Binetovy vzorce
Ve fyzice , v klasické mechanice , jsou Binetovy vzorce vyjádřením rychlosti a zrychlení těla vystaveného centrální síle, jako je gravitace nebo elektrostatické pole . Představil je Jacques Philippe Marie Binet .
Umožňují vyjádřit v polárních souřadnicích polohu mobilního telefonu v závislosti na úhlu, který tvoří. Ve skutečnosti je výraz jako funkce času mnohem obtížnější stanovit. Zejména Binetovy vzorce umožňují demonstrovat, že v poli centrální síly jsou trajektorie kuželovité .
K.r2{\ displaystyle {\ frac {K} {r ^ {2}}}}![{\ frac {K} {r ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334a6ce784f7de6022023d7a3f099bd84d51e1f7)
Binetovy vzorce
Nejprve zvážíme atraktivní případ. Nastavením , všímat si , a vyjadřovat se konstantní oblastí , v souladu se Keplerova druhého práva , můžeme ukázat, že:
u: =1r {\ displaystyle \ \ u: = {\ frac {1} {r}} \ \}
X˙: =dXdt {\ displaystyle \ \ {\ dot {x}}: = {\ frac {dx} {dt}} \ \}
X′: =dXdθ {\ displaystyle \ \ x ': = {\ frac {dx} {d \ theta}} \ \}
VS=r2θ˙=LÓm{\ displaystyle C = r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = {\ frac {L_ {O}} {m}} \;}![C = r ^ {2} {\ dot \ theta} = {\ frac {L_ {O}} {m}} \;](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66652d1c43dc27c99b073965f5fc6ffb3130290)
proti→=-VSu′Er→+VSuEθ→{\ displaystyle {\ vec {v}} = - Cu '\; {\ vec {e_ {r}}} + Cu \; {\ vec {e _ {\ theta}}}}![{\ vec {v}} = - Cu '\; {\ vec {e_ {r}}} + Cu \; {\ vec {e _ {{\ theta}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf064066ad24aecb22dd45fc9d8d6562305dc0b)
;
na→=-VS2u2(u„+u)Er→{\ displaystyle {\ vec {a}} = - C ^ {2} u ^ {2} \ left (u '' + u \ right) \; {\ vec {e_ {r}}}}![{\ vec {a}} = - C ^ {2} u ^ {2} \ left (u '' + u \ right) \; {\ vec {e_ {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265d10098ee9884b24e354346356c55728252123)
.
Zrychlení je proto radiální jako síla, které je tělo vystaveno. V odpudivém případě by složky podle e r byly pozitivní, studované těleso by se vzdálilo od středu síly.
Demonstrace
My máme proti→=(rEr→)˙=r˙Er→+rEr→˙=(1u)˙Er→+1uθ˙Eθ→=-u˙u2Er→+θ˙uEθ→{\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ dot {(r {\ vec {e_ {r}}})}} = {\ dot {r}} {\ vec {e_ {r}}} + r {\ dot {\ vec {e_ {r}}}}} = {\ dot {\ left ({\ frac {1} {u}} \ right)}} {\ vec {e_ {r}}} + {\ frac {1} {u}} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e _ {\ theta}}} = - {\ frac {\ dot {u}} {u ^ {2}}} {\ vec {e_ {r}}} + {\ frac {\ dot {\ theta}} {u}} {\ vec {e _ {\ theta}}}}
Zlato au˙=dudt=dudθdθdt=u′θ˙{\ displaystyle {\ dot {u}} = {\ frac {du} {dt}} = {\ frac {du} {d \ theta}} {\ frac {d \ theta} {dt}} = u '{ \ dot {\ theta}}}
VS=LÓm=r2θ˙=θ˙u2{\ displaystyle C = {\ frac {L_ {O}} {m}} = r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = {\ frac {\ dot {\ theta}} {u ^ {2} }}}
Proto proti→=-u′u2θ˙Er→+VSuEθ→=-VSu′Er→+VSuEθ→{\ displaystyle {\ vec {v}} = - {\ frac {u '} {u ^ {2}}} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e_ {r}}} + Cu {\ vec {e _ {\ theta}}} = - Cu '\; {\ vec {e_ {r}}} + Cu \; {\ vec {e _ {\ theta}}} \;}
Stejným způsobem driftujeme k získání .
