡(0))0=im(t0)¯=0¯=0{\ displaystyle x \ in \ left (E ^ {\ prime} \ right) ^ {0} = \ left (\ ker \ left (0 \ right) \ right) ^ {0} = {\ overline {\ rm { im \ left (^ {t} 0 \ right)}}} = {\ bar {0}} = 0}

protože E je oddělené. V důsledku toho je lineární mapa injekcí E do , která se nazývá kanonická . vs.E:X↦vs.E(X){\ displaystyle c_ {E}: x \ mapsto c_ {E} (x)}E′′{\ displaystyle E ^ {\ prime \ prime}}

• Silná topologie na , to znamená, je -topologie, kde je sada ohraničených částí . Jak jsme viděli výše, topologie je -topologie, kde je množina ekvivalentních částí . Vzhledem k tomu, jakýkoliv equicontinuous sada je silně ohraničený ,, a topologie je proto méně jemná než topologie indukována na E o . Tyto dvě topologie se shodují, pokud je E bornologické nebo sudové, protože v tomto případě se ekvivalentní části shodují se silně ohraničenými částmi.E′′{\ displaystyle E ^ {\ prime \ prime}}β(E′′,E′){\ displaystyle \ beta (E ^ {\ prime \ prime}, E ^ {\ prime})}S1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {1}}S1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {1}}Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}ι(E){\ displaystyle \ iota (E)}S2{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {2}}S2{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {2}}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}S2⊂S1{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {2} \ podmnožina {\ mathfrak {S}} _ {1}}ι(E){\ displaystyle \ iota (E)}β(E′′,E′){\ displaystyle \ beta (E ^ {\ prime \ prime}, E ^ {\ prime})}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

Zejména pokud E je lokálně konvexní měřitelný prostor, je to bornologické; jeho silný bidual je pak Fréchetův prostor a E je topologický vektorový podprostor , uzavřený, pokud je E sám Fréchetovým prostorem. Eβ′′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime \ prime}}Eβ′′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime \ prime}}Eβ′′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime \ prime}}

• Je také definován na tzv. „Přirozené“ topologii. Jedná se o topologii, kde označuje množinu ekvivalentních částí (v tomto případě ). Z toho, co jsme viděli výše, tato topologie indukuje svou počáteční topologii na E (odtud název „přírodní topologie“). Je méně jemné než (a identické s tímto, pokud je E bornologické nebo sudové) a definuje se ve stejných ohraničených částech.E′′{\ displaystyle E ^ {\ prime \ prime}}ε(E′′,E′){\ displaystyle \ varepsilon (E ^ {\ prime \ prime}, E ^ {\ prime})}ε{\ displaystyle \ varepsilon}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}β(E′′,E′){\ displaystyle \ beta (E ^ {\ prime \ prime}, E ^ {\ prime})}E′′{\ displaystyle E ^ {\ prime \ prime}}

Semireflexní prostory

Samostatná lokálně konvexní prostor E se říká, že semi-reflexní , pokud je kanonický injekce je bijective, jinými slovy, pokud, jak je vektorových prostorech , E a shodují. vs.E{\ displaystyle c_ {E}}E′′{\ displaystyle E ^ {\ prime \ prime}}

Prostor E je semireflexní tehdy a jen tehdy, je-li topologie kompatibilní s dualitou mezi E a , tj. Pokud . β(E′,E){\ displaystyle \ beta (E ^ {\ prime}, E)}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}β(E′,E)=τ(E′,E){\ displaystyle \ beta (E ^ {\ prime}, E) = \ tau (E ^ {\ prime}, E)}

Pokud je E semi-reflexivní, jsou dvě slabé topologie, na kterých lze definovat (jmenovitě někdy nazývané „nízká topologie  “ a „slabá topologie  “), identické. E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}σ(E′,E){\ displaystyle \ sigma (E ^ {\ prime}, E)}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}σ(E′,E′′){\ displaystyle \ sigma (E ^ {\ prime}, E ^ {\ prime \ prime})}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

