Postupná funkce

Funkce jednoduché je numerická funkce , jejíž obraz se skládá z konečného počtu skutečných (nebo případně komplexní ) hodnot ;
Vstoupil funkce je jednoduchá funkce definovaná na měřitelné prostoru, a která je sama o sobě měřitelná funkce ;
Funkce krok je krok funkce definovaná na množině reálných a jejichž hodnoty (aktuální) jsou konstantní v intervalech : jsou tedy funkce po částech konstantní .

Ve třech významech lze každou z těchto funkcí vyjádřit jako lineární (tedy konečnou) kombinaci charakteristických funkcí .

Tyto funkce hrají v teorii integrace důležitou roli :

představil funkce pro Lebesgueova integrálu ;
funkce schodiště pro integrál Riemann a Kurzweil-Henstock .

Společná charakteristická vlastnost

Vlastnost - Funkce je jednoduchá právě tehdy, pokud se jedná o lineární kombinaci charakteristických funkcí.

Důkaz

Potřebujete:

Nechť $f je$ prostá funkce a mají k o n hodnot to může trvat. Nechť k znamenají reciproční obraz z {a k } , která je . Protože A k jsou dva po dvou nesouvislých , pak pro všechna x v doméně definice $f$ : ${\ displaystyle A_ {k} = f ^ {- 1} ({a_ {k}})}$

{\ displaystyle f (x) = \ součet _ {k = 1} ^ {N} a_ {k} 1_ {A_ {k}} (x).}

U stupňovitých funkcí si povšimneme, že A k je měřitelný, protože $f$ má být.

Dostatečnost:

Nechť n množin B k je funkce $f$ definovaná

{\ displaystyle f (x) = \ součet _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} 1_ {B_ {k}} (x)}

kde jsou uvedeny n hodnoty b k .

Protože x může současně patřit k několika B k (když průsečíky nejsou prázdné), počet různých hodnot, které $f$ může nabrat, je omezen o 2 n . Takže, $f$ je funkce jednoduché.

U funkcí jednoduchých ( střídavě rozložených , schodišťové ) vyplývají z definice a předchozí vlastnosti následující vlastnosti:

Jednoduchá funkce je lineární kombinace charakteristických funkcí formuláře

{\ displaystyle f (x) = \ součet _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x)}

kde

A 1 , ..., A n

je konečná posloupnost množin a

a 1 , ..., a n

je konečná posloupnost hodnot v ℝ (nebo ℂ).

Mezi různými možnými reprezentacemi vyjádřenými pomocí předchozího vztahu je konkrétní (nazývané kanonické )
- množiny $A k$ jsou dvě nebo dvě disjunktní,
- hodnoty $a k$ jsou odlišné a ne nula,
- $n = 0 právě$ tehdy, když $f = 0$ .
Součet nebo součin dvou jednoduchých funkcí nebo součin jednoduché funkce reálným (nebo komplexem) jsou vždy jednoduché funkce.
Sada jednoduchých funkcí představuje komutativní algebru ℝ (nebo ℂ) a tím spíše vektorový prostor .
Pro stupňovitým funkci , tedy měřitelné a definované přes měřitelné prostoru , sady $K$ kanonické reprezentace jsou měřitelné. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$

Hustota stupňovitých funkcí

Věta -

Všechny pozitivní měřitelná funkce je jednoduchá hranice z rostoucí posloupnosti osazených funkcí.
Jakákoli měřitelná funkce je jednoduchým limitem stupňovitých funkcí.
Každá omezená měřitelná funkce je jednotným limitem stupňovitých funkcí.

Demonstrace

1 : nechť $f$ je pozitivní měřitelná funkce. Pro libovolné přirozené číslo $n$ se $[0, + \infty]$ rozdělí na $N n = 2 2 n + 1$ dílčích intervalů definovaných

{\ displaystyle I_ {n, k} = \ left [{\ frac {k-1} {2 ^ {n}}}, {\ frac {k} {2 ^ {n}}} \ right [}

pro

1 \leq k \leq N n - 1

{\ displaystyle I_ {n, N_ {n}} = [2 ^ {n}, + \ infty].}

Definujeme měřitelné množiny $A n , k = f -1 ( I n , k )$ pro $1 \leq k \leq N n$ .

