V matematice je zlomek způsob, jak napsat racionální číslo jako podíl dvou celých čísel. Zlomeknaboznačují kvocient o b ( b? 0 ). V této frakci, se nazývá čitatel a b na jmenovatele .
Příklad:Zlomek 568je ekvivalentní číslu 7, protože 7 × 8 = 56 , takže podíl 56 ku 8 je 7.
Číslo, které lze reprezentovat zlomky celých čísel, se nazývá racionální číslo . Množina zdůvodnění je označena ℚ.
Existuje obecnější a abstraktnější definice zlomků. Pokud je obor integrity , je možné vytvořit tělo frakcí z A . Jeho prvky jsou zaznamenány (analogicky s zlomky relativních celých čísel ) a mají stejné provozní vlastnosti (součet, součin, zjednodušení, ...) jako zlomky ℚ.
Frakce je unperformed rozdělení mezi dvěma relativně celá čísla n a d ≠ 0. Je zastoupeny takto:
nebo nebo .Příklad : 3 / 7 znamená, že se dělí 3 od 7; vyslovujeme tento zlomek „ tři sedminy “.
Pokud jíme 3 / 7 o koláče, čitatel 3 označuje počet částí, které jíme, zatímco 7 ukazuje celkový počet částí, tedy jednotky považován.
Také někdy najdeme notaci
n : dnebo
n ÷ dtlustého střeva nebo obelus výměně frakce bar.
O zlomku se říká, že je nevhodný, když je absolutní hodnota čitatele větší než hodnota jmenovatele.
Alternativní definicePokud je pojem zlomek důležitou fází matematického porozumění na základní úrovni, má v obecné teorii jen malé využití.
Slovník matematiky definuje frakce jako „synonymem pro racionální číslo“ .
Tato definice má několik nevýhod. Všichni souhlasí s tím, že 3 / 4 je zlomek, a 6 / 8 je další frakce, která se však označuje stejnou racionální číslo. Rovnost racionálního vyjádření zlomkem není vždy zřejmá, jako u 57 ÷ 437 a 3 ÷ 23 . Definice rovněž omezuje případ, kdy čitatel a jmenovatel jsou celá čísla. Stejná notace se ale běžně používá u reálných čísel, například π ⁄ 2 nebo √3 ⁄ 2 ; tyto výrazy se řídí stejnými pravidly kombinace a zjednodušení jako zlomky.
Ve Francii školské úřady definují zlomek takto: „jestliže a a b označují dvě celá čísla ( a ∈ , b ∈ ), zlomek a / b je zápis matematického bytí, které se nazývá racionální , ale n 'není matematický bytost; psaní a se nazývá „čitatel“, psaní b „jmenovatel“; lišta, vodorovná nebo šikmá, se nazývá zlomková čára a odpovídá znaménku dělení.
Tato definice také přináší určité pedagogické potíže. Pokud by zlomek byl jednoduchým zápisem, nemohli bychom z něj učinit jeden z pojmů operace s čísly. Je však třeba se pojmem 1 / 2 + 1 / 4 = 3 / 4 .
Stella Baruk navrhuje omezit tyto obtíže tím, že bude dbát na to, aby mluvili o ekvivalentních zlomcích, když označují stejné racionální číslo, a o zlomkovém psaní, když čitatel nebo jmenovatel není celé číslo, a proto tedy neexistuje. .Abychom pochopili a stanovili pravidla pro manipulaci s frakcemi, existují dvě různé metody. Prvním je využití geometrie . Frakce představuje část oblasti geometrického útvaru nebo délku jedné strany mnohoúhelníku , často trojúhelníku . Demonstrace zákonů upravujících zlomky se rovná provádění geometrie a měření ploch nebo délek. Tento přístup je popsán v článku Geometrická algebra .
Jiný přístup má čistě algebraický charakter . Tyto racionální čísla jsou konstruovány v abstraktním způsobem ze tříd rovnocennosti s celými čísly . Sčítání a násobení z celých čísel jsou kompatibilní s třídou ekvivalence, která vybavuje všechny zlomky přirozeným sčítáním a násobením. Tato konstrukce umožňuje stanovit zákony upravující chování zlomků.