Následující věta, nazývaná také Banachova-Alaoglu-Bourbakiho věta , zobecňuje Banach-Alaogluovo kritérium pro reflexivitu Banachových prostorů (nízká kompaktnost jednotkové koule):

Věta  -  Samostatný lokálně konvexní prostor E je semireflexní, pouze tehdy, je-li některá ohraničená část E relativně kompaktní . Eσ{\ displaystyle E _ {\ sigma}}

(Závěr vyplývá z rovnosti s přihlédnutím k tomu, že uzavřený konvexní trup ohraničené části E je stále ohraničený.) β(E′,E)=τ(E′,E){\ displaystyle \ beta (E ^ {\ prime}, E) = \ tau (E ^ {\ prime}, E)}

Prostor E je semireflexní, pokud, a pouze pokud je sudový, a to zjevně znamená, že je sudový; E je pak téměř kompletní pro topologie a  ; přesněji E je semi-reflexivní, pokud, a to pouze v případě, že je téměř kompletní pro svou oslabenou topologii . Eτ′{\ displaystyle E _ {\ tau} ^ {\ prime}}Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}σ(E,E′){\ displaystyle \ sigma (E, E ^ {\ prime})}ι(E){\ displaystyle \ iota (E)}σ(E,E′){\ displaystyle \ sigma (E, E ^ {\ prime})}

Podle toho, co jsme řekli výše, je- li E semi-reflexivní, je bijekce taková, že její vzájemná bijekce je spojitá. vs.E{\ displaystyle c_ {E}}vs.E-1{\ displaystyle c_ {E} ^ {- 1}}

Reflexní prostory

Místně konvexní prostor E se říká, že reflexivní , pokud je semi-reflexivní a v případě, že topologie a shodují. ι(E){\ displaystyle \ iota (E)}β(E,E′){\ displaystyle \ beta (E, E ^ {\ prime})}

Silná dvojnice reflexního prostoru E je reflexivní. Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}

Věta  -  Aby byl samostatný lokálně konvexní prostor E reflexivní, je nutné a dostačující, aby byl semi-reflexivní a sudový.

(Pokud je E reflexivní, tak také je, takže silná dvojnice , jmenovitě E , je barrelová. Naopak, pokud je E semi-reflexní, je bijektivní, a pokud je navíc E barrelová, topologie se shoduje se silnou topologií . ) Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}vs.E{\ displaystyle c_ {E}}ι(E){\ displaystyle \ iota (E)}β(E,E′){\ displaystyle \ beta (E, E ^ {\ prime})}

Můžeme ukázat, že E je reflexivní tehdy a jen tehdy, když E je semireflexní a infratonální (proto je semereflexivní prostor zablokován tehdy a jen tehdy, je-li infratonální); ale semi-reflexivní prostor, který je Mackeyovým prostorem, nemusí být nutně reflexivní. Protože reflexní prostor je semireflexní, je téměř úplný, ale existují reflexní prostory, které nejsou úplné. Kvocient semereflexivního (resp. Reflexního) prostoru uzavřeným podprostorem nemusí být semereflexivní (resp. Reflexní); na rozdíl od toho je uzavřený podprostor semireflexního prostoru semireflexní.

Nechť E je lokálně konvexní prostor. Následující podmínky jsou ekvivalentní:

Eτ{\ displaystyle E _ {\ tau}}

Eτ′{\ displaystyle E _ {\ tau} ^ {\ prime}}

Eσ{\ displaystyle E _ {\ sigma}}

Eσ′{\ displaystyle E _ {\ sigma} ^ {\ prime}}

Eτ{\ displaystyle E _ {\ tau}}

Eτ′{\ displaystyle E _ {\ tau} ^ {\ prime}}

Produktem a přímým topologickým součtem lokálně konvexních semireflexních (resp. Reflexních) prostorů je semireflexní (resp. Reflexní) prostor. Přísným indukčním limitem řady reflexních prostorů je reflexní prostor. Rozlišuje se lokálně konvexní semireflexní prostor .

