L'Arénaire ( starořečtina : Αρχιμήδης Ψαµµίτης, Archimedes Psammites ) je dílo Archimeda, ve kterém se pokouší určit horní hranici počtu zrn písku, které by mohly zaplnit vesmír . K tomu je veden k tomu, aby vynalezl způsob, jak popsat extrémně velká čísla , a aby získal odhad velikosti vesmíru.
Také známý svým latinského názvu města Archimedis Syracusani arenarius & Dimensio Circuli (de arena význam písek), a v angličtině pod výmluvnější názvem The Sand Reckoner (písek počítadla), tento text je určen k králi Syracuse Gelon , ac 230 př. N. L INZERÁT; je to pravděpodobně Archimédovo nejdostupnější dílo . Asi deset stránek dlouhý, to může být viděno, v jistém smyslu, jako první vědecká publikace jak akademická, tak populární .
Archimedes začíná vynalezením systému pro označení velkého počtu . Systém číslování, který se v té době používal, umožňoval vyjádření čísel až k nesčetnému množství ( μυριάς - deset tisíc); používáním samotného slova „myriad“ lze tento systém okamžitě rozšířit na pojmenování čísel až do myriad myriads, tj. sto milionů ( 108 ). Archimedes nazval čísla do 108 8 „prvočísly“ (nebo první oktady) a sám 108 8 nazval „jednotkou druhých čísel“. Násobky této jednotky se nazývají druhá čísla a ty sahají až k součinu této jednotky samotné (tedy nesčetné množství nesčetných opakování), tj. Až 10 8 × 108 = 10 16 . Toto číslo se nazývá „jednotka třetích čísel“, jejichž násobky budou třetí (nebo třetí oktadová) čísla atd. Archimedes pojmenovává čísla tímto způsobem, dokud nedosáhne jednoty 10. 8. oktady, to znamená .
Ačkoli tato čísla jsou zdaleka dostatečná pro výčet, který navrhl, Archimedes pokračuje v popisu svého systému následovně: množině čísel, kterou právě definoval, se říká „čísla první periody“ a větší „ slouží jako jednotka pro „druhé období“, která je konstruována podobně jako ta první. Archimedes pokračuje ve svém popisu, dokud nedosáhne 10. 8. období, a tak nakonec pojmenoval toto gigantické číslo
který je zapsán v desítkové soustavě jako 1 následovaný osmdesáti kulečníky (80 × 10 15 ) nul.
Systém Archimedes je v podstatě systém pozičního zápisu v základně 108 , o to pozoruhodnější, že Řekové používali mnohem jednodušší systém založený na jejich abecedě, který neumožňuje překročit nesčetné množství.
Archimedes objevil a při této příležitosti také prokázal přidání zákona pro vystavovatele , který je nezbytný pro manipulaci s pravomocí deseti.
Chcete-li získat odhad počtu zrn písku potřebných k vyplnění vesmíru, musí Archimedes nejprve odhadnout velikost vesmíru, jak byla v té době známa. On používá tento na heliocentrický model z Aristarchus Samos (tato práce Aristarchos je ztracena, práce Archimedes je jedním z mála odkazů na jeho teorii, že ostatky). Nesmírnost tohoto modelu pochází ze skutečnosti, že Řekové nebyli schopni pozorovat hvězdné paralaxy , což znamenalo, že musely být extrémně malé, a proto musely být hvězdy umístěny ve velmi velkých vzdálenostech od Země (za předpokladu, že heliocentrismus bude skutečný).
Aristarchos ve skutečnosti neposkytl odhad vzdáleností hvězd. Archimedes proto musel k tomuto tématu učinit hypotézu: rozhodl se připustit, že vesmír je sférický a že poměr jeho průměru k průměru oběžné dráhy Země kolem Slunce je stejný jako u druhého průměru. Země.
Chcete-li získat přirážku, Archimedes vzal poměrně velké nadhodnocení svých údajů a připustil:
Poté vypočítá (s využitím dalších přírůstků), že průměr vesmíru nemůže překročit 10 14 stupňů (asi 2 světelné roky ) a že k jeho naplnění by stačilo 10 63 zrn písku.
Cestou se Archimedes musel zapojit do zajímavých experimentů. Při odhadu úhlového průměru Slunce tedy vzal v úvahu konečnou velikost zornice oka, což je bezpochyby první příklad experimentu v psychofyzice , přičemž obor psychologie se zajímal o mechanismy vnímání, o jehož vývoj je obecně přičítán Hermannovi von Helmholtzovi .
(en) Gillian Bradshaw, The Sand-Reckoner , Forge (2000), 348pp, ( ISBN 0-312-87581-9 ) .