Zakázaný prostor

V funkcionální analýzy a v oblastech blízko k matematice , sudová prostory jsou topologické vektorové prostory , kde některý zatarasil set - nebo sud - z prostoru je sousedství z nulového vektoru . Hlavním důvodem jejich důležitosti je, že jsou to přesně ty, pro které platí věta Banach-Steinhaus .

Dějiny

Nicolas Bourbaki vynalezl pojmy jako „tonneau“ nebo „tonnelé“ prostor (od sudů s vínem) i „ bornologické “ prostory .

Definice

V topologického vektorovém prostoru $E$ na non- diskrétní hodnotě pole K , který je ℝ algebra (například na ℝ nebo ℂ ), jedno volání barel jakýkoli konvexní , je dáno , uzavřená a absorbující část $T$ :

konvexní: ${\ displaystyle \ forall u, v \ in T, \ forall t \ in [0,1], tu + (1-t) v \ in T}$
vyrovnaný: ${\ displaystyle \ forall u \ v T, \ forall \ lambda \ v K, | \ lambda | \ leq 1 \ Rightarrow \ lambda u \ v T}$
zavřené: pro topologii z $E$
savý: ${\ displaystyle \ forall x \ v E, \ existuje \ alpha \ v \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, \ forall \ lambda \ v K: | \ lambda | \ leq \ alpha \ Rightarrow \ lambda x \ v T.}$

Prostor $E$ se říká, že barrel- válcovaný případné sud $E$ je sousedství na $0 ° C$ .

Vezmeme-li v úvahu vlastnosti hlavně v místně konvexním prostoru, jsou následující podmínky ekvivalentní pro místně konvexní hlavní prostor E (jehož dvojice je uvedena ): ${\ displaystyle E ^ {\ prime}}$

(a) E je hlavní;(b) jakákoli slabě ohraničená část je rovnocenná;

{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

(c) jakákoli polonormální polokontinuální níže v E je spojitá(d) pro jakýkoli lokálně konvexní prostor F je jakákoli jednoduše ohraničená část ekvivalentní.

{\ mathcal L} (E; F)

(Tyto ekvivalence jsou důsledkem bipolární věty , tedy Hahn-Banachovy věty .)

Příklady a vlastnosti

Lokálně konvexní prostor E se bareluje právě tehdy, pokud se jeho počáteční topologie shoduje se silnou topologií . ${\ displaystyle \ beta (E, E ^ {\ prime})}$
Tyto Fréchetovy prostory , a zejména Banachovy prostory , jsou hlavněmi, ale obecně jsou normalizované vektorové prostory jsou ne hlavněmi.
Tyto prostory Montel jsou sudové podle definice.
topologické vektorové prostory, které jsou de Baireovy prostory, jsou sudové.
Prostor Mackey (v) oddělit , plně se sudové .
Indukční mezní prostor rodiny sudových prostorů je sudový. V důsledku toho je zablokován ultrabornologický prostor , zejména je zablokován bornologický a polokompletní prostor (existují však také uzavřené prostory, které nejsou bornologické).
Kvocientový prostor promlčeného prostoru je barelovaný (na druhou stranu uzavřený podprostor promlčeného prostoru nemusí být nutně promlčen).
Nezbytnou a dostatečnou podmínkou pro přímý součet prostorů lokálně konvexních prostorů, které mají být barrelované, je to, že každý z nich je. ${\ displaystyle E_ {i}}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$
Produkt sudových prostor je sudový.
Doplněk samostatného barelovaného (nebo dokonce infratonovaného: viz níže ) prostoru je blokovaný prostor.
Dovolit být otevřená množina ℝ n nebo obecněji diferenciální potrubí parakompaktu konečné dimenze . Klasicky známé mezery (prostor neurčitě diferencovatelných funkcí v ), jeho silná dvojka (prostor distribucí s kompaktní podporou v ), (prostor neurčitě diferencovaných funkcí s kompaktní podporou v : viz článek Distribuce ) a její silná dvojka (prostor distribucí v ) jsou sudové prostory (jsou to dokonce prostory Montel). Stejně tak Schwartz prostor klesajících funkcí na a její silný duální, tedy prostor distribucí mírných na , jsou sudové mezery. $\ Omega$ ${\ mathcal {E}} (\ Omega)$ $\ Omega$ ${\ mathcal {E}} ^ {{\ prime}} (\ Omega)$ $\ Omega$ ${\ mathcal {D}} (\ Omega)$ $\ Omega$ ${{\ mathcal {D}}} ^ {{\ prime}} (\ Omega)$ $\ Omega$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$
Nechť je otevřená množina ℝ n nebo obecněji skutečná analytika parakompaktu konečné dimenze a K kompaktní podmnožina . Prostor semen analytických funkcí v komplexním sousedství K a její silnou dual , isomorphic k prostoru z hyperfunkce s podporou součástí K , včetně barreled mezer. $\ Omega$ $\ Omega$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (K \ doprava)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ doleva (K \ doprava) ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ vlevo (\ Omega \ vpravo)}$

