Bochnerův integrál

V matematiky se Bochner integrál , který nese jméno jeho tvůrce Salomon Bochner , rozšiřuje definici Lebesgue integrálu k funkcím s hodnotami v Banachova prostoru , jako limit integrálů inscenovaných funkcí .

Definice

Nechť ( X , Σ, μ) je měřený prostor . Snažíme se budovat integrál funkcí definovaných na X s hodnotami v Banach B prostoru . Bochnerův integrál je definován podobně jako Lebesgueův integrál. Nejprve je stupňovitá funkce jakýkoli konečný součet tvaru:

{\ displaystyle s (x) = \ součet _ {i = 1} ^ {n} \ chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i}}

kde E i členy -algebra å je b i jsou prvky B a χ E je charakteristická funkce z E , také nazývá funkce indikátoru. Pokud je μ ( E i ) konečné, cokoli b i ≠ 0, pak je stupňovitá funkce integrovatelná a integrál je definován:

{\ displaystyle \ int _ {X} \ vlevo [\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ chi _ {E_ {i}} (x) b_ {i} \ vpravo] \, {\ rm {d }} \ mu = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mu (E_ {i}) b_ {i}}

přesně tak, jak pro běžnou Lebesgueův integrál (ověříme, že tato definice není nejasné , i když neukládají na E i jako disjoint). Bochner-měřitelné funkce (en) ƒ : X → B je integrovatelná do Bochner smyslu, v případě, že existuje sled integrovatelná představené funkce je n takové, že:

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} \ | f-s_ {n} \ | _ {B} \, {\ rm {d}} \ mu = 0,}

kde integrál na levé straně je obyčejný Lebesgueův integrál. V tomto případě je Bochnerův integrál definován:

{\ displaystyle \ int _ {X} f \, {\ rm {d}} \ mu = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} s_ {n} \, {\ rm {d} } \ mu.}

Funkce je integrovatelná ve smyslu Bochnera tehdy a jen tehdy, pokud patří do Bochnerova prostoru (en) L 1 .

Vlastnosti

Mnoho známých vlastností Lebesgueova integrálu platí pro Bochnerův integrál. Kritérium integrovatelnosti Bochnera je obzvláště užitečné, stanoví, že pokud ( X , Σ, μ) je měřený prostor, pak je měřitelná funkce ve smyslu Bochnera ƒ : X → B integrovatelná ve smyslu Bochnera tehdy a jen tehdy, když:

{\ displaystyle \ int _ {X} \ | f \ | _ {B} \, {\ rm {d}} \ mu <\ infty.}

Funkce ƒ : X → B se říká, že je měřitelná v Bochner smyslu, je-li stejná μ-téměř všude k funkci g s hodnotami v rámci oddělitelné podprostoru B 0 z B , a tak, že inverzní obraz g -1 ( U ) jakékoli otevřené části U v B patří k Σ. Ekvivalentně je ƒ μ-téměř všude limit posloupnosti stupňovitých funkcí.

Pokud T je spojitý lineární operátor a ƒ je integrovatelný v Bochnerově smyslu, pak Tƒ je integrovatelný v Bochnerově smyslu a integraci a T lze vyměnit:

{\ displaystyle \ int _ {X} Tf {\ rm {d}} \ mu = T \ int _ {X} f {\ rm {d}} \ mu.}

Tento výsledek platí také pro uzavřené operátory za podmínky, že Tƒ je také integrovatelný, což triviálně platí pro operátory T ohraničené podle výše uvedeného kritéria.

Jedna verze dominované věty o konvergenci platí pro Bochnerův integrál. Konkrétně, pokud ƒ n : X → B je posloupnost měřitelných funkcí v celém měřeném prostoru, která téměř všude konverguje na limitní funkci ƒ a pokud existuje g ∈ L 1 (μ) takové, že

{\ displaystyle \ | f_ {n} (x) \ | _ {B} \ leq g (x)}

Pro téměř všechny x ∈ X , pak

{\ displaystyle \ int _ {X} \ | f-f_ {n} \ | _ {B} \, {\ rm {d}} \ mu \ až 0}

když n → ∞ a

{\ displaystyle \ int _ {E} f_ {n} \, {\ rm {d}} \ mu \ to \ int _ {E} f \, {\ rm {d}} \ mu}

pro všechny E ∈ Σ.

