Funkce rozdělovače

V matematiky se funkce „součet pravomocí dělitele “, někdy zkracuje jako funkce dělitel , označený , je multiplikativní funkce pro jakékoliv celé číslo $n$ $> 0$ přiřazuje součet z pravomoci -ths těchto pozitivních dělitele z $n$ , kde je jakýkoliv komplexní číslo : $\ sigma _ {a}$ $na$ $na$

{\ displaystyle \ sigma _ {a} (n) = \ součet _ {d | n} d ^ {a}.}

Vlastnosti

Funkce je multiplikativní , to znamená, že pro všechna celá čísla m a n coprime , . Ve skutečnosti jde o konvoluční produkt dvou multiplikativních funkcí : výkonové -té funkce a konstantní funkce 1. $\ sigma _ {a}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {a} (mn) = \ sigma _ {a} (m) \ sigma _ {a} (n)}$ $\ sigma _ {a}$ $na$
Pokud $p$ je prvočíslo, pak $σ a ( p k )$ je částečný součet geometrických řad : ${\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N}, \ quad \ sigma _ {a} (p ^ {k}) = 1 + p ^ {a} + p ^ {2a} + \ ldots + p ^ { ka} = {\ begin {cases} {\ frac {p ^ {(k + 1) a} -1} {p ^ {a} -1}} & {\ text {si}} p ^ {a} \ neq 1, \\ k + 1 & {\ text {si}} p ^ {a} = 1. \ end {cases}}}$ (Podmínka $p a = 1$ odpovídá a $a i (2π / log p ) ℤ$ , což platí pro všechna $p,$ pokud $a$ je nula, a pro nanejvýš jednu, pokud ne .) Zejména není zcela multiplikativní . $\ sigma _ {a}$
Použití dvou předcházejících vlastností umožňuje určit $σ s ( n )$ věděl, rozklad na hlavní faktory z $n$ : ${\ displaystyle {\ rm {si}} \ quad n = \ prod _ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {k_ {i}} \ quad {\ rm {then}} \ quad \ sigma _ {a} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ sum _ {j = 0} ^ {k_ {i}} p_ {i} ^ {ja}.}$
Druhá ze stejných dvou vlastností umožňuje vypočítat $σ a$ ( p k ) pomocí Čebyševových polynomů : nechť $U k$ je Čebyševův polynom druhého druhu stupně $k$ a $X k$ jeho renormalizace, definovaná $X k ( T ) = U k ( T / 2)$ . Tak : ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {a} (p ^ {k})} {p ^ {ak / 2}}} = X_ {k} \ left ({\ frac {\ sigma _ {a} ( p)} {p ^ {a / 2}}} \ right).}$

Demonstrace

Označme $q = p a / 2$ . Jde o to dokázat

${\ displaystyle 1 + q ^ {2} + q ^ {4} + ... + q ^ {2k} = q ^ {k} X_ {k} (q + q ^ {- 1})}$

nebo obecněji, že máme rovnost polynomů:

${\ displaystyle 1 + T ^ {2} + T ^ {4} + ... + T ^ {2k} = T ^ {k} X_ {k} (T + T ^ {- 1}).}$ Stačí to ověřit na nekonečném počtu hodnot . Nyní pro jakékoli skutečné $θ$ ne násobek $π$ , nastavením $t = e i θ$ máme

${\ displaystyle X_ {k} (t + t ^ {- 1}) = X_ {k} (2 \ cos \ theta) = U_ {k} (\ cos \ theta) = {\ frac {\ sin ((k +1) \ theta)} {\ sin \ theta}} = {\ frac {t ^ {k + 1} -t ^ {- (k + 1)}} {tt ^ {- 1}}}}$

proto

${\ displaystyle t ^ {k} X_ {k} (t + t ^ {- 1}) = {\ frac {t ^ {k + 1}} {t}} {\ frac {t ^ {k + 1} -t ^ {- (k + 1)}} {tt ^ {- 1}}} = {\ frac {t ^ {2 (k + 1)} - 1} {t ^ {2} -1}} = 1 + t ^ {2} + t ^ {4} + ... + t ^ {2k},}$

který uzavírá.

