Kleinová skupina

Tento článek je nástin týkající se algebry .

O své znalosti se můžete podělit vylepšením ( jak? ) Podle doporučení příslušných projektů .

V matematice je Kleinova skupina až do izomorfismu jednou ze dvou skupin se čtyřmi prvky, druhou je cyklická skupina ; je to nejmenší necyklická skupina. Nese jméno německého matematika Felixe Kleina , který jej v roce 1884 ve svém „kurzu o icosahedronu a řešení rovnic pátého stupně“ označoval jako „Vierergruppe“ ( skupina čtyř ). $C_ {4}$

Definice

Kleinova skupina je zcela definována skutečností, že tři různé prvky neutrálního prvku e mají pořadí rovné 2 (jsou involutivní ) a že součin dvou odlišných z nich se rovná třetímu. Jeho prvky jsou zaznamenány a jeho zákon je zaznamenán multiplikativně, jeho tabulka je napsána: ${\ displaystyle e, a, b, c}$

$\ cdot$	E	Na	b	vs
E	E	Na	b	vs
Na	Na	E	vs	b
b	b	vs	E	Na
vs	vs	b	Na	E

Setkáváme se s notami : ( je iniciálkou Vierergruppe). ${\ displaystyle \ {e, a, b, c \} = K_ {4}, V, {\ text {nebo}} V_ {4}}$ $PROTI$

Vlastnosti

Tabulka je symetrická a zákon je komutativní: je to abelianská skupina . $K_ {4}$
Úhlopříčka e ukazuje, že každý prvek je vlastní symetrický, což je ekvivalentní involutivitě.
$K_ {4}$ není jednoduchá skupina , která má rozlišené podskupiny . ${\ displaystyle \ {e, a \}, \ {e, b \}, \ {e, c \}}$
$K_ {4}$ je generován dvěma jeho prvky řádu 2, například a a b , přičemž minimální vztahy jsou . ${\ displaystyle a ^ {2} = e, b ^ {2} = e, ab = ba}$
V důsledku toho je každá podskupina generovaná dvěma prvky řádu dva, které dojíždějí, izomorfní ke skupině Klein.

Modely skupiny Klein

1) Jako každá skupina, izomorfní na podskupinu symetrické skupiny s indexem počtu jejích prvků, zde . Můžeme vzít pro tři prvky řádu dva tři produkty dvou nesouvislých transpozic . Skupina je pak význačný podskupina z . A když jsou tyto permutace sudé, jedná se o rozlišenou podskupinu střídající se skupiny ( je to jediný případ, kdy to není jednoduché ). $K_ {4}$ $S_ {4}$ ${\ displaystyle s_ {1} = (1,2) \ cirkus (3,4), \, s_ {2} = (1,3) \ cirkus (2,4), \, s_ {3} = (1 , 4) \ circ (2,3)}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {1}, s_ {2}, s_ {3} \}}$ $S_ {4}$ $A_ {4}$ $n = 4$ $Rok}$
2) Jako prvky řádu můžeme také vzít například dvě dvě disjunktní transpozice a jejich součin . Skupina však není rozlišena v . Tato skupina je skupina automorfismů opačného grafu (například). ${\ displaystyle t_ {1} = (1,2), t_ {2} = (3,4), s = (1,2) \ circ (3,4)}$ ${\ displaystyle \ {id, t_ {1}, t_ {2}, s \}}$ $S_ {4}$
3) je izomorfní s , přímým produktem z cyklické skupiny řádu 2 sama o sobě. K.4{\ displaystyle K_ {4}} $K_ {4}$ VS2×VS2=(VS2)2{\ displaystyle C_ {2} \ times C_ {2} = (C_ {2}) ^ {2}} ${\ displaystyle C_ {2} \ times C_ {2} = (C_ {2}) ^ {2}}$
- 3.a) Vezmeme -li skupinu aditiv jako model , získáme tabulku aditiv: $C_2$ ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}} = \ {{\ overline {0}}, {\ overline {1}} \}}$

+	( 0 , 0 )	( 1 , 0 )	( 0 , 1 )	( 1 , 1 )
( 0 , 0 )	( 0 , 0 )	( 1 , 0 )	( 0 , 1 )	( 1 , 1 )
( 1 , 0 )	( 1 , 0 )	( 0 , 0 )	( 1 , 1 )	( 0 , 1 )
( 0 , 1 )	( 0 , 1 )	( 1 , 1 )	( 0 , 0 )	( 1 , 0 )
( 1 , 1 )	( 1 , 1 )	( 0 , 1 )	( 1 , 0 )	( 0 , 0 )

Násobení se přenáší do a dává mu jednotkovou komutativní prstencovou strukturu . Další dva nenulové prvky mají jednotkový čtverec a nulový součin (prstenec proto není integrální). ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}}$ ${\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}) ^ {2}}$ ${\ displaystyle ({\ overline {1}}, {\ overline {1}})}$

3.b) Vezmeme- li multiplikativní skupinu jako model , získáme tabulkovou multiplikativní skupinu: $C_2$ ${\ displaystyle \ {1, -1 \}}$