• Pokud E je Fréchetův prostor, je to, jak jsme viděli výše, uzavřený topologický vektorový podprostor jeho silného bidualu , a E tedy není hustý, pokud není reflexivní. Pokud je semi-reflexivní, je reflexivní, protože se jedná o Mackeyův prostor. To platí zejména pro Banachovy prostory .Eβ′′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime \ prime}}Eβ′′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime \ prime}}

• Podle Rieszovy věty o reprezentaci je Hilbertův prostor reflexivní, proto je jeho jednotková koule slabě kompaktní.

Speciální případy

Teorie duality, jak je vysvětlena výše, je zejména zjednodušena v konkrétních případech studovaných níže.

Téměř úplné promlčené prostory

Případ téměř úplných (nebo dokonce úplných) blokovaných prostorů je velmi důležitý, protože většina prostorů, na které narazíme při funkční analýze, má buď tuto vlastnost, nebo jsou to duální prostory, které tuto vlastnost mají. To je způsobeno skutečností, že Fréchetovy prostory (a tedy Banachovy prostory) jsou sudové a úplné (tedy téměř úplné), že indukční limit rodiny zatarasených prostorů je sudový a že přísný indukční limit posloupnosti téměř úplné (resp. úplné) lokálně konvexní prostory jsou téměř úplné (resp. úplné). Téměř kompletní (nebo dokonce poloúplný) bornologický prostor je barelovaný a jeho silná dvojka je kompletní.

Připomeňme, že pokud E je lokálně konvexní prostor, uzavřené konvexní části v E a ohraničené části v E jsou stejné pro všechny topologie E kompatibilní s dualitou, zejména pro oslabenou topologii a počáteční topologii.

Nechť E je téměř kompletní hlavní prostor. Pak E je Mackeyův prostor, proto je topologický vektorový podprostor jeho dvojného prostoru (a tento podprostor je uzavřen, pokud je E úplný). Kromě toho, ohraničené sady pro jakýkoli bornology z E , jsou identické. Můžeme tedy tyto sady nazývat, bez rizika záměny, omezenými sadami . Tyto sady se shodují s ekvikontinuálními sadami, * -slabšími relativně kompaktními sadami a * -slabými předkompaktními sadami. E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

Zejména nechť E je hlavní prostor a jeho součástí . B′{\ displaystyle \ mathbf {B} ^ {\ prime}}E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

PROTI′{\ displaystyle V ^ {\ prime}}

Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}

α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}

B′⊂λPROTI′{\ displaystyle \ mathbf {B} ^ {\ prime} \ podmnožina \ lambda V ^ {\ prime}}

|λ|≥α{\ Displaystyle \ left \ vert \ lambda \ right \ vert \ geq \ alpha}

B′{\ displaystyle \ mathbf {B} ^ {\ prime}}

ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}

Eι{\ displaystyle E _ {\ iota}}

|⟨X,X′⟩|<ε{\ displaystyle \ left \ vert \ left \ langle x, x ^ {\ prime} \ right \ rangle \ right \ vert <\ varepsilon}

X∈PROTI,X′∈B′{\ displaystyle x \ ve V, x ^ {\ prime} \ v \ mathbf {B} ^ {\ prime}}

B′{\ displaystyle \ mathbf {B} ^ {\ prime}}

X∈E{\ displaystyle x \ v E}

{|⟨X,X′⟩|:X′∈B′}{\ displaystyle \ left \ {\ left \ vert \ left \ langle x, x ^ {\ prime} \ right \ rangle \ right \ vert: x ^ {\ prime} \ in \ mathbf {B} ^ {\ prime} \ že jo \}}

B′{\ displaystyle \ mathbf {B} ^ {\ prime}}

(Xi)i∈Já{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ v I}}

Eι{\ displaystyle E _ {\ iota}}

supX′∈B′|⟨Xi,X′⟩|{\ displaystyle \ sup \ limity _ {x ^ {\ prime} \ v \ mathbf {B} ^ {\ prime}} \ left \ vert \ left \ langle x_ {i}, x ^ {\ prime} \ right \ rangle \ right \ vert}

