Neurčitý

{\ displaystyle P = 4X ^ {2} + 2X + 1 \;}

Příklad polynomu s celočíselnými koeficienty, neurčitého

X

V matematice je neurčitý pojem umožňující formalizovat objekty, jako jsou formální polynomy , racionální zlomky nebo dokonce formální řady . To je odkazoval se na obecně velké písmeno X. . Neurčitý nám umožňuje definovat algebraické struktury, které jsou někdy v analýze jednodušší než jejich ekvivalenty.

Například na kterémkoli integrálním kruhu se pole racionálních zlomků, definované pomocí neurčitého X , liší od ekvivalentní struktury racionálních funkcí proměnné x . Racionální zlomek X / X se tedy přesně rovná 1, zatímco racionální funkce x / x není definována na 0.

Koncept neurčitého také umožňuje definovat nové algebraické struktury, jako jsou konečná rozšíření polí v Galoisově teorii . Příklad je uveden v článku Konečné tělo . Formální polynomy poskytují množiny užitečné pro řešení diofantických rovnic , příklad je uveden v článku Demonstrace Fermatovy poslední věty . Příklad použití neurčitého k definování pole pomocí racionálních zlomků je uveden v článku Dokonalé tělo .

Tento článek se zabývá pouze případem neurčitého; obecný případ je přiblížen v článku Polynomial u několika neurčitých .

Formalismus

Formálně síla řádu neurčitého určuje posloupnost všude nula kromě indexového členu, který se rovná 1. Polynom je v tomto formalismu téměř nulová posloupnost , to znamená nula od d 'určité pozice. Přidání je to apartmá. Násobení je definováno: $ne$ $ne$

{\ displaystyle \ forall n, m \ in \ mathbb {N} \ quad X ^ {n} \ cdot X ^ {m} = X ^ {n + m}}

Pokud jsou koeficienty vybrány z kruhu , který je označen A , je předmětem studia konkrétně množina A [ X ] polynomů s koeficienty v A.

Sada A [ X ] je opatřena sčítáním a násobením, která se řídí stejnými pravidly jako pravidla neznámých formalizovaných pro rovnice:

{\ displaystyle \ forall (a_ {i}) \ v A ^ {n} \ quad \ forall (b_ {j}) \ v A ^ {m} \ quad \ left (\ sum _ {i = 0} ^ { n} a_ {i} X ^ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {m} b_ {j} X ^ {j} \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {n + m} \ vlevo (\ sum _ {i + j = k} a_ {i} b_ {j} \ vpravo) X ^ {k}}

Příklady

Na kruhu celých čísel Z je kruh polynomiálních funkcí izomorfní k kruhu formálních polynomů, zatímco tato vlastnost není pravdivá v konečném poli , které připouští pouze konečný počet polynomiálních funkcí a nekonečno formálních polynomů.

Celá sada řady C , n -tý koeficient je n ! dává malý smysl, je definována pouze nula, neliší se od celé řady včetně n- tého koeficientu je 2. Ne !. Ekvivalentní formální řady definované pomocí neurčitého jsou dokonale definované a liší se. Jelikož se nejedná o funkce, nemůže u formální řady vyvstat otázka konvergence.

Formální polynom

Lze se divit zájmu opustit funkční aspekt polynomu a ponechat pouze algebraickou definici. Časté používání formálního polynomu v teorii rovnic, tedy teorie zabývající se řešením polynomiální rovnice, lze vysvětlit několika důvody, vysvětlenými ve zbytku tohoto odstavce.

Důležitou otázkou spojenou s polynomem je stanovení jeho kořenů ; často se studuje pomocí formálního polynomu. Z tohoto důvodu někdy mluvíme o neznámém místo o neurčitém. Mimo kontext rovnice je pojem neznámý trochu nesprávný a termín neurčitý přesnější.

Rozdíl mezi formálním polynomem a ekvivalentní polynomickou funkcí se vizuálně zhmotní použitím velkého písmene X pro neurčitost formálního polynomu a malého písmene x pro označení proměnné polynomiální funkce. Někdy se kvůli jasnosti používají různé symboly k rozlišení funkce polynomu od formálního polynomu.

