Eulerova identita

V matematice je Eulerova identita vztahem mezi několika základními konstantami a použitím tří aritmetických operací sčítání , násobení a umocňování :

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ pi} + 1 = 0}

kde základna $e$ přirozeného logaritmu je analýza je jednotka imaginární $i$ představuje algebry , na konstantní Archimedes $π$ představuje v geometrii , k celé číslo 1 aritmetický a číslo 0 matematiky .

Je pojmenována po matematikovi Leonhardovi Eulerovi, který ji uvádí v jeho Introductio , publikovaném v Lausanne v roce 1748 . Před uvedením Eulera tento vzorec znal anglický matematik Roger Cotes , který zemřel v roce 1716.

Demonstrace

Složitou analýzou

Vzhledem k tomu, $cos π = -1$ a $sin π = 0$ , tento vzorec je zvláštní případ $x = π$ z Eulerovy rovnice v komplexní analýzy (za jakékoliv reálné číslo $x , e i x = cos x + i sin x$ ).

Je to také speciální případ n = 2 neplatnosti součtu n -tých kořenů jednotky .

Podle geometrie

Juxtapozice 8 pravoúhlých trojúhelníků
Juxtapozice 16 pravoúhlých trojúhelníků
Ilustrace výsledku

Geometrická interpretace, která poskytuje ukázkovou stopu podle sekvence, je založena na vzájemném srovnání pravoúhlých trojúhelníků .

\ forall z \, \ in {\ mathbb {C}} \ quad {\ mathrm e} ^ {z} = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ left (1 + {\ dfrac {z} { n}} \ vpravo) ^ {n}

avšak při komplexním násobení, jehož výsledkem jsou rotace, je souřadný bod získán srovnáním N pravoúhlých trojúhelníků. $\ left (1 + {\ dfrac {{\ mathrm i} \ pi} N} \ right) ^ {N}$

Matematická krása

Eulerova identita je často uváděna jako příklad matematické krásy .

Ve skutečnosti se tam kromě rovnosti používají tři základní operace aritmetiky, každá jednou: sčítání , násobení a umocňování . Identita také zahrnuje pět základních matematických konstant :

0 , neutrální prvek sčítání.
1 , neutrální prvek násobení.
$π$ , všudypřítomný v trigonometrii , geometrie v euklidovském prostoru a matematická analýza ( $π$ = 3,14159265 ...)
$e$ , základ logaritmů, který se často objevuje v analýze, diferenciálním počtu a finanční matematice ( $e$ = 2,718281828 ...). Stejně jako $π$ je to transcendentní číslo .
$i$ , imaginární jednotka na bázi komplexních čísel , která umožňovala studium rozlišení polynomiálních rovnic, než bylo vidět jejich použití rozšířené.

Inventář těchto různých prvků lépe demonstruje obrácená polská notace Eulerova vzorce:

0; 1; e ; i ; π; *; ^; +; =

V této formě je navíc identita psána jako výraz rovný nule, což je běžná praxe v matematice.

Dedukujeme, že komplexní exponenciál je $2πi$ - periodický .

Pocty

Paul Nahin, emeritní profesor na University of New Hampshire , píše ve svém díle o Eulerovy identity a jejích aplikací v Fourierova analýza , že vzorec definuje jen „ zlatý standard z matematické krásy “ .

Když byla identita Eulera odhalena Benjaminovi Peirceovi , prohlásil: „Pánové, to je jistě pravda, je to naprosto paradoxní; nemůžeme to pochopit a nevíme, co to znamená, ale dokázali jsme to, a proto víme, že to musí být pravda. " .

Eulerova identita také se objeví v románu hospodyně a profesora z Yoko Ogawa .

Dějiny

Anglický matematik Roger Cotes (zemřel 1716, když bylo Eulerovi pouhých 9 let) tuto identitu znal. Euler se o jeho existenci mohl dozvědět od svého švýcarského krajana Johanna Bernoulliho .

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Eulerova identita “ ( viz seznam autorů ) .

„ Neutrální prvky _ neutralizace faktoru_nebo termínu_vlastností 4 operací s celými čísly a desetinnými místy “ , na adrese warmaths.fr (přístup 22. září 2017 )
najdete na Math Stack Exchange podrobnou analýzu této ukázky (in) .
(in) James Gallagher , „ Matematika: Proč mozek vidí krásu matematického esa “ , BBC News Online ,13. února 2014( číst online ).
( In ) John Allen Paulos , Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics , Penguin , 1992 ( ISBN 0-14-014574-5 ) , str. 117.
(in) Robert P. Crease (in) , „ Rovnice mají ikony “ PhysicsWeb , březen 2007 ( nápis o přístupu ).
(in) Eli Maor , e: Příběh čísla , Princeton University Press , 1998 ( ISBN 978-0-691-14134-3 ) , s. 160 a (ne) Edward Kasner a James R. Newman , Matematika a představivost (in) , Dover , 2013 ( 1 st ed. Simon & Schuster , 1940), str. 103-104 .
(in) Charles Edward Sandifer, The Early Mathematics of Leonhard Euler , American Mathematical Society, str. 4 . ( ISBN 978-0521116602 )