S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}

S{\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}

E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

Kvazi-kompletní sudový prostor E je reflexivní tehdy a jen tehdy, je-li semi-reflexivní, proto právě tehdy a pouze tehdy, když je jakákoli ohraničená část E relativně kompaktní (tj. Je slabě relativně kompaktní). Eσ{\ displaystyle E _ {\ sigma}}

Tvrzení  -  Lokálně konvexní prostor je barreled, kvazi-úplný a reflexivní, pokud, a to pouze v případě, že jeho silný dual je barreled, quasi-úplný a reflexivní.

Nechť E je téměř kompletní reflexní hlavní prostor. Jeho silná dvojka je proto reflexní. Vzhledem k tomu, E je Mackey prostor ,, takže je reflexivní. Proto je sudový a stejně reflexivní  ; proto je sudový a téměř kompletní. Naopak, pokud se sudové, téměř kompletní a reflexivní, její silná dual se sudové, téměř kompletní a reflexní, ale je to silný dvojí E . Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}ι(E)=τ(E,E′){\ displaystyle \ iota (E) = \ tau (E, E ^ {\ prime})}Eτ{\ displaystyle E _ {\ tau}}Eτ′{\ displaystyle E _ {\ tau} ^ {\ prime}}Eι{\ displaystyle E _ {\ iota}}β(E′,E)=τ(E′,E){\ displaystyle \ beta (E ^ {\ prime}, E) = \ tau (E ^ {\ prime}, E)}Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}Eβ′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime}}

Pokud E je blokovaný, kvazi-úplný a reflexivní prostor, zůstanou vlastnosti (1) a (2) výše platné, pokud si vyměníme role E a . To se děje zejména v teorii distribucí, protože prostor neurčitě diferencovatelných funkcí , označující otevřenou nebo diferenciální varietu konečné parakompaktní dimenze , je reflexivním úplným sudovým prostorem (je to dokonce prostor Montelu plný). E′{\ displaystyle E ^ {\ prime}}Ω{\ displaystyle \ Omega}Rne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}D(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ Omega)}Ω{\ displaystyle \ Omega}

Banachovy prostory

Nechť E je Banachův prostor. Je sudový a kompletní, takže platí vše výše uvedené. Navíc je jeho silný dual je Banachův prostor, stejně jako jeho silný bidual , a E je Banachův podprostor . Buď a . Máme, neboEβ′′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime \ prime}}Eβ′′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime \ prime}}X′′∈E′′{\ displaystyle x ^ {\ prime \ prime} \ v E ^ {\ prime \ prime}}X∈E{\ displaystyle x \ v E}y=X{\ displaystyle y = x}y=X′′{\ displaystyle y = x ^ {\ prime \ prime}}

‖y‖=supX′∈E′,‖X′‖≤1|⟨X′,y⟩|,‖X′‖=supX∈E,‖X‖≤1|⟨X′,X⟩|{\ displaystyle \ left \ Vert y \ right \ Vert = \ sup \ limits _ {x ^ {\ prime} \ v E ^ {\ prime}, \ left \ Vert x ^ {\ prime} \ right \ Vert \ leq 1} \ left \ vert \ left \ langle x ^ {\ prime}, y \ right \ rangle \ right \ vert, \ left \ Vert x ^ {\ prime} \ right \ Vert = \ sup \ limits _ {x \ v E, \ left \ Vert x \ right \ Vert \ leq 1} \ left \ vert \ left \ langle x ^ {\ prime}, x \ right \ rangle \ right \ vert}