$\ krát$	(1.1)	(-1,1)	(1, -1)	(-1, -1)
(0,0)	(1.1)	(-1,1)	(1, -1)	(1.1)
(-1,1)	(-1,1)	(1.1)	(-1, -1)	(1, -1)
(1, -1)	(1, -1)	(-1, -1)	(1.1)	(-1,1)
(1.1)	(1.1)	(1, -1)	(-1,1)	(1.1)

3.c) Ta je přímo isomorfní multiplikativní skupině řádu dvou úhlopříček čtverce matrices vytvořené z 1 a 1: . ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ right \}}$

4) Vzhledem k tomu, že diedrická skupina je isomorfní s , je Kleinova skupina isomorfní s . ${\ displaystyle D_ {2n}}$ ${\ displaystyle C_ {n} \ krát C_ {2}}$ ${\ displaystyle D_ {4}}$

5) Kleinova skupina je izomorfní s několika podskupinami skupiny s osmi prvky ; skutečně všechny podskupiny generované dvěma odlišnými neneutrálními prvky jsou Kleinovy skupiny. Například jako model : ${\ displaystyle (C_ {2}) ^ {3}}$ ${\ displaystyle (C_ {2}) ^ {3}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}}$ $C_2$
5.a) , jehož maticový multiplikativní ekvivalent je ${\ displaystyle \ {({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {1}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {0}}, {\ overline {1}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {1}}) \}}$
5.b) . ${\ displaystyle \ left \ {{\ text {diag}} (1,1,1), {\ text {diag}} (- 1, -1,1), {\ text {diag}} (- 1, 1, -1), {\ text {diag}} (1, -1, -1) \ right \}}$
5.c) nebo znovu , jehož maticový multiplikativní ekvivalent je ${\ displaystyle \ {({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {1}}, {\ overline {1}}), ({\ overline {1}}, {\ overline {1}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {1}}) \}}$
5 d) ${\ displaystyle \ left \ {{\ text {diag}} (1,1,1), {\ text {diag}} (- 1, -1, -1), {\ text {diag}} (- 1 , -1,1), {\ text {diag}} (1,1, -1) \ doprava \}}$
5.e) nebo znovu , jehož maticový multiplikativní ekvivalent je ${\ displaystyle \ {({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {0}}, {\ overline {1}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {0}}), ({\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {1}}) \}}$
5.f) ${\ displaystyle \ left \ {{\ text {diag}} (1,1,1), {\ text {diag}} (1,1, -1), {\ text {diag}} (1, -1 , 1), {\ text {diag}} (1, -1, -1) \ doprava \}}$
6) Kleinova skupina je izomorfní ke skupině invertibilních prvků prstenu , prvků , stejně jako k prvkům . V ostatních dvou případech ( ), kde má čtyři prvky, je cyklický.(Z/8Z)∗{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {8 {\ mathbb {Z}}}) ^ {*}}Z/8Z{\ displaystyle {\ mathbb {Z}} / {8 {\ mathbb {Z}}}} ${\ displaystyle {\ overline {1}}, {\ overline {3}}, {\ overline {5}} = - {\ overline {3}}, {\ overline {7}} = - {\ overline {1 }}}$ (Z/12Z)∗{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {12 {\ mathbb {Z}}}) ^ {*}} ${\ displaystyle {\ overline {1}}, {\ overline {5}}, {\ overline {7}} = - {\ overline {5}}, {\ overline {11}} = - {\ overline {1 }}}$ ${\ displaystyle n = 5.10}$ (Z/neZ)∗{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {n {\ mathbb {Z}}}) ^ {*}}
7) Geometricky, v dimenzi dva, je Kleinova skupina izomorfní se skupinou izometrií a ponechává globálně neměnný obdélník nebo kosočtverec (non-square), případně redukovaný na segment. Čtyři prvky jsou pak id identity , dva odrazy podél mediánů a centrální symetrie středu uprostřed mnohoúhelníku, odtud tedy tabulka: ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}}$ ${\ displaystyle s_ {O}}$

$\ cir$	id	$s_ {x}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$
id	id	$s_ {x}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$
$s_ {x}$	$s_ {x}$	id	${\ displaystyle s_ {z}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$
${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$	id	$s_ {x}$
${\ displaystyle s_ {O}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {O}}$	id

Je -li na obrázku čtverec, jsou k dispozici navíc dva odrazy podle úhlopříček a pootočení úhlů , tedy 8 prvků, které pak tvoří vzepětí skupiny řádu 8. ${\ Displaystyle \ pm 90 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle D_ {8}}$

Při přechodu na matice předchozích transformací se získá multiplikační maticová reprezentace podle 3) c).