Sada funkcí

{\ displaystyle f_ {n} = \ součet _ {k = 1} ^ {N_ {n}} {\ frac {k-1} {2 ^ {n}}} {\ mathbf {1}} _ {A_ { n, k}}}

se potom zvyšuje a jednoduše konverguje k $f$ .

2 se okamžitě odvodí z 1, protože pozitivní a negativní části měřitelné funkce jsou měřitelné.

3 : pro pozitivní funkci $f$ ohraničenou $y > 0 nám$ konstrukce vyvinutá pod 1 umožňuje konstatovat, že

{\ displaystyle | f (x) -f_ {n} (x) | \ leq 2 ^ {- n}}

jakmile

2 n > r

. Jednotná konvergence je proto uspokojena.

U jakékoli omezené funkce nám dekompozice uvedená v bodě 2 umožňuje závěr.

Integrace postupné funkce

V teorii měření je definování integrálu funkce pozitivního kroku jedním z prvních kroků vedoucích k definici integrálu s ohledem na pozitivní měření .

Nechť měří prostor . Za všechno, co definujeme ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle A \ v {\ mathcal {A}},}$

${\ displaystyle \ int 1_ {A} \, d \ mu = \ mu (A).}$

Pro pozitivní stupňovitou funkci ukládá linearita integrálu následující vztah: ${\ displaystyle f (x) = \ součet _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x),}$

${\ displaystyle \ int f \, d \ mu = \ součet _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}).}$

Aby byl tomuto vztahu přiznán status definice, je vhodné zajistit jeho konzistenci kontrolou, že integrál kladné stupňovité funkce je nezávislý na jeho reprezentaci ve formě lineární kombinace charakteristických funkcí.

Demonstrace

Rozdílem to stačí ověřit ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} = 0 \ Rightarrow \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}) = 0,}$ Pro každý n -tuple $e$ prvků rovná ± 1, poznámka $B ε$ průsečíku $A k ε k$ , kde $A K +1$ označuje soubor $k$ a $k$ $-1$ určí svého komplementární v $X$ . $B$ $ε$ jsou tedy dvě nebo dvě disjoints, každý $k$ je spojení, pro které $ε$ $k$ $= 1$ , a její opatření je součet opatření těchto $B$ $e$ . Hypotéza ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} = 0}$ pak přepsat ${\ displaystyle \ sum _ {\ varepsilon} a _ {\ varepsilon} {\ mathbf {1}} _ {B _ {\ varepsilon}} = 0 {\ text {with}} a _ {\ varepsilon} = \ součet _ {\ varepsilon _ {k} = 1} a_ {k},}$ to znamená, že pro všechna $ε$ je $B ε$ prázdná nebo $a ε$ je nula. Takže máme ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}) = \ sum _ {\ varepsilon} a _ {\ varepsilon} \ mu (B _ {\ varepsilon} ) = 0.}$

Pak jsme se zjistit, že tato mapa ∫ je lineární , a že se zvyšuje (je-li $f \leq g$ pak $\int f d μ \leq \int g d μ$ ) jakmile $μ$ je pozitivním opatřením .

V konkrétním případě, kdy $X$ je skutečný segment opatřený Lebesgueovou mírou , je ∫ definováno zejména u stupňovitých funkcí a splňuje Chaslesův vztah .

Integrace funkce schodiště v segmentu

Postupné funkce jsou podle Lebesgueovy teorie integrace, co jsou funkce schodiště pro integraci Riemanna nebo Kurzweila-Henstocka.

Například v konkrétním případě, kde $1$ $, ...,$ $n$ jsou souvislé intervaly stejné délky $, delta$ , a kde $i$ se provádí vyhodnocení funkčního $g$ ve středu intervalu $A$ $I$ , výraz je zvláštní případ Riemannova součtu . ${\ displaystyle I_ {n} = \ Delta \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}$

Obvykle se funkce schodiště zobrazují v daném intervalu, lze je rozšířit o 0 nad ℝ celé číslo, což umožňuje zbavit se intervalu a uvažovat o jediné sadě funkcí.

Poznámky

U funkce schodiště jsou množiny $A k$ spojením konečného počtu intervalů.
$I$ $n$ je také aproximace běžně používaná pro numerický výpočet integrálu , známější pod názvem metody středního bodu .