proti→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
na→{\ displaystyle {\ vec {a}}}![{\ vec {a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16)
na→=VS(-u′Er→˙+uEθ→˙)=VS(-u′˙Er→-u′θ˙Eθ→+u˙Eθ→-uθ˙Er→)=VS(-θ˙u„Er→-uθ˙Er→){\ displaystyle {\ vec {a}} = C \ left (- {\ dot {u '\; {\ vec {e_ {r}}}}} + {\ dot {u {\ vec {e _ {\ theta}}}}} \ right) = C \ left (- {\ dot {u '}} {\ vec {e_ {r}}} - u' {\ dot {\ theta}} {\ vec {e _ {\ theta}}} + {\ dot {u}} {\ vec {e _ {\ theta}}} - u {\ dot {\ theta}} {\ vec {e_ {r}}} \ vpravo) = C \ left (- {\ dot {\ theta}} u '' {\ vec {e_ {r}}} - u {\ dot {\ theta}} {\ vec {e_ {r}}} \ right)}
=-VS2u2(u„+u)Er→{\ displaystyle = -C ^ {2} u ^ {2} \ left (u '' + u \ right) \; {\ vec {e_ {r}}}}
Kónické trajektorie
Považujeme zde atraktivní případ, odpudivý případ, který dává přesně stejný výsledek. Použitím druhého Newtonova zákona máme:
mna→=-K.r2Er→=-u2K.Er→{\ displaystyle m {\ vec {a}} = {\ frac {-K} {r ^ {2}}} \; {\ vec {e_ {r}}} = - u ^ {2} K \; { \ vec {e_ {r}}}}![m {\ vec {a}} = {\ frac {-K} {r ^ {2}}} \; {\ vec {e_ {r}}} = - u ^ {2} K \; {\ vec { e_ {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e3fa4bd41d4cb3f2665716e5926ca0d7c1a21f)
.
Vložením výraz pro zrychlení a nahrazení pomocí , nakonec projekcí podle máme:
1r{\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}
u{\ displaystyle u}
Er→{\ displaystyle {\ vec {e_ {r}}}}![{\ vec {e_ {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4beeb2c0ac897fb030146ae020b3ebb02e70354)
mVS2(u„+u)=K.{\ displaystyle mC ^ {2} \ left (u '' + u \ right) = K}![mC ^ {2} \ left (u '' + u \ right) = K.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd56ca58f0042389b43947f64b889b36bf10404f)
nebo znovu:
u„+u=K.mVS2{\ displaystyle u '' + u = {\ frac {K} {mC ^ {2}}}}![u '' + u = {\ frac {K} {mC ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341bda969513b371b6cb53aa27c804d3da2de987)
.
Tuto diferenciální rovnici lze snadno integrovat: jedná se o harmonický oscilátor . Získáváme:
u(θ)=NAcos(θ+ϕ)+B{\ displaystyle u (\ theta) = A \ cos (\ theta + \ phi) + B}![u (\ theta) = A \ cos (\ theta + \ phi) + B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582e79f1f769b899b52788ae23a3d72d3b9eb0e9)
, s
B=K.mVS2{\ displaystyle B = {\ frac {K} {mC ^ {2}}}}
Vrátíme-li se k výrazu pro r , máme:
r(θ)=1B+NAcos(θ+ϕ){\ displaystyle r (\ theta) = {\ frac {1} {B + A \ cos (\ theta + \ phi)}}}![r (\ theta) = {\ frac {1} {B + A \ cos (\ theta + \ phi)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a04e2c5e3434b5d5351aeec49c783ac5d81d5b1)
.
Vyjádřením parametru a výstřednosti získáme:
p=mVS2K.{\ displaystyle p = {\ frac {mC ^ {2}} {K}}}
E=pNA{\ displaystyle e = pA}![e = pA](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c06990094de4ac30ee33e98e7a6cfb7b054fbfa)
r(θ)=p1+Ecos(θ+ϕ){\ displaystyle r (\ theta) = {\ frac {p} {1 + e \ cos (\ theta + \ phi)}}}![r (\ theta) = {\ frac {p} {1 + e \ cos (\ theta + \ phi)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b1598a6a55d4be8b7a90b227692f8d555a3913)
.
Je to skutečně výraz kuželovitého řezu v polárních souřadnicích, jehož přesná povaha - parabola , hyperbola nebo elipsa - závisí na počátečních podmínkách.
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">