Möbiova funkce

V matematiky je funkce Möbius obecně označuje konkrétní multiplikativní funkce , která je definována na přísně pozitivní celá čísla a s hodnotami v množiny {-1, 0, 1}. Je zapojen do Möbiova inverzního vzorce .

Používá se v různých oborech matematiky. Při pohledu z elementárního úhlu umožňuje Möbiova funkce určité výpočty počítání , zejména pro studium p -skupin nebo v teorii grafů . V aritmetice je někdy definována jako inverzní funkce konstantní multiplikativní funkce 1 pro Dirichletovu konvoluční operaci . To je také nalezené pro studium cyclotomic polynomů nad oblasti z racionálních čísel . Jeho role je analogická pro konečná pole a v důsledku toho Möbiova funkce zasahuje do teorie korekčních kódů . V analytické teorii čísel je Möbiova funkce častěji představována pomocí Dirichletovy řady . Zasahuje do určitých důkazů souvisejících se studiem Riemannovy hypotézy o prvočíslech .

Použití této funkce je staré: najdeme ji v Eulerovi v roce 1748 nebo dokonce v Gaussovi v jeho Disquisitiones arithmeticae v roce 1801. Byl to nicméně Möbius, který ji nejprve systematicky studoval, v roce 1832.

Definice a vlastnosti

Definice

Ve zbývající části článku N označuje množinu přirozených čísel a N * počet přísně kladných celých čísel. Nejběžnější definice je:

Definice Möbiovy funkce - Möbiova funkce $μ$ je definována z N * v {–1, 0, 1}. Obrázek μ ( n ) celého čísla n > 0 se rovná:

0, pokud n je dělitelné podle části A dokonalý čtverec než 1;
1 je-li n součin sudého počtu odlišných prvočísel;
–1 je-li n součin lichého počtu odlišných prvočísel.

Tabulka jeho prvních dvaceti hodnot je tedy:

ne	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
μ ( n )	1	–1	–1	0	–1	1	–1	0	0	1	–1	0	–1	1	1	0	–1	0	–1	0

a graf jeho prvních padesáti hodnot je:

Ekvivalentní definice

Charakterizace funkce Möbius - Möbius funkce je inverzní k konstantní funkce $1$ pro Dirichletovu konvoluce , to znamená, že jedinečný matematické funkce $u Stabilizátory$ takové, že pro jakékoli celé číslo $n > 0$ , hodnoty součtu $u Stabilizátory$ U všech pozitivních dělitele z $n$ je:

\ sum _ {{d | n}} \ mu (d) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {si}} n = 1 \\ 0 & {\ mbox {si}} n > 1. \ End {matrix}} \ vpravo.

S touto druhou definicí je $μ$ automaticky , jako $1$ , multiplikativní , to znamená, že:

${\ displaystyle \ mu (1) = 1}$ a všichni relativně prvočíslo , . ${\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mu (nm) = \ mu (n) \ mu (m)}$

Důkaz rovnocennosti obou definic

Ukažme si, že funkce $μ$ první definice dobře vyhovuje

{\ displaystyle \ sum _ {d \ mid n} \ mu (d) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {si}} n = 1 \\ 0 & {\ mbox {si} } n> 1. \ end {matrix}} \ vpravo.}

Pokud n = 1, je výsledek zřejmý. Pokud n > 1, nechť P je množina prvočíselných faktorů n a s = karta ( P ) (≥ 1). Jediné dělitelé n , jejichž obraz o? Je nenulová, jsou ty, které, aniž by čtvercové faktoru, to znamená produkty různých prvků P proto, pomocí, že počet dílů z P s kardinála t se rovná binomické koeficientu pak nanesením binomický vzorec :

{s \ zvolit t}

{\ begin {aligned} \ sum _ {{d \ mid n}} \ mu (d) & = \ sum _ {{D \ podmnožina P}} \ mu \ left (\ prod _ {{p \ in D} } p \ right) = \ sum _ {{D \ podmnožina P}} (- 1) ^ {{{{{rm {card}}} (D)}} \\ & = \ sum _ {{t = 0 }} ^ {s} (- 1) ^ {t} {{\ rm {karta}}} (\ {D \ podmnožina P \ mid {{\ rm {karta}}} (D) = t \}) \ \ & = \ Sum _ {{t = 0}} ^ {s} {s \ select t} (- 1) ^ {t} = (- 1 + 1) ^ {s} = 0, \ end { zarovnáno}}

který končí demonstraci.
Místo použití binomického vzorce bychom navíc mohli v tomto konkrétním případě přímo dokázat, to znamená ukázat, že v P je tolik částí sudého kardinála, kolik lichého kardinála. K tomu stačí zafixovat prvek p z P a seskupit části P po dvou, po dvojicích tvaru ( S , S ∪ { p } ), kde S je část P neobsahující p . Každá část P se objevuje ve dvojici a pouze jedna a každá dvojice má část sudého kardinála a jednu lichého kardinála, což jasně ukazuje, že P má tolik sudých a lichých částí.