proto uzavřená jednotková koule z je bipolární z uzavřené jednotkové koule z . Z tohoto důvodu je adheze pro topologii , takže E je hustá ve vybavení touto topologií. Víme, že E je reflexivní právě tehdy, když je jednotková koule kompaktní pro oslabenou topologii . Pokud E a F jsou dva normalizované vektorové prostory a u je spojitá lineární mapa od E do F , jejíž norma je definována Eβ′′{\ displaystyle E _ {\ beta} ^ {\ prime \ prime}}B00{\ displaystyle \ mathbf {B} ^ {00}}B{\ displaystyle \ mathbf {B}}Eι{\ displaystyle E _ {\ iota}}B00{\ displaystyle \ mathbf {B} ^ {00}}B{\ displaystyle \ mathbf {B}}σ(E′′,E′){\ displaystyle \ sigma (E ^ {\ prime \ prime}, E ^ {\ prime})}E′′{\ displaystyle E ^ {\ prime \ prime}}‖X‖≤1{\ displaystyle \ left \ green x \ right \ green \ leq 1}σ(E,E′){\ displaystyle \ sigma (E, E ^ {\ prime})}

‖u‖=sup‖X‖≤1‖u(X)‖{\ displaystyle \ left \ Vert u \ right \ Vert = \ sup \ limity _ {\ left \ Vert x \ right \ Vert \ leq 1} \ left \ Vert u \ left (x \ right) \ right \ Vert}

z toho odvozujeme . ‖tu‖=‖u‖{\ displaystyle \ left \ green ^ {t} u \ right \ Green = \ left \ Green u \ right \ Green}

Podívejte se také

• Kontinuální lineární aplikace
• Duální topologie
• Plný prostor
• Místo na disku
• Vesmírný stereotyp  (in)
• Zakázaný prostor

Poznámky a odkazy

Poznámky

1. Schwartz 1966
2. Hörmander 1963
3. Palamodov 1970
4. Komatsu 1973
5. Kolmogorov 1935
6. Von Neumann 1935
7. Tyto příspěvky, poprvé vytvořené ve spolupráci s Otto Toeplitzem , jehož byla Köthe žákem, se pohybují v letech 1934 až 1956 (viz zejména bibliografii Köthe 1969 ).
8. Dieudonné 1942
9. Mackey 1945
10. Mackey 1946
11. Dieudonné a Schwartz 1949
12. Bourbaki 1950
13. Grothendieck 1950
14. Grothendieck 1952
15. Grothendieck 1954
16. Grothendieck 1958
17. Bourbaki 2006
18. Od roku 1955 přesto existuje nespočet příspěvků k teorii topologických vektorových prostorů, zejména teorie duality mezi lokálně konvexními prostory a bornologickými vektorovými prostory ( Houzel 1972 ), jejichž vliv je navíc patrný v §III. 3, č. 1 („Bornologies“) od Bourbakiho 2006 v posledním vydání z roku 1981: pojem bornologie, který se vyvinul kolem 70. let, samozřejmě v prvních vydáních této knihy chyběl.
19. Ferrier 2011 .
20. Následující prezentace v podstatě pokračuje (s několika zjednodušeními: zajímáme se hlavně o oddělené lokálně konvexní prostory ) a velmi vzácnými ukázkami z Bourbaki 2006 , doplněnými některými prvky Köthe 1969 a Schaefer a Wolff 1999 .
21. Tato obvyklá notace pro poláry (horní index) je jasně odlišná od not pro interiéry (nad kruhem).NA ∘{\ displaystyle {\ stackrel {\ \ circ} {A}}}
22. Bourbaki 2006 , s.  II.47. Článek „  Polární sada  “ poskytuje jinou definici, a to pouze v euklidovském rámci.
23. Někteří autoři, například ( Bourbaki 2006 , nevyžadují podmínku (c)), a nazývají krycí bornologii bornologií, pro kterou je tato podmínka ověřena.
24. Nezaměňujte vektorový prostor bornologický s prostorem (lokálně konvexní) bornologický . Kategorie bornologických vektorových prostorů je duální oproti kategorii lokálně konvexních prostorů ( Houzel 1972 ).
25. Bourbaki 2006 , kap. III, §3, Prop. 2
26. Houzel 1997 , §3, příklad 3.
27. Banachova počáteční věta byla platná v případě oddělitelných Banachových prostorů  ; Alaoglu to zobecnil pro případ jakýchkoli Banachových prostor.
28. Schwartz 1966 , §III.3, Thm. IX, X, XI.