Zde zvolený přístup odpovídá prvnímu popsanému a je čistě geometrický. Použité metody platí pro zlomky celých čísel. Geometrie nabízí jinou metodu, která umožňuje zobecnění výsledků na zlomky dvou kladných reálných čísel. Je to popsáno v článku Geometrická algebra .
Cílem je vizualizovat zlomek n / d .
Zlomek může být reprezentován výkresem. Často geometrický tvar, který je rozdělen na několik částí.
Zlomky, z toho n < dJmenovatel d označuje počet stejných částí, které mají být nakresleny v geometrickém tvaru, a čitatel n označuje počet použitých stejných částí.
Například, řekněme, zvolit obdélník jako geometrického tvaru a frakce 3 / 4 . Jmenovatel je 4, takže obdélník bude rozdělen na 4 stejné části.
Čitatel je 3, takže budou použity pouze 3 stejné části.
Tento zlomek bude ekvivalentní kvocientu n / d , (který bude představovat počet jednotek) následovaný zlomkem tvořeným zbytkem dělení pro čitatele ad pro jmenovatele.
Například pro zlomek 7/3 dává celé dělení 2, zbývá 1. Kvocient je 2, proto 2 jednotky, zbytek 1 proto 2 1/3. Je nemožné reprezentovat tento druh zlomku jediným diagramem, použijeme proto několik podobných geometrických tvarů:
Aby se na 2 / 3 750, dělíme 750 o 3, pak vynásobíme výsledek o 2:
750 ÷ 3 = 250; 250 x 2 = 500. Takže 2 / 3 750 = 500Užívání a / b c je jako dělení c b a vynásobení celku a. Nebo jednodušeji, když známe pravidla výpočtu pro zlomky, vzít a / b c je jako vynásobit a / b c. Obecněji vidíme, že „of“ je nahrazeno násobením. Je to stejné, když vypočítáme 75% c, musíme vypočítat 75% vynásobených c. Ve skutečnosti, 75% je frakce: 75% = 75 / : 100 = 0,75.
Pokud vynásobíme nebo vydělíme čitatele a jmenovatele zlomku stejným číslem, dostaneme ekvivalentní zlomek .
Příklad: (vynásobili jsme 2/3 2/2)
Obecně jsou zlomky n / d a n ' / d' ekvivalentní, jakmile n × d '= d × n'.
protože (tyto dva produkty se nazývají křížové produkty).Některé zlomky lze zjednodušit, tj. N a d lze rozdělit stejným počtem, ale pokud možno co největším. Toto číslo se nazývá GCD ( největší společný dělitel ) n a d . Po redukci se říká, že frakce je neredukovatelná .
Chcete-li provést některé operace mezi zlomky, musí být všechny jmenovatele zlomků stejné. Chcete-li to provést, nahraďte každý zlomek ekvivalentním zlomkem a ujistěte se, že jsou všechny jmenovatele stejné. Tento jmenovatel bude nejmenší možné číslo, které je dělitelné každým jmenovatelem. Toto číslo se nazývá PPCM ( nejmenší společný násobek ) jmenovatelů. Operace se nazývá redukce na stejného jmenovatele .
Příklad:
Poznámka: můžete také použít desetinnou psaní jako 1/4 = 0,25 až 2/5 = 0,4, 0,25 <0,4, takže 1 / 4 < 2 / 5 .
Každý zlomek má konečnou nebo nekonečnou periodickou desetinnou expanzi, která se získá nastavením dělení n číslem d .
1/4 = 0,25 2/3 = 0, 6 66 ... (období 6) 7/17 = 2, 428571 428571 ... (období 428571)Naopak každé číslo, které je desítkové nebo má periodické desetinné rozšíření, lze zapsat jako zlomek.
Případ desítkového číslaPostačí vzít jako čitatel desetinné číslo zbavené desetinné čárky a jako jmenovatel 10 n, kde n je počet číslic za desetinnou čárkou:
Případ neomezeného desetinného rozšířeníZačneme tím, že se postaráme o celou část: 3, 45 45 ... = 3 + 0, 45 45 ...