Möbioův inverzní vzorec

Druhá definice nám umožňuje rychle ukázat, že pro jakoukoli aritmetickou funkci f :

Aritmetická funkce g definovaná

\ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad g (n) = \ sum _ {{d \ mid n}} f (d)

kontrolovány

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad f (n) = \ sum _ {d \ mid n} \ mu \ left ({\ tfrac {n} {d}} \ right ) g (d)}

Kombinační

Základní definice a vlastnosti

Kombinatorický přístup umožňuje zobecnit výše uvedenou studii. Tato technika spočívá ve studiu konečné a částečně uspořádané množiny A, jejíž řádový vztah je zaznamenán ≤. Používáme následující definici:

Definice řetězce - Nechť $a$ a $b jsou$ dva prvky $A$ takové, že $a \leq b$ . Pro libovolné přirozené číslo p nazýváme řetězec délky p spojující $a$ až $b$ , jakoukoli konečnou posloupnost $( x 0 , x 1 , ..., x p )$ tak, že:

{\ displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots x_ {p-1} <x_ {p} = b}

Ve zbytku odstavce označíme c p ( a , b ) počet řetězců délky p spojujících a s b . Okamžitě máme několik nemovitostí. Například pokud a je prvek A , c p ( a , a ) je 1 pro p = 0 a 0 pro p > 0, a pokud b je prvek A přísně větší než a pak c 0 ( a , b ) = 0 a c 1 ( a , b ) = 1. Obecněji stanovíme následující lemma:

Lemma - Pokud $a$ a $b$ jsou dva prvky $A$ takové, že $a < b,$ pak pro každé přirozené číslo $p$ ,

{\ displaystyle c_ {p + 1} (a, b) = \ součet _ {a \ leq c <b} c_ {p} (a, c) = \ součet _ {a <c \ leq b} c_ {p } (c, b)}

Ve skutečnosti jakýkoli řetězec délky p + 1 spojující $a$ až $b$ se skládá z řetězce délky p spojujícího $a$ do $c$ a řetězce délky 1 spojujícího $c$ do $b$ , což ukazuje první rovnost. Druhý je zobrazen stejným způsobem.

Gian-Carlo Rota definuje novou Möbiovu funkci , kterou označuje μ A a kterou uvidíme zobecnění μ :

Definice G.-C. Rota Möbiovy funkce μ A - Möbiova funkce μ A , s celočíselnými hodnotami, je definována na A × A pomocí:

{\ displaystyle \ forall a, b \ v A \ quad a \ leq b \ Rightarrow \ mu _ {A} (a, b) = \ sum _ {p \ in \ mathbb {N}} (- 1) ^ { p} c_ {p} (a, b) \ quad {\ text {a}} \ quad a \ not \ leq b \ Rightarrow \ mu _ {A} (a, b) = 0}

Jinými slovy, pozitivně spočítáme všechny řetězce sudých délek spojujících a až b a negativně řetězce lichých délek. Dále si všimneme, že tyto definice zůstávají v platnosti, pokud je A nekonečné, za podmínky, že existuje pouze konečný počet prvků umístěných mezi a a b (říkáme tedy, že řád je místně konečný (in) ). Lema umožňuje dokázat následující analog charakterizace μ:

Charakterizace μ A - Nechť $a$ a $b jsou$ dva prvky $A$ takové, že $a < b$ :

{\ displaystyle \ mu _ {A} (a, a) = 1 \ quad {\ text {a}} \ quad \ sum _ {a \ leq c \ leq b} \ mu _ {A} (a, c) = \ sum _ {a \ leq c \ leq b} \ mu _ {A} (c, b) = 0}

. Demonstrace

První rovnost vychází z faktu, že jedinečný řetězec spojující na je délky 0. Druhý je přímým důsledkem předchozího tvrzení:

{\ displaystyle \ sum _ {a \ leq c \ leq b} \ mu _ {A} (a, c) = \ sum _ {a \ leq c \ leq b} \ sum _ {p \ in \ mathbb {N }} (- 1) ^ {p} c_ {p} (a, c) = \ sum _ {p \ in \ mathbb {N}} (- 1) ^ {p} \ sum _ {a \ leq c \ leq b} c_ {p} (a, c)}

Předchozí návrh ukazuje, že:

{\ displaystyle \ sum _ {a \ leq c \ leq b} \ mu _ {A} (a, c) = \ sum _ {p \ in \ mathbb {N}} (- 1) ^ {p} {\ big (} c_ {p + 1} (a, b) + c_ {p} (a, b) {\ big)} = c_ {0} (a, b) = 0}

Poslední remíza je zobrazena stejným způsobem.

