Kleinova láhev

V matematice je Kleinova láhev (vyslovuje se kla.in ) oblast uzavřená, bez hranic a nesměrová , to znamená povrch, pro který není možné definovat „domácí“ a „vnější“. Kleinova láhev byla poprvé popsána v roce 1882 německým matematikem Felixem Kleinem . Jeho název možná pochází ze zmatku nebo slovní hry mezi výrazy Klein Fläche („povrch Klein“) a Klein Flasche („Kleinova láhev“).

Láhev Klein úzce souvisí s Möbius pás a ponoření v reálné projektivní rovině , jako je například povrch Boy . Je to jeden z nejjednodušších příkladů abstraktní rozmanitosti , protože jde o povrch, který nelze v trojrozměrném prostoru správně znázornit. Matematicky, to je řekl, aby zahrnoval ponoření ve třídě C ∞ ve vesmíru ℝ 3 tři dimenze, ale nemají žádné vkládání nepřetržitě.

Konstrukce

Kleinovu láhev je možné reprezentovat v prostoru ℝ 3 (trojrozměrný prostor), pouze pokud připustíme, že se kříží ; také žádné zjištění toho, že je Kleinova láhev vidět, není „přesné“. V ℝ 4 je na druhou stranu možné to realizovat bez sebe-průniku (matematicky říkáme, že má vložení ( injektivní ponoření ) třídy C ∞ do ℝ 4 ).

Zde je časová osa v ℝ 3 . Z počátečního čtverce slepte dva červené okraje ve směru šipek. Výsledným obrázkem je válec, jehož dva okraje chceme identifikovat pomocí modrých šipek. Abychom respektovali směr těchto šipek, je nutné jeden z kruhů před lepením zpět k druhému převrátit a za tímto účelem provést vlastní průnik.

Pokud by byly dva modré segmenty orientovány stejným způsobem, lepením protilehlých segmentů by vznikl torus . Pokud by naopak byly dva červené segmenty orientovány v opačném směru jako dva modré segmenty, lepením protilehlých segmentů by vznikla projektivní rovina .

Alternativní stavební metoda

Láhev Klein lze získat také lepením dvou Möbiových stuh podél jejich okrajů. Ekvivalentně je Kleinova láhev spojeným součtem dvou projektivních rovin .

Dáme si dvě kopie takového čtverce a získáme dvě kopie Möbiovy pásky, tentokrát nejprve identifikaci podle modrých šipek. Každá z těchto stužek má potom pouze jednu hranu: červené svislé strany, které byly spojeny podle předchozí identifikace; opětovné přilepení dvou stužek podél jejich okrajů lze potom považovat za ekvivalent přilepení pravého okraje druhého čtverce k levému okraji prvního a naopak. Snadno vidíme, že pak najdeme válec, ale s identifikací již provedených modrých hran, to znamená Kleinovou lahví.

Je snad snazší vidět, že Kleinova láhev rozřezaná na polovinu svisle skutečně poskytuje dvě Möbiovy pásky.

Vizualizace

Ze znázornění uvedeného v tomto článku je možné pochopit strukturu Kleinovy láhve a za cenu menšího intelektuálního úsilí, než by si člověk myslel.

Představte si jednotlivce žijícího v plochém 2-dimenzionálním světě. Potom se pokusíme jednotlivci vysvětlit, co je to uzel. K tomu nakreslíme uzel na rovině: vidí pouze křivku, která se protíná sama. Poté je vysvětleno, že nevidí průsečíky, ale že křivka prochází „nahoře“ a „dole“. Náš jedinec je zaskočen: žije v plochém světě a nechápe, co je nahoře nebo co je dole. Chybí dimenze (horní a dolní), aby bylo možné vizualizovat uzel.

Při pokusu o vizualizaci Kleinovy lahve narazíme na stejný problém, protože vidíme protínající se povrch. Pokud však uvažujeme o čtvrté dimenzi, stačí si představit, že na tomto místě láhev prochází „nahoře“ a „dole“ ve smyslu této čtvrté dimenze, a proto se neprotíná.

Můžeme určitým způsobem uvažovat, že Kleinova láhev je povrch, který vytváří „uzel“. Jako povrch (dvourozměrný objekt) potřebuje k uzlu 4 uzly, stejně jako u křivky (jednodimenzionální objekt) trvá 3 uzly k uzlu.