Polynomiální rovnice s celočíselnými koeficienty

Řešení polynomiální rovnice pomocí polynomiální funkce nebo formálního polynomu není jen otázkou formalismu. Nástroje použité v obou případech nejsou obecně stejné. Modelování pomocí neurčitého je ospravedlněno především použitím nástrojů, které jsou s tímto formalismem definovány přirozenějším způsobem. Nalezení kořenů polynomu P se rovná jeho rozčlenění do jednotných polynomů prvního stupně. Píšeme P následovně a x 1 ..., x n jsou kořeny P :

{\ displaystyle P = (X-x_ {1}) \ cdots (X-x_ {n})}

Pro ilustraci použití těchto nástrojů, podívejte se na kořeny polynomu P = X 2 - 2 x + 3 Q [ X ], to znamená, že kroužek formálních polynomy s koeficienty v Q . Polynom P je ireducibilní, tj. V Q [ X ] prsten formálních polynomů P ( X ) nefaktorizuje jako součin dvou polynomů prvního stupně. Že je nezbytné vytvořit komutativní pole K , obsahující jak Q a x 1 kořen P . Bylo by možné zvolit K rovné C , pole komplexů, ale algebraista preferuje použití pole co nejmenšího. Rovnice P (x) = 0 pro x složku těla L připouští pak kořen tehdy a jen tehdy, pokud těleso L obsahuje kopii z těla K . Pro konstrukci toto tělo je použit stejný nápad jako má kongruenci na celých čísel , ale tentokrát v kruhu Q [ X ] modulu P . Jeden získá faktorokruh složený z polynomů stupně menší než nebo rovnou 1, protože euklidovské dělení polynomu P zanechává zbytek stupně striktně menším než P . Jestliže x 1 označuje modulo P třídu neurčitého X , pak jakákoli shoda má tvar a + bx 1 . Označíme tento podíl Q [ x 1 ], tato struktura je strukturou komutativního pole (viz článek Kvadratická přípona ). Pokud je P nyní považován za polynom s koeficienty v Q [ x 1 ], má kořen:

{\ displaystyle X ^ {2} -2X + 3 = \ podprsenka {(X ^ {2} -2X + 3) \ cdot 1 + 0} _ {\ text {euklidovské dělení}} \ quad {\ text {a} } \ quad X ^ {2} -2X + 3 \ equiv 0 \ mod P \ quad {\ text {nebo znovu}} \ quad x_ {0} ^ {2} -2x_ {0} + 3 = 0}

Logika se velmi liší od logiky modelu využívajícího polynomiální funkci. Polynomu funkcí, roztok se vyjadřuje výpočet obrazu polynomické funkce prvek v prodloužení o Q . Rozšíření Q je těleso obsahující Q , často C . S neurčitými a formálními polynomy zkonstruujeme pole obsahující kořen, které se nazývá lomové pole, a kořen se získá přechodem do kvocientu a ne výpočtem hodnoty funkcí. Tělo Q [ x 1 ] je dobrým kandidátem na tělo K hledal. Obsahuje kořen P a jakýkoli prvek Q [ x 1 ] je zapsán a + bx 1 , kde a a b jsou dvě racionální čísla. Tělo Q [ x 1 ] je nejmenší obsahující jak Q a kořen P .

Euklidovské dělení P formálním polynomem X - x 1 ukazuje, že druhý kořen je také prvkem Q [ x 1 ]. Vývoj faktorizované formy P dává navíc vztahy:

{\ displaystyle X ^ {2} -2X + 3 = (X-x_ {1}) (X-x_ {2}) \ quad {\ text {with}} \ quad x_ {1} \ in \ mathbb {Q } [x_ {1}] \ quad {\ text {a}} \ quad x_ {1} + x_ {2} = 2, \; x_ {1} \ cdot x_ {2} = 3}

Zvolené pole K není vždy Q [ x 1 ], někdy dáváme přednost vyjádření kořenů radikály. Radikál je kořen polynomu X n - q. Zkonstruujeme to stejným způsobem a někdy to zapíšeme : n √q. Zde q může jednoznačně označit záporné číslo. Ve skutečnosti √q označuje třídu X v kongruencích Q [ X ] modulo X n - q.

