Prstencový morfismus

Morfismus kroužků se aplikuje mezi dvěma kroužky (jednotka), A a B , v souladu se zákony z těchto kruhů a odešle neutrální Multiplikativní Na multiplikativní neutrální B .

Definice

Kroužek morfismus je mapa f mezi dvěma (jednotkový) kruhy A a B , která splňuje tyto tři vlastnosti:

Pro všechna a , b v A :

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f ( a ∙ b ) = f ( a ) ∙ f ( b ) f (1 ) = 1 B .

Příklady

Zahrnutí kruhu relativních celých čísel Z do kruhu reálných čísel R (tj. Mapa i mezi těmito dvěma množinami definovanými pomocí i ( n ) = n ) je injektivní morfismus;
Pro n přísně kladné celé číslo je projekce Z na kruhu Z / n Z surjektivní morfismus;
Komplex konjugace je bijective morfismus z komutativního pole C komplexních čísel na sebe, s názvem automorfismus o C ;
Vzhledem k okruhu funkcí, například kruhu spojitých funkcí od R do R a bodu c výchozí množiny, je mapa, která funkci f spojuje s hodnotou f ( c ), morfismus, uvedl morfismus hodnocení ;
Stejným způsobem, A je komutativní prstenec a c prvek A , mapa, která spojuje s polynomem P kruhu A [ X ], jeho hodnota P ( c ) je morfismem od A [ X ] do A ;
Pokud P je invertibilní matice v kruhu čtvercových matic s koeficienty v kruhu R , mapa, která se sdružuje se čtvercovou maticí M, je matice PMP –1 automorfismem kruhu matic.
Pokud R je kruh a E a modul (vlevo) na R , uvažujeme pro každé a z R aplikaci f a od E do E definovanou f a ( x ) = ax , což je endomorfismus abelianské skupiny E . Aplikaci, ke které má přidružené f má pak morfizmus kroužku kroužky A na kruhu ve skupině endomorphism E .

Na druhou stranu, následující příklady nejsou morfismy:

Nulové mapování (kromě případů, kdy je prsten příjezdu triviální prsten ): zachovává dvě operace a jako takový je morfismem pseudokroužků , neověřuje však podmínku týkající se multiplikativ neutrálů.
Ve stejném duchu aplikace Z na kruh matic (2,2) s celočíselnými koeficienty, které spojují matici s celým číslem n, zachovává tyto dvě operace, ale není morfismem pro nedostatek odeslání celého čísla 1 na jednotku matice . $\ begin {pmatrix} n & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}$

Vlastnosti spojené s jednou operací

Zejména kruhový morfismus je morfismus skupiny mezi základními skupinami aditiv. Proto obecně obnovujeme některé známé vlastnosti pro tyto:

f (0 A ) = 0 B
pro všechny A z A , f (- ) = - f ( )
můžeme představit jádro morfismu, definované jako reciproční obraz {0 B } a označené Ker ( f ). Morfismus f je injektivní, právě když je jeho jádro sníženo na {0 A }.

Podobně, f je morfizmus z multiplikativních monoidů jsme odvodit, že v případě, je invertible v A , f ( ) je také a:

f ( a –1 ) = [ f ( a )] –1 .

Složení morfismů

Mapování identita kteréhokoliv kruhu A je morfismus.
Sloučenina dvou morphisms je morfismus.

Tedy, za předpokladu jejich morfismů, prsteny tvoří kategorii .

Navíc, pokud je prstenový morfismus bijektivní, je jeho reciproční také morfismus.

Izomorfismus prstenů nazýváme bijektivní morfismus ( automorfismus, když jsou prstence odletu a příjezdu stejné). Dva prstence, mezi nimiž je izomorfismus, jsou považovány za izomorfní .

Ponorky a nástavce

Když máme injektivní morfismus mezi dvěma kruhy, tj. I od A do S , je běžné zapomenout na rozdíl mezi množinou A a jejím obrazem A 1 = i ( A ). Identifikujeme izomorfní struktury A a A 1 do té míry, že dobrovolně zapomeneme na rozdíl mezi těmito dvěma množinami a použijeme notace, které je nerozlišují.

Pokud například sestrojíme komplexní čísla jako páry reálných, komplexní číslo 3 je ze své podstaty pár reálných (3,0) a nebude se rovnat skutečnému 3. Použití notací, které je odlišuje, by bylo velmi nepraktické., A my „identifikovat“ je. Tak se říká, že R je „podmnožinou“ z C tak, že přísně vzato existuje pouze sada s injective morfismu do C .

V těchto souvislostech se často říká, že je ponořen v S , nebo S je rozšíření z A .

Morfismy, dílčí prsteny, ideály

Prstencové morfismy se chovají s dílčími kroužky jako skupinové morfismy s podskupinami:

Inverzní obraz z subring z B prostřednictvím morfismu je subring A .
Přímý obraz z subring A prostřednictvím morfismu je subring B .

U ideálů, stejně jako u významných podskupin, můžeme končit pouze jedním směrem:

Obraz inverzní z ideální doleva (resp. Pravým resp. Oboustranný) a B pomocí morfismu je levý ideální (resp. Vpravo, resp. Oboustranný) z A . To platí zejména pro jádro , vzájemný obraz nulového bilaterálního ideálu.
Pokud jde o přímý obraz ideálu A , můžeme jen konstatovat, že se jedná o ideál (stejné povahy) dílčího kruhu f ( A ).

Komutativní polní morfismy

Morfismus komutativního těla je podle definice kruhový morfismus mezi dvěma komutativními orgány .

Každý morfismus těla je injektivní, jeho jádro je ideál a tělo, které nemá jiné ideály než nulový ideál a samo o sobě. Jde tedy o izomorfismus právě tehdy, je-li surjektivní.

To vše je zobecněno na levá těla .

Morfismy z pohledu kategorií

V kategorii (jednotných) prstenů jsou monomorfismy přesně injektivní morfizmy. Na druhé straně, je-li některý surjective morfismus je epimorfizmus (jako v každém subkategorie v kategorii souborů ), hovořit je ne pravdivý: injekce Z na Q je non-surjective epimorfizmus.

Poznámky a odkazy

li f je surjektivní , druhá vlastnost zahrnuje třetí: srov Morfismus monoidů .
Tato výstava vložení a rozšíření je převzata z konzultace Davida M. Burtona, První kurz prstenů a ideálů , Addison Wesley,1970, str. 31 a Paul Cohn , Algebra , t. 1, Wiley ,1974( ISBN 0-471-16430-5 ), str. 137-138
Pro celou sekci „Morfismy, dílčí prsteny, ideály“ viz DM Burton, op. cit. , str. 27–28 (tato kniha nepředpokládá jednotné kroužky, ale to na těchto tvrzeních nic nemění)
(in) Louis Rowen , Ring Theory , sv. 1, Akademický tisk ,1988( ISBN 0-12-599841-4 ), str. 15. Příkladem zahrnutí Z do Q je pro Rowena „tragédie“ kategorie prstenů.