Dirichletův konvoluční produkt zobecňuje, což umožňuje asociovat s jakýmkoli lokálně konečným řádem A jeho výskytovou algebru (in) , a výše uvedený výsledek je poté přeformulován interpretací μ A jako inverze v tomto prstencovém celku .

Tento výsledek také ukázat inverze vzorec pro u Stabilizátory A .

Vztah mezi definicí Möbius a Rota

Zde množina A označuje přísně kladná celá čísla obdařená relačním řádem: a ≤ b, když a je dělitelem b .

Toto pořadí je lokálně konečné, a když na něj aplikujeme charakterizaci μ A s 1 jako první proměnnou, najdeme charakterizaci μ.

Také si všimneme, že pokud a dělí b , mapa, která k řetězci ( x 1 , x 1 , ..., x p ) přidruží řetězec (1, x 2 / x 1 , ..., x p / x 1 ) představuje rozpor mezi množinou řetězců délky p spojující a až b a řetězci spojujícími 1 až b / a .

Dedukujeme tedy:

Vztah mezi definicích funkcí Möbius - Ve dvou přísně pozitivní celá čísla a $b$ tak, že $se$ dělí $b$ , funkce μ Mobiův a μ Rota jsou spojeny:

{\ displaystyle \ mu _ {A} (a, b) = \ mu _ {A} \ left (1, {\ frac {b} {a}} \ right) = \ mu \ left ({\ frac {b } {a}} \ vpravo)}

Přes tento odkaz konvenční inverzní vzorec u Stabilizátory lze považovat za zvláštní případ, že pro u Stabilizátory A .

Dirichletova řada

Pro jakékoliv komplexní číslo s z reálné části striktně větší než 1,

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {1} {\ zeta (s)}} \ quad {\ text {et}} \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {| \ mu (n) |} {n ^ {s}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(\ mu (n)) ^ {2}} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (2s)}} }

kde je Riemannova funkce zeta . $\ zeta$

Funkce Mertens je definována symbolem . $M$ ${\ displaystyle M (n) = \ součet _ {k = 1} ^ {n} \ mu (k)}$

Prvočíslo věta je ekvivalentní a . Sofistikovanější verze teoréma prvočísla (s výslovným zhodnocení termínovaných ostatků) byla použita v roce 1899 Edmund Landau prokázat: . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n}} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {M (n)} {n}} = 0}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n) \ ln n} {n}} = - 1}$

Poznámky a odkazy

G. Villemin, „ Möbiova funkce “ , o číslech: kuriozity - teorie - využití .
Françoise Badiou, „ Möbiova inverzní formule “, Delange-Pisot-Poitou Seminář Teorie čísel , sv. 2, zk. 1,1960, str. 2-3 ( číst online [PDF] ).
Další důkaz viz Badiou 1960 , str. 2-3, neboli „Aritmetické funkce“ v lekci „Úvod do teorie čísel“ na Wikiversity .
(en) G.-C. Rota, „ Na základech kombinatorické teorie, I: Teorie Möbiových funkcí “, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie u. verw. Gebiete , sv. 2, 1963, str. 340-368.
IREM z Marseille , Kurzy a aktivity v aritmetice pro závěrečné kurzy ( číst online ) , s. 75.
IREM-Marseille , str. 76.
IREM-Marseille , str. 80.
Viz například G. Tenenbaum , Úvod do analytické a pravděpodobnostní teorie čísel , [ detail vydání ] , SMF , kol. „Specialized courses“, Paříž, 1995, I.3.6, nebo (en) Tom M. Apostol , Úvod do teorie analytických čísel , Springer ,1976, 340 s. ( ISBN 978-0-387-90163-3 , číst online ), th. 4.15 a 4.16.
(od) E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteiligung der Primzahlen ,1909( číst online ) , s. 569.

Externí odkaz

(en) Eric W. Weisstein , „ Möbiova funkce “ , na MathWorld