Parametrizace

Parametrizace ponoření do tří dimenzí Kleinovy láhve, které jsme viděli dříve, se získá takto: je parametr, který sleduje tělo láhve, zatímco se vyvíjí podél své části. $u$ $proti$

${\ begin {array} {rcl} x & = & {\ frac {{\ sqrt {2}} \ left (20u ^ {{3}} - 65 \ pi u ^ {{2}} + 50 \ pi ^ {{2}} u-16 \ pi ^ {{3}} \ vpravo) \ cos \ vlevo (v \ vpravo) \ vlevo (\ cos \ vlevo (u \ vpravo) \ vlevo (3 \ cos ^ {{2 }} \ left (u \ right) -1 \ right) -2 \ cos \ left (2u \ right) \ right)} {80 \ pi ^ {{3}} {\ sqrt {8 \ cos ^ {{2 }} \ left (2u \ right) - \ cos \ left (2u \ right) \ left (24 \ cos ^ {{3}} \ left (u \ right) -8 \ cos \ left (u \ right) + 15 \ right) +6 \ cos ^ {{4}} \ left (u \ right) \ left (1-3 \ sin ^ {{2}} \ left (u \ right) \ right) +17}}} } - {\ frac {3 \ cos \ left (u \ right) -3} {4}} \\ y & = & - {\ frac {\ left (20u ^ {{3}} - 65 \ pi u ^ {{2}} + 50 \ pi ^ {{2}} u-16 \ pi ^ {{3}} \ vpravo) \ sin v} {60 \ pi ^ {{3}}}} \\ z & = & - {\ frac {{\ sqrt {2}} \ vlevo (20u ^ {{3}} - 65 \ pi u ^ {{2}} + 50 \ pi ^ {{2}} u-16 \ pi ^ {{3}} \ vpravo) \ sin u \, \ cos v} {15 \ pi ^ {{3}} {\ sqrt {8 \ cos ^ {{2}} \ vlevo (2u \ vpravo) - \ cos \ left (2u \ right) \ left (24 \ cos ^ {{3}} \ left (u \ right) -8 \ cos \ left (u \ right) +15 \ right) +6 \ cos ^ {{4 }} \ left (u \ right) \ left (1-3 \ sin ^ {{2}} u \ right) +17}}}} + {\ frac {\ sin \ left (u \ right) \ cos ^ {{2}} \ vlevo (u \ doprava) + \ sin u} {4}} - {\ frac {\ sin u \, \ cos u} {2}} \ end {pole}}$

${\ text {with}} \ quad 0 \ leq u <2 \ pi \ quad {\ text {a}} \ quad 0 \ leq v <2 \ pi.$

Jednodušší parametrizace se získá následujícím způsobem, čímž se ponoří Kleinova láhev do „8“. Spočívá v pořízení křivky ve tvaru osy 8 ve svislé rovině a provedení úplného otočení kolem osy Oz, zatímco osmička sama provede otočení. Tato konstrukce je srovnatelná s konstrukcí pásu Möbius , kde je otočný segment nahrazen 8. Kleinova láhev je poté vytvořena z válce, jehož základna je ve tvaru 8, přičemž dvě protilehlé základny jsou slepeny dohromady způsobem slučitelným s jejich orientaci.

{\ begin {array} {rcl} x & = & \ left (r + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ right) \ cos u \\ y & = & \ left (r + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin v- \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ right) \ sin u \ \ z & = & \ sin {\ frac {u} {2}} \ sin v + \ cos {\ frac {u} {2}} \ sin 2v \ end {pole}}

V tomto ponoření je samoprůnikem kruh vepsaný do roviny Oxy. Kladná konstanta je poloměr této kružnice. Parametr udává úhel v rovině Oxy a je parametrem definujícím část obrázku v podobě 8. $r$ $u$ $proti$

Vlastnosti

Kleinova láhev je spojeným součtem dvou skutečných projektivních rovin .
Rozřezáním na dvě části vzhledem k její rovině symetrie získáme dvakrát Möbiovu pásku .
Jeho Euler-Poincaré charakteristika je nulová.
Jeho nenulová čísla Betti jsou b 0 = 1 a b 1 = 1.
Jeho chromatické číslo je 6.
Jeho základní skupina (která může být vypočtena s ohledem na to jako CW-komplex , nebo jako podíl z roviny nebo do anuloidu , nebo jako celková plocha u fibration v kruzích na kruhu) je semi-přímý produkt z ℤ samo o sobě dané prezentací〈a , b | aba −1 b〉.
Podle k Hurewicz věty , jeho první homologní skupina je její abelianized . Jedná se tedy o přímý produkt ℤ × ℤ 2 .
Kleinova láhev má orientovatelný povlak se dvěma vrstvami, odlišnými od torusu.