9) V dimenzi tři je skupina Klein izomorfní se skupinou izometrií, přičemž globálně neměnný obdélníkový rovnoběžnostěn ponechává nekubický obdélníkový tvar . Proto se někdy nazývá skupina ( obrat ) matrace . Tři evolventní prvky jsou otáčky kolem tří os symetrie rovnoběžnostěnu. Je třeba poznamenat , že dostaneme tabulku: ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}}$

$\ cir$	id	$s_ {x}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {z}}$
id	id	$s_ {x}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {z}}$
$s_ {x}$	$s_ {x}$	id	${\ displaystyle s_ {z}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$
${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	${\ displaystyle s_ {z}}$	id	$s_ {x}$
${\ displaystyle s_ {z}}$	${\ displaystyle s_ {z}}$	${\ displaystyle s_ {y}}$	$s_ {x}$	id

Na opačném obrázku jsou tři obraty pojmenovány podle jejich letecké formulace: válec , stoupání , zatáčení .

Při přechodu na matice předchozích transformací získáme multiplikativní maticovou reprezentaci viděnou v 5.b)

10) V dimenzi tři tvoří skupina generovaná třemi odrazy vzhledem ke třem ortogonálním rovinám dvě po dvou skupinu s osmi prvky, kde jsou tři obrácení viděné výše a centrální symetrie středu O. Tato skupina je izomorfní, takže dva odlišné prvky identity generují Kleinovu skupinu. Například vygenerujte skupinu uvedenou v 9), vygenerujte, jehož maticový ekvivalent je 5.f), a vygenerujte, jehož maticový ekvivalent je 5.d). Existuje tedy sedm podskupin izomorfů do skupiny Klein. ${\ Displaystyle xOy, xOz, yOz}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {xy}, s_ {xz}, s_ {yz}, s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}, s_ {O} \}}$ ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}, s_ {z}}$ ${\ displaystyle s_ {O}}$ ${\ displaystyle (C_ {2}) ^ {3}}$ ${\ displaystyle s_ {x}, s_ {y}}$ ${\ displaystyle s_ {xy}, s_ {xz}}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {xy}, s_ {xz}, s_ {x} \}}$ ${\ displaystyle s_ {O}, s_ {z}}$ ${\ displaystyle \ {id, s_ {O}, s_ {z}, s_ {xy} \}}$ ${\ displaystyle (C_ {2}) ^ {3}}$
11) Obecněji řečeno, Kleinovy podskupiny odpovídají dvourozměrným vektorovým podprostorům - vektorového prostoru ; jejich počet je tedy binomický Gaussův koeficient . ${\ displaystyle (C_ {2}) ^ {n}}$ (Z/2Z){\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}})}(Z/2Z)ne{\ displaystyle ({\ mathbb {Z}} / {2 {\ mathbb {Z}}}) ^ {n}} ${\ displaystyle {n \ vyberte 2} _ {2} = {\ frac {(2 ^ {n} -1) (2 ^ {n} -2)} {6}}}$
12) Kleinova skupina je také izomorfní k množině částí dvouprvkové množiny , obdařené symetrickým rozdílem . Což dává tabulku: $\ {a, b \}$

$\Delta$	$\ varnothing$	$\{Na\}$	$\ {b \}$	$\ {a, b \}$
$\ varnothing$	$\ varnothing$	$\{Na\}$	$\ {b \}$	$\ {a, b \}$
$\{Na\}$	$\{Na\}$	$\ varnothing$	$\ {a, b \}$	$\ {b \}$
$\ {b \}$	$\ {b \}$	$\ {a, b \}$	$\ varnothing$	$\{Na\}$
$\ {a, b \}$	$\ {a, b \}$	$\ {b \}$	$\{Na\}$	$\ varnothing$

Zákon „průniku“ pak uděluje komutativní prstencové struktuře jednotkového prvku , prsten isomorfní k prstenci, jak je vidět v 3) a). ${\ displaystyle (P (\ {a, b \}), \ Delta, \ cap)}$ $\ {a, b \}$

13) Polynom je ireducibilní na poli se dvěma prvky , kvocient je pole, které má shodně 4 prvky a jehož aditivní částí je skupina Klein. Zde jsou dva různé nenulové prvky jednotkového prvku naproti sobě. Máme tabulky: ${\ displaystyle P = 1 + X + X ^ {2}}$ $F_2$ ${\ displaystyle F_ {2} (X) / P}$ ${\ displaystyle {\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {X}} = \ varphi, \ varphi ^ {2} = {\ overline {1}} + \ varphi}$

+	0	1	φ	φ ²
0	0	1	φ	φ²
1	1	0	φ²	φ
φ	φ	φ²	0	1
φ ²	φ²	φ	1	0

$\ krát$	1	φ	φ ²
0	0	0	0
1	1	φ	φ²
φ	φ	φ²	1
φ ²	φ²	1	φ

Aplikace v etnologii

V části Elementární struktury příbuznosti etnolog Claude Lévi-Strauss ve spolupráci s matematikem André Weilem identifikoval koncept struktury elementárního příbuzenství pomocí Kleinova pojmu skupina. Ve struktuře Myths , Levi-Strauss se znovu Klein skupiny stanovit kanonický vzorec mýtu .

Poznámky a odkazy

(de) Felix Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade , Leipzig, Teubner,1884, 12 a 13 str. ( číst online )
Paul Jolissaint, Poznámky ke čtení: Skupiny a etnologie : verze HTML nebo PDF .