Případ jednoduchého periodického desetinného rozšířeníJednoduché periodické číslo je desetinné číslo, ve kterém tečka začíná bezprostředně za desetinnou čárkou. 0,666 ... nebo 0,4545 ... nebo 0,108108 ...
Pro čitatele postačí použít tečku, zatímco jmenovatel bude složen z tolika 9, kolik číslic tvoří tečku.
Například pro 0,4545 ... období je 45 a skládá se ze dvou číslic, dostaneme zlomek 45/99 = 5/11.
Proto: 3.4545 ... = 3 + 5/11 = 38/11.
Jinak nechme x = 0,4545454545 ...
100 x = 45,4545454545 ... = 45 + x tedy 100 x - x = 45,4545454545 ... - 0,4545454545 ... = 45 tedy 99 x = 45 tedy x = 45/99.
Případ smíšené periodické desítkové expanzeSmíšené periodické desetinné číslo je desetinné číslo, ve kterém tečka nezačíná bezprostředně po desetinné čárce, například: 0,8333 ... nebo 0,14666 ...
Chcete-li najít čitatele zlomku, odečtěte smíšenou hodnotu od smíšené hodnoty následované první tečkou. Pokud jde o jmenovatele, bude složen z tolika 9, kolik číslic tvoří období, následovaných tolika nulami, kolik je číslic za desetinnou čárkou, která tvoří smíšenou hodnotu.
Příklad: 0.36981981 ...
smíšená hodnota: 36
Smíšená hodnota následovaná prvním obdobím: 36981
Čitatel = 36981 - 36 = 36945
V hodnotě 0.36981981 ... je období 981 tvořeno 3 číslicemi, takže jmenovatel bude tvořen řadou tří 9 následovaných dvěma nulami, protože smíšená hodnota 36 je tvořena dvěma číslicemi. Nakonec dostaneme 0,36981981 ... = 36945/99900 = 821/2220.
Příklad 2 .
Stačí přidat nebo odečíst čitatele každé frakce a zachovat společného jmenovatele.
Příklad součtu:
Příklad rozdílu:
Pro jiného jmenovatelePřed provedením operace musí být každá část převedena na ekvivalentní část, jejíž jmenovatel je pro ně společný.
Příklad:
Násobení dvou zlomků je snadné, ale není snadné pochopit, proč to tak funguje. Například,
Zde je vysvětlení založené na intuitivním porozumění zlomkům. Čtyři pětiny můžeme chápat jako čtyřikrát pětinu (viz grafická znázornění výše) nebo jako . Tak se množit by je provádět .
Ale násobí pátého množstvích pro dělení 5, znamená, že násobit jmenovatele 5 (Jednotky jsou 5 krát menší), a to: .
Dělení je opakem násobení. Algoritmicky, když vydělíme zlomkem, nahradíme dělení násobením, zatímco převracíme zlomek, který následuje. Například :
Pro racionální zlomky nebo obecněji pro pole zlomků komutativního kruhu si pojem jmenovatel a čitatel zachovává stejný význam.
Zatímco Francouzi rádi používají desetinná čísla, Anglosasové často dávají přednost vyjádření necelých částí zlomky - bezpochyby kvůli kulturní odlišnosti (pomyslete například na popularitu metrického systému a imperiálního systému ve dvou kulturách) . Například říkají, že osoby, které mají 5 stop 5 / 8 a ne 5.625ft.
Pod pojmem frakce , se objevil ve francouzštině na konci XII th století, je derivát latinského nižší fractio - „akce k přetržení“ - používá se ve středověkém matematické terminologie pro „rozdělení“. Samotný tento termín pochází z klasického latinského frangere - „to break“ - který pochází z indoevropského kořene ° bhreg, který má stejný význam a od kterého je odvozen gotický kořenový brikan, který dává zlom v angličtině a brechen v němčině.
Frakce byly kdysi nazval čísla rozbité , termín stále používá v 18 -tého století, například v Encyclopédie .