Objednaná skupina

Objednat skupina je skupina opatřena vztahu objednávky respektovaný překladů.

Definice

Nechť ( G ,.) A skupina (dále jen zákon skupiny je označen násobně ) a ≤ je vztah objednávky na G . Říkáme, že je to v souladu s právními předpisy skupiny, když všechny prvky Ix , y a Z skupiny, vztah x ≤ y znamená dva vztahy zx ≤ zy a xz ≤ YZ . Objednané skupiny je sada poskytovány současně s právem skupiny a kompatibilním vztah objednávky. Celkově uspořádanou skupinu nazýváme uspořádanou skupinou, jejíž relace objednávky je celková .

V uspořádané skupině G se o prvku říká, že je pozitivní, pokud je větší než neutrální prvek e G , a negativní, pokud je menší než on.

Část P skupiny G tvoří množinu kladných prvků G pro určitý kompatibilní řád právě tehdy, když P je kladný kužel , to znamená: PP ⊂ P , P ∩ P −1 = { e G } a P je stabilní od konjugací .

Příklady

Aditivní skupina reálných čísel , (ℝ, +), je abelianská skupina zcela seřazená podle obvyklého pořadí.

Díky prvním třem vlastnostem níže okamžitě odvodíme mnoho dalších zcela nebo částečně uspořádaných abelianských skupin.

Vlastnosti

• Jakákoli podskupina objednané (resp. Zcela objednané) skupiny je objednanou (resp. Zcela objednanou) skupinou omezením pořadí skupiny.
• Jakýkoli produkt (i nekonečný) seřazených skupin je skupina seřazená podle vyprodukovaného částečného pořadí . V případě, že množina indexů je dobře uspořádané , produkt je také opatřen lexicographic řádu , který je také kompatibilní.
• Jakákoli skupina izomorfní s uspořádanou (resp. Zcela uspořádanou) skupinou je uspořádanou (resp. Zcela uspořádanou) skupinou podle indukovaného pořadí .
• V uspořádané skupině vedou u všech prvků x , y , x ' a y' nerovnosti x ≤ y a x ' ≤ y' k nerovnosti xx '≤ yy' .Jinými slovy, můžeme skládat, člen po členu, nerovnosti stejného významu. Podle definice nerovnost x ≤ y znamená xx ' ≤ yx' . Podobně nerovnost x ' ≤ y' má za následek yx ' ≤ yy' . Ukončíme to tranzitivitou vztahu objednávky.
• V uspořádané skupině nerovnost x ≤ y znamená pro všechny prvky x a y nerovnost y −1 ≤ x −1 .Jinými slovy, můžeme se vrátit k nerovnosti změnou jejího směru. K dosažení tohoto výsledku, stačí násobit nerovnost x ≤ y od y -1 nalevo a x -1 na pravé straně.
• Ve zcela uspořádané skupině konjugace zachovává „  znaménko  “ ( y > e G ⇔ xyx −1 > e G ) a každý prvek má jedinečné kořeny (pro jakékoli nenulové celé číslo n , x n = y n ⇒ x = y ).
• Jakákoli zcela objednatelná skupina je bez kroucení .Konverzace je pravdivá, pokud je skupina abelianská , ale v obecném případě nepravdivá: například základní skupina Kleinovy ​​láhve , tj. Skupina se dvěma generátory a a b spojenými pouze aba −1 = b −1 , je torzní - zdarma, ale (podle předchozího bodu) není zcela objednat.
• Hölder je věta (1902): všechna plně objednat Archimédova skupina je abelian a je ponořen v (ℝ, +, ≤).

Podívejte se také

• Axiom of Archimedes
• Řádné tělo
• Seřazený vektorový prostor  (v)

Reference

1. T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures , Springer,2005( ISBN  1-85233-905-5 ) , str.  143.
2. (in) Dale Rolfsen, „  Objednané skupiny a topologie  “ , na UBC ,2001.