Reference

• Nicolas Bourbaki "  Na některých topologické vektorové prostory  ," Annals z Institut Fourier , , sv.  2,1950, str.  5-16 ( číst online )
• N. Bourbaki , topologické vektorové prostory , Paříž, Springer,2006, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1953 až 1955) ( ISBN  2-225-68410-3 , číst on-line )
• (en) Jean Dieudonné , „  Dualita v topologických vektorových prostorů  “ , Scientific Annals of ENS, 3 rd Series , sv.  59,1942, str.  107-139 ( číst online )
• Jean Dieudonné a Laurent Schwartz , "  dualita v prostorech (F) a (LF)  ," Annals of Institut Fourier , , sv.  1,1949, str.  61-101 ( číst online )
• Jean-Pierre Ferrier , „  Dualita v EVT v Bourbaki: mezi výstavou a tvorbou  “ ,2011
• Alexandre Grothendieck , „  O dokončení duálu lokálně konvexního vektorového prostoru  “, CR Acad. Sci. Paris , sv.  230,1950, str.  605-606 ( číst online )
• Alexandre Grothendieck , „  Shrnutí základních výsledků v teorii topologických tenzorových produktů a jaderných prostorů  “, Annales de Institut Fourier , sv.  4,1952, str.  73-112 ( číst online )
• (en) Alexandre Grothendieck , „  On spaces (F) and (DF)  “ , Summa Brasiliensis Mathematicae , sv.  3, n o  6,1954, str.  57-123
• Alexandre Grothendieck , Topologické vektorové prostory , Publicação da Sociedade de Matemática de S. Paulo,1958, 1 st  ed. ( číst online )
• (en) Lars Hörmander , operátoři lineárních částečných diferenciálů , Springer Verlag,1963, 1 st  ed. ( číst online )
• Christian Houzel (redaktor), Banach Seminar , Springer Verlag,1972( ISBN  3-540-05934-2 , číst online )
• Christian Houzel , "  Topologické vektorové prostory  ", Encyclopaedia Universalis - slovník matematiky: algebra, analýza, geometrie ,1997, str.  856-870
• (de) Andreï Kolmogorov , „  Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes  “ , Studia Mathematica , sv.  5,1935, str.  29–33 ( číst online )
• (en) Hikosaburo Komatsu (editor), Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations: Proceedings of a Conference at Katata, 1971 , Springer Verlag,1973, 534  s. ( ISBN  3-540-06218-1 , číst online )
• (en) Gottfried Köthe , Topologické vektorové prostory I , Springer Verlag,1969( číst online )
• (en) George W. Mackey , „  Na nekonečně rozměrných lineárních prostorech  “ , Trans. Hořký. Matematika. Soc. , sv.  57,1945, str.  157-205 ( číst online )
• (en) George W. Mackey , „  Na konvexních topologických prostorech  “ , Trans. Hořký. Matematika. Soc. , sv.  60,1946, str.  519-537 ( číst online )
• (en) John von Neumann , „  Na úplných topologických prostorech  “ , Trans. Hořký. Matematika. Soc. , sv.  37, n o  1,1935, str.  1-20 ( číst online )
• (en) Victor P. Palamodov , operátory lineárního diferenciálu s konstantními koeficienty , Springer-Verlag,1970, 448  s. ( ISBN  3-642-46221-9 , číst online )
• (en) Helmut H. Schaefer  (de) a Manfred P. Wolff , Topological Vector Spaces , Springer , coll.  "  GTM  " ( n o  3)1999, 2 nd  ed. ( ISBN  0-387-05380-8 , číst online )
• Laurent Schwartz , Theory of Distribuce , Paříž, Hermann,1966, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1950 až 1951), 418  str. ( ISBN  2-7056-5551-4 )