Poloviční barel, nepřipojený prostor a význačný prostor

Definice

Nechť E je topologický vektorový prostor. Vyvážený část z E se říká bornivore pokud absorbuje ohraničený podmnožinu z E .

Místně konvexní prostor E je, že infrabarrelled (někdy také nazývané kvazi hlavněmi ), pokud některý z hlavně E je bornivore je sousedství $0$ v E .

Lokálně konvexní prostor E se říká, že je poloviční, pokud je splněna následující podmínka: nechť U je rodná část E, která je průsečíkem řady konvexních, vyvážených a uzavřených sousedství $0$ ; potom U je okolí bodu $0 ° C$ v E .

Lokálně konvexní prostor E se říká, že se rozlišuje, pokud je jeho silná dvojice hlavní.

Vlastnosti

Celý blokovaný prostor je nepřipojený a veškerý nepřipojený prostor je částečně blokován. Bornological prostor (zejména lokálně metrizable konvexní prostor) je infratonnel. Kvocient infratonnel prostoru podprostorem je infratonnel. Je snadné ukázat, že infratonální prostory jsou Mackeyovy prostory . To obecně není případ polovičních mezer, které mají relativně málo vlastností, pokud nejsou mezerami (DF) .

Polo-kompletní nepřipojený prostor je barel.

Silný duální F místně konvexního měřitelného prostoru E je poloviční (a úplný, je to dokonce prostor (DF) ) a je blokován, pokud je E úplný a reflexivní (v tomto případě je F také bornologický ).

Semi-reflexní plocha , jakož i místně konvexní metisable a kvazi-normable prostor (zejména normalizované vektorového prostoru ), se vyznačují (ale jsou významní prostory, které nejsou semi-reflexivní). Pokud je E metrizovatelné, jsou ekvivalentní následující podmínky: (a) E je rozlišeno, (b) F není připojeno; (c) F je bornologický; (d) F je hlavní; (e) F je ultrabornologické . Prostor E , přísný indukční limit řady významných metrizovatelných prostorů, je významný lokálně konvexní prostor a jeho silná dvojice je bornologická a sudová. Existují významné Mackeyovy prostory, které nejsou infratonální. Existují Fréchetovy prostory, které se nerozlišují, proto silná dvojnice barelovaného prostoru nemusí být nutně barelovaná.

Podívejte se také

Poznámky a odkazy

Poznámky

Bourbaki 1950
Bourbaki 2006 , s. IV.52, cvičení 1 a); Jarchow 1981 , str. 222.
Bourlès 2013

Reference

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Barreled space “ ( viz seznam autorů ) .
Nicolas Bourbaki " Na některých topologické vektorové prostory ," Annals z Institut Fourier , , sv. 2,1950, str. 5-16 ( číst online )
N. Bourbaki , Topologické vektorové prostory: kapitoly 1 až 5 , Springer,2006, 368 s. ( ISBN 3-540-34497-7 )
(en) Henri Bourlès , „ semi hlavněmi prostorů “ , arxiv.org , n O 1304.0360v5,2013( číst online )
Jean Dieudonné a Laurent Schwartz , „ Dualita v prostorech (F) a (LF) “, Annales de Institut Fourier , sv. 1,1949, str. 60-101 ( číst online )
(en) Alexandre Grothendieck , „ On spaces (F) and (DF) “ , Summa Brasiliensis Mathematicae , sv. 3, n o 6,1954, str. 57-123
(en) Hans Jarchow , Locally Convex Spaces , Stuttgart, Teubner,devatenáct osmdesát jedna, 548 s. ( ISBN 3-519-02224-9 )
(en) Gottfried Köthe , Topologické vektorové prostory I , Springer Verlag,1969( číst online )
(en) François Treves , topologické vektorové prostory, distribuce a jádra , Dover Publications Inc.,2007, 565 s. ( ISBN 978-0-486-45352-1 a 0-486-45352-9 , číst online )