Z multiplikativity odvodíme z předchozího bodu: ${\ displaystyle \ sigma _ {a} (m) \ sigma _ {a} (n) = \ součet _ {d \ mid (m, n)} d ^ {a} \ sigma _ {a} \ vlevo ({ \ frac {mn} {d ^ {2}}} \ vpravo)}$ (kde $( m , n )$ označuje gcd z $m$ a $n$ ), pak, podle Möbiově inverze : ${\ displaystyle \ sigma _ {a} (mn) = \ součet _ {d \ mid (m, n)} \ mu (d) d ^ {a} \ sigma _ {a} \ doleva ({\ frac {m } {d}} \ vpravo) \ sigma _ {a} \ vlevo ({\ frac {n} {d}} \ vpravo)}$ .
Série Dirichlet spojené s je vyjádřen pomocí Riemann funkce $£$ : $\ sigma _ {a}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n)} {n ^ {s}}} = \ zeta (s) \ zeta (sa)}$ a máme vztah: ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n) \ sigma _ {b} (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (sb) \ zeta (sab)} {\ zeta (2s-ab)}}.}$

Případ, kdy a je přirozené číslo

Počet funkcí dělitele

Funkce ( „počet dělitelů“ ), také známá jako $d$ , se také nazývá tau funkce (z němčiny Teiler : dělitel) a označená $τ$ . Počítá počet kladných dělitelů $n$ : $\ sigma _ {0}$

{\ displaystyle d (n) = \ tau (n) = \ součet _ {d | n} 1 = \ operatorname {karta} \ {1 \ leqslant d \ leqslant n: d | n \} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} (k_ {i} +1).}

Výsledek je uveden jako následující A000005 z OEIS . ${\ displaystyle (\ sigma _ {0} (n))}$

Součet funkcí dělitelů

Funkce sigma se někdy označuje jako $σ$ . My máme $\ sigma _ {1}$

{\ displaystyle \ sigma (n) = \ součet _ {d | n} d = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ součet _ {j = 0} ^ {k_ {i}} p_ {i} ^ {j} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} {\ frac {p_ {i} ^ {k_ {i} +1} -1} {p_ {i} -1}}.}

Například pokud $n = pq$ pro dvě odlišná prvočísla $p$ a $q$ , pak

${\ Displaystyle \ sigma (n) = (p + 1) (q + 1) = n + 1 + (p + q) {\ text {a}} \ varphi (n) = (p-1) (q- 1) = n + 1- (p + q)}$ kde φ je Eulerova indikatrix .

Součet přísných dělitelů o $n$ je ${\ displaystyle s (n) = \ součet _ {d | n, d \ neq n} d = \ sigma (n) -n.}$ Celé číslo $n$ je považováno za dokonalé, pokud $s ( n ) = n$ , nedostatečné, pokud $s ( n ) < n,$ a hojné, pokud $s ( n )> n$ .

Výsledek je uveden jako následující A000203 z OEIS . ${\ displaystyle (\ sigma _ {1} (n))}$

Další hodnoty $a$

Výsledek je uveden jako následující A001157 z OEIS . ${\ displaystyle (\ sigma _ {2} (n))}$

Výsledek je uveden jako následující A001158 z OEIS . ${\ displaystyle (\ sigma _ {3} (n))}$

Poznámky a odkazy

Emmanuel Royer. „Africký“ kurz modulárních forem .
" d (n) (také nazývaný Prošlé tau (n) zlato sigma_0 (n)), počet dělitele n " , po A000005 z OEIS .
GH Hardy a EM Wright , Úvod do teorie čísel ; William John Ellison a Michel Mendès France , The Prime Numbers ,1975[ detail vydání ].
Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlín 1909.
Gérald Tenenbaum , Úvod do analytické a pravděpodobnostní teorie čísel , Belin.

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

J. Liouville , „ Zobecnění vzorce týkajícího se součtu sil dělitelů čísla “, J. Math. Pure Appl. , 2 nd série, vol. 3,1858, str. 63-68 ( číst online )

Externí odkaz

(en) Eric W. Weisstein , „ funkce dělitele “ , na MathWorld