Celý drobivý

V teorii čísel je křehké nebo hladké číslo přirozené číslo, jehož sada prvočíselných faktorů je malá, relativně k dané vazbě.

Drobivé čísla jsou zvláště důležité v faktorizace založené na kryptografii , která už dvacet let byl dynamický obor teorie čísel , s aplikacemi v oblastech jak se měnil jako algoritmizace (diskrétní logaritmus problém), teorie summability ( kypré součet of Fourier série ) elementární teorie prvočísel (elementární důkaz věty o prvočíslech Daboussiho v roce 1984), kruhová metoda ( problém Waring ), model Billingsley, model Kubilius  (en) , nerovnost Turán-Kubilius  (en) , typ Erdős - Wintner věty atd.

Terminologie

Termín smooth navrhuje v angličtině americký kryptolog Ronald Linn Rivest na počátku 80. let. Termín friable , který označuje schopnost předmětu být rozdroben na malé fragmenty, pak navrhuje polytechnický inženýr Jacques Balazard, manžel spisovatelka Simone Balazardová a otec matematika Michela Balazarda. Postupně se prosadila na veškerou literaturu ve francouzštině a část v angličtině.

Definice

Ryze kladné celé číslo, se říká, B-drolivý , nebo B-hladké , pokud všechny jeho hlavními faktory jsou na nebo pod B .

Například 72 900 000 000 = 2 8 × 3 6 × 5 8 je 5 drobných, protože žádný z jejích hlavních faktorů nepřesahuje 5.

V této definici není B nutně hlavním faktorem celého čísla B- drobivý: 12 je 5-drobný nebo 5-hladký, i když 5 není faktor 12. Číslo B nemusí být ani první.

Divize

Podle Hildebrand- Tenenbaum , pro všechny , počet y- drobná celá čísla nepřesahující x splňuje ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}Ψ(X,y){\ displaystyle \ Psi (x, y)}

(∗)Ψ(X,y)=Xϱ(u)exp⁡Ó(R){\ displaystyle (*) \ qquad \ Psi (x, y) = x \ varrho (u) \ exp {O (R)} \;}

jakmile , kde a y>(log⁡X)1+ε{\ displaystyle y> (\ log x) ^ {1+ \ varepsilon}}u: =(log⁡X)/log⁡y{\ displaystyle u: = (\ log x) / \ log y}

R: =(log⁡(u+1))/log⁡y+uexp⁡(-(log⁡y)3/5-ε).{\ displaystyle R: = (\ log (u + 1)) / \ log y + u \ exp (- (\ log y) ^ {3 / 5- \ varepsilon})})

To zejména znamená

(∗∗)Ψ(X,y)={1+Ó(1)}Xϱ(u){\ displaystyle (**) \ qquad \ Psi (x, y) = \ {1 + o (1) \} x \ varrho (u) \;}

if , kde označuje funkci Dickmana . Hildebrand navíc ukázal, že vzorec je platný v poli y>exp⁡(log⁡log⁡X)5/3+ϵ{\ displaystyle y> \ exp (\ log \ log x) ^ {5/3 + \ epsilon}}ϱ{\ displaystyle \ varrho}
Ψ(X,y)=Xρ(u)exp⁡{Ó(1)}{\ displaystyle \ Psi (x, y) = x \ rho (u) \ exp \ {O (1) \}}

y>(log⁡X)2+ε{\ displaystyle y> (\ log x) ^ {2+ \ varepsilon}}

právě když je Riemannova hypotéza pravdivá.

Ultra spolehlivý celek

Číslo je, že B -superlisse nebo B -ultrafriable pokud všechny dělitele na formu p n s p prime a n celé číslo, méně než nebo rovno B .

Například 720 (2 4 3 2 5 1 ) je 5-hladký, ale ne 5-ultralisse (protože má primární dělitele větší než 5: 3 2 = 9> 5 nebo 2 3 > 5). Na druhou stranu je to 16-ultralisse, protože jeho největší primární dělitel je 2 4 = 16. Toto číslo je samozřejmě také 17-ultralisse, 18-ultralisse atd.

Vysoce spolehlivá čísla se používají v algoritmech , v teorii grafů a samozřejmě v teorii čísel .

Poznámky a odkazy

1. R. de la Bretèche a G. Tenenbaum , „  trigonometrická řada s aritmetickými koeficienty  “, Journal of Mathematical Analysis  (nl) , sv.  92,2004, str.  1-79.
2. Viz Tenenbaum a Mendès France 2013 .
3. „Vytvořil jsem pojem„ hladké číslo “, abych označil číslo, které má jen malé hlavní faktory. Opravdu si nepamatuji, jak jsem o tom přemýšlel, kromě toho, že „hladký“ je pravým opakem „hrudkovitého“. " (Ronald Rivest, citováno v diskusích mathoverflow zmíněných v Tenenbaum, Words and Math )."
4. Gérald Tenenbaum , Slova a matematika , Paříž, Odile Jacob,2019, 215  s. ( ISBN  978-2-7381-4900-8 ) , str.  80-81
5. (in) A. Hildebrand a G. Tenenbaum , „  Jsme celá čísla bez faktorů širokého prémie  “ , Trans. Hořký. Matematika. Soc. , sv.  296,1986, str.  265-290(viz také Tenenbaum 2015 ).
6. (in) A. Hildebrand , „  Celá čísla bez faktorů premium premium a Riemannova hypotéza  “ , Mathematika , sv.  31,1984, str.  258-271.

Podívejte se také

externí odkazy

Posloupnosti y-friable čísel na online encyklopedii sekvencí celých čísel  :

• 2 drobná čísla: A000079 (2 i ) 
• 3 drobná čísla: A003586 (2 i 3 j ) 
• 5 drobných čísel: A051037 (2 i 3 j 5 k ) 
• 7 drobných čísel: A002473 (2 i 3 j 5 k 7 l ) 
• 11 drobných čísel: A051038 
• 13 drobných čísel: A080197 
• 17 drobných čísel: A080681 
• 19 drobných čísel: A080682 
• 23 drobných čísel: A080683 (atd.) 

Související články

• Pollardův p - 1 algoritmus
• Dickmanova funkce
• Diskrétní logaritmus
• Věta Størmer  (en)
• Rychlá Fourierova transformace
• VSH

Bibliografie

• Gérald Tenenbaum , Úvod do analytické a pravděpodobnostní teorie čísel , Paříž, Belin,2015, 592  s. ( ISBN  978-2-7011-9656-5 ).
• Gérald Tenenbaum a Michel Mendès France , Prvočísla, mezi řádem a chaosem , Dunod,2013( ISBN  978-2-10-070656-3 a 2-10-070656-X )