Pokud je ƒ integrovatelné v Bochnerově smyslu, pak nerovnost

{\ displaystyle \ left \ | \ int _ {E} f \, {\ rm {d}} \ mu \ right \ | _ {B} \ leq \ int _ {E} \ | f \ | _ {B} \, {\ rm {d}} \ mu}

platí pro všechny E ∈ Σ. Zejména funkce

{\ displaystyle E \ mapsto \ int _ {E} f \, {\ rm {d}} \ mu}

definuje vektorové měření (en) kvantitativně aditivní na X s hodnotami v B , které je absolutně spojité vzhledem k μ.

Vlastnil Radon-Nikodym

Důležitou vlastností Bochnerova integrálu je, že Radonova-Nikodymova věta obecně neplatí. To vede k definování takzvané Radon-Nikodym vlastnosti pro Banachovy prostory. Pokud μ je míra na ( X , Σ), pak B má vlastnost Radon - Nikodym vzhledem k μ, pokud pro jakoukoli spočitatelnou vektorovou míru na ( X , Σ) s hodnotami v B , s omezenou variací a naprosto spojitou vzhledem k u μ existuje μ-integrovatelná funkce g : X → B taková, že: $\ gama$

{\ displaystyle \ gamma (E) = \ int _ {E} g \, {\ rm {d}} \ mu}

pro jakoukoli měřitelnou množinu E ∈ Σ.

Prostor Banacha B má vlastnost Radon-Nikodym, pokud má B tuto vlastnost s ohledem na jakoukoli konečnou míru . Prostor ℓ 1 má tuto vlastnost, ale toto není případ prostoru c 0 nebo prostorů , pro omezená aplikace a pro K je kompaktní prostor nekonečna. Mezi prostory s vlastností Radon-Nikodym patří oddělitelné duální prostory ( Dunfordova - Pettisova věta ) a reflexivní prostory , zejména Hilbertovy prostory . ${\ displaystyle L ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ Omega)}$ $\ Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle C (K)}$

Poznámky a odkazy

(en) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Bochnerův integrál “ ( viz seznam autorů ) .

(in) Joseph Diestel a John Jerry Uhl , Vector Measures , AMS ,1977, 322 s. ( ISBN 978-0-8218-1515-1 , číst online ) , s. 61.
Diestel a Uhl 1977 , s. 79-81.
Diestel a Uhl 1977 , s. 76, Dodatek 13 ( Phillips (en) ).

Podívejte se také

Související článek

Pettis integrální (in)

Bibliografie

(de) Salomon Bochner, „ Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind “ , Fundamenta Mathematicae , sv. 20,1933, str. 262-276 ( číst online )
(en) Joseph Diestel , Sequences and Series in Banach Spaces , Springer-Verlag , kol. „ GTM “,1984, 261 s. ( ISBN 0-387-90859-5 )
(en) Einar Hille a Ralph S. Phillips (en) , Functional Analysis and Semi-Groups , AMS,1957( ISBN 0-8218-1031-6 )
(en) Serge Lang , Skutečná a funkční analýza , Springer,1993, 3 e ed. , 580 s. ( ISBN 978-0-387-94001-4 )

externí odkazy

(en) VI Sobolev , „Bochnerův integrál“ , Michiel Hazewinkel , Encyklopedie matematiky , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , číst online )
(en) D. van Dulst , „Vector measures“ , v Michiel Hazewinkel , Encyklopedie matematiky , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , číst online )
(en) Diómedes Bárcenas, „ Radon-Nikodymova věta pro reflexní Banachovy prostory “ , Divulgaciones Matemáticas , sv. 11, n o 1,2003, str. 55-59 ( číst online )