Homeomorfismus

V topologii , je homeomorfismus je použití bijective kontinuální , je topologického prostoru do druhého, inverzní bijection je kontinuální. V tomto případě se o dvou topologických prostorech říká, že jsou homeomorfní .

Pojem homeomorphism je správná představa říci, že obě topologické prostory jsou „stejné“ viděl jinak. To je důvod, proč homeomorfismy jsou isomorphisms této kategorii prostorů topological .

Vlastnosti

Kontinuální bijekce je homeomorfismus právě tehdy, je-li otevřený nebo uzavřený (pak obojí).
Nechť K je kompaktní topologický prostor , E samostatný topologický prostor a f: K → E spojitá bijekce. Pak f je homeomorfismus. Zejména je E kompaktní.Ve skutečnosti každá uzavřená F z K je kompaktní; jako E se oddělí, obraz F o f je kompaktní, tím spíše uzavřené E . Proto je f uzavřená spojitá bijekce, tj. Homeomorfismus přes předchozí bod.
Kontinuální bijekce není vždy homeomorfismus (viz článek Porovnání topologií ). Například aplikace ${\ displaystyle f: \ left [0,2 \ pi \ right [\ to S ^ {1}, ~ t \ mapsto (\ cos t, \ sin t)}$ je spojitá bijekce, ale její vzájemnost není spojitá v $(1, 0)$ . Ve skutečnosti neexistuje žádný homeomorfismus mezi kruhu $S 1$ a část z ℝ (o argumenty propojenosti nebo jednoduchého propojenost ).

Související definice

Mapa f : X → Y je lokální homeomorfismus (v), pokud jakýkoli bod X patří do otevřeného V tak, že f ( V ) je otevřené v Y a že f dává, na základě omezení , homeomorfismus V na f ( V ). Taková aplikace je nepřetržitá a otevřená.

Příklady

Jakékoli krytí je místní homeomorfismus.
Pro jakékoli otevřené X z Y je inkluze X → Y lokálním homeomorfismem.
Libovolná X → Z sloučenina místních homeomorfismů X → Y a Y → Z je místní homeomorfismus.
Jakékoli disjunktní spojení ∐ i ∈ I X i → Y místních homeomorfismů X i → Y je místní homeomorfismus.
Libovolný kvocient X / ~ → Y místního homeomorfismu X → Y v kompatibilním a otevřeném vztahu ekvivalence ~ je lokálním homeomorfismem. (Srov. „ skutečná přímka s dvojitým bodem “.)
Jakýkoli místní difeomorfismus od jedné odrůdy k druhé je místním homeomorfismem.

Topologická vlastnost je vlastnost, která je neměnná homeomorfismem.

Příklady

Celý difeomorfismus je homeomorfismus.
Riemann koule zbavena svého severního pólu je homeomorphic na rovinu: homeomorphism je zde stereografická projekce .
Torus rozměru 1 a kruh jednotky (nebo jakýkoli jiný kruh z nenulové okruhu) jsou homeomorphic.

Odkaz

Jacques Dixmier , obecná topologie , Paříž, PUF ,devatenáct osmdesát jedna, 164 s. ( ISBN 2-13-036647-3 , OCLC 417477300 ) , odstavce 2.5 s. 31 a 4.2.16 s. 55.

Podívejte se také

Související články

Externí odkaz

Homeomorfismus letadla na náměstí : animace na GeoGebra doprovázená cvičením