Pole Q [ x 1 ] lze také považovat za vektorový prostor na Q , dimenze 2 a základny (1, x 1 ). Cílem je najít radikál r v Q [ x 1 ], kde radikál je iracionální, jehož čtverec je racionální. Rodina (1, r ) je nutně volná, protože r je iracionální a generativní, protože Q [ x 1 ] je dimenze 2. Abychom našli tento radikál, vezmeme v úvahu automorfismy pole Q [ x 0 ], tj. mapy, které respektují sčítání, násobení pole a které mají pro obrázek 1 hodnotu 1. Tyto automorfismy tvoří skupinu zvanou Galoisova skupina . V uvažovaném případě existují pouze dva, jeden je identita; druhý, známý σ je lineární mapa, která k 1 asociaci 1 a x 1 asociaci x 2 . Protože součet x 1 a x 2 se rovná 2, získáme matici S σ, viděnou jako endomorfismus vektorového prostoru. Matice je uvedena v základně (1, x 1 ).

{\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}

Endomorfismus σ je diagonalizovatelný z vlastních vektorů 1 a r = x 1 - x 2 příslušných vlastních hodnot 1 a -1. Všimli jsme si, že ( x 1 - x 2 ) 2 je vlastní vektor vlastní hodnoty 1, je to tedy lineární kombinace 1, to znamená racionální číslo, r je skutečně hledaný radikál. Rychlý výpočet ukazuje, že r 2 = -8. Je možné definovat K , zde rovné Q [√-2]. Pokud nyní x 1 a x 2 vždy označují dva kořeny polynomu P , ale tentokrát v K , máme dvě rovnosti:

{\ displaystyle x_ {0} + x_ {1} = 2 \ quad {\ text {a}} \ quad x_ {0} -x_ {1} = 2 {\ sqrt {-2}} \ quad {\ text { so}} \ quad x_ {0} = 1 + {\ sqrt {-2}}, \; x_ {1} = 1 - {\ sqrt {-2}}}

Je možné zobecnit tuto metodu k překonání jakékoli polynomiální rovnice, kterou lze vyřešit radikály, a vstupuje do teorie zvané Galois . Nyní bude možné řešit polynomial rovnice v C . Pole K je izomorfní, do podpole C obsahující lineární kombinace s racionálními koeficienty 1 a i .√2. Pozor, v C je symbol √-2 nejednoznačný, může označovat i .√2 i - i .√2. Dva kořeny v C jsou tedy 1 + i .√2 a 1 - i .√2. Hodnota √2 označuje v C a v R matematickou definici zcela odlišně a pomocí topologie . Funkce, která se přidruží k x s x 2, je spojitá a má přísně rostoucí derivaci přes R + - {0}, jedná se o bijekci z R + do R + a 2 má předchůdce s názvem √2.

Použití různých nástrojů ( x proměnné v polynomiální funkci x 2 a X označující neurčitý) umožňuje různá řešení stejné otázky: extrakce kořenů polynomu. Dva výrazy pro řešení nemají stejný význam.

Poznámky a odkazy

Kniha o Galoisově teorii se obecně zabývá hlavně formálními polynomy. Viz například Régine a Adrien Douady , Algèbre et theories galoisiennes [ detail vydání ]
Co je to polynom , La Recherche
Toto je například konvence následovaná: N. Lanchierem, Racines des polynômes à une indeterminée , Rouenská univerzita
V zde prezentovaném textu je polynomiální funkce překonána vlnovkou k označení rozdílu, neurčitý je označen X a proměnná procházející C je označena z : Cvičení: Polynomy s neurčitým ESC 1 Dupuy de Lôme
Bas Edixhoven a Laurent Moret-Bailly , Algebraická teorie čísel, magisterský kurz z matematiky , University of Rennes 1 ,2004( číst online ).

Podívejte se také