V populární kultuře a v umění

Klein láhev je předmětem kapitoly ( XII ) v La Potière jalouse od Claude Lévi-Strauss (Plon 1985 vydání): psychoanalytické interpretace a významové pole tělesných otvorů.
Jedno z hesel shadoků ( „pokud neexistuje řešení, není problém“ ) zahrnuje na ilustraci Kleinovu láhev, symbolizuje problém, který nelze vyřešit.
V komiksu Futurama se značka piva „ Kleinovo pivo “ prodává v Kleinových lahvích.
Ve videohře NetHack způsobí pokus nalít do sebe lektvar následující zprávu: „ To je láhev lektvaru, ne Kleinova láhev! „ ( „ Je to láhev lektvaru, ne Kleinova láhev! “ )
Ve hře Magic: The Gathering se karta nazývá „ Elkinova láhev “ (doba ledová, 1995) jako pocta Richardu Garfieldovi , vynálezci hry a matematikovi jeho profese. Návrháři změnili název, „Elkin“ byl přesmyčkem pro „Klein“.
V muzeu Quai Branly byl obraz Kleinovy láhve výslovně zmíněn v panelu vysvětlujícím vizi sexuality v takzvaných primitivních civilizacích. Dokonalý člověk je považován za jednotlivce, jehož reprodukční části splývají s vnitřkem úst, takže tento člověk nemá ani vnitřek, ani vnějšek. Na podporu projevu si návštěvník všiml přítomnosti skleněné Kleinovy láhve (viz foto naproti). Tato značka v současnosti již v muzeu není viditelná.
V románu Le Sixième Sommeil od Bernarda Werbera je Kleinova láhev jedním ze způsobů, jak hrdina Jacques Klein vstoupil do nové dimenze spánku.
V roce 2014 produkoval umělec Gary Hill Klein Bottle s obrazem jeho vlastní tvorby (po Robertu Morrisovi ) sestávající z průhledné Kleinovy lahve umístěné na základně, na které je promítáno video odkazující na název.
Francouzský umělec Fabrice Hybert do své instalace Bonbons très bon z roku 1993 zabudoval skleněnou Kleinovu láhev, jejíž část přebírá tvar žaludku.
V šesté části manga JoJo's Bizarre Adventure , Stone Ocean , odkazuje antagonista Enrico Pucci na Kleinovu láhev a Möbiovu stuhu .
Pojmenován jednou Ritsuko Akagi, vědeckým šéfem NERV, v epizodě 20 Neon Genesis Evangelion „Tvar srdce, zrcadlo lidí“.

Poznámky a odkazy

Ian Stewart , 17 rovnic, které změnily svět , Éditions Robert Laffont ,Leden 2014, 416 s. ( ISBN 978-2-221-13334-7 a 2-221-13334-X , číst online ) , s. 135.
(in) Francis Bonahon , Low-Dimensional Geometry: Od euklidovských povrchů po hyperbolické uzly , Providence, RI, knihkupectví AMSsrpna 2009, 384 s. ( ISBN 978-0-8218-4816-6 , online prezentace ) , s. 95.
(in) „ Klein'sche Flasche “ na vismath.eu (přístup 12. září 2015 ) .
(en) Allen Hatcher , algebraická topologie , CUP ,2001( ISBN 978-0-521-79540-1 , číst online ).
Web Magiccorporation .
(in) „ Klein Bottle with the Image of its Own Making (after Robert Morris) “ , na portlandartmuseum.us (zpřístupněno 20. prosince 2017 )
„ Very good candies (Fabrice Hyber) - atlasmuseum “ , na publicartmuseum.net (přístup 20. prosince 2017 )

Podívejte se také

Související články

externí odkazy

Kleinovy rovnice a reprezentace lahví
www.klein-bottle-film.com : 2010 Klein Bottle Animation : Virtuální výlet autem přes Klein Bottle a originální popis Felix Klein - animace provedená na Freie Universität Berlin.
Kleinova láhev ve slovníku webových stránek Publimath
Video na YouTube