Integrální logaritmus
V matematiky je integrální logaritmus li se o speciální funkce je definována v kterémkoliv striktně pozitivní reálné číslo x ≠ 1 podle integrál :
li(X)=∫0Xdtln(t).{\ displaystyle {\ rm {li}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln (t)}}.}
kde ln označuje přirozený logaritmus .
Funkce není definována na t = 1 a integrál pro x > 1 musí být interpretován jako hlavní hodnota Cauchy :
t↦1/ln(t){\ Displaystyle t \ mapsto 1 / \ ln (t)}li(X)=limε→0(∫01-εdtln(t)+∫1+εXdtln(t)).{\ displaystyle {\ rm {li}} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ až 0} \ left (\ int _ {0} ^ {1- \ varepsilon} {\ frac {\ mathrm {d} t } {\ ln (t)}} + \ int _ {1+ \ varepsilon} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln (t)}} \ vpravo).}
Ekvivalent
Když x má tendenci k + ∞ , máme ekvivalenci
li(X)∼Xln(X),{\ displaystyle {\ rm {li}} (x) \ sim {x \ over \ ln (x)},}
což znamená
limX→+∞li(X)⋅ln(X)X=1.{\ displaystyle \ lim _ {x \ až + \ infty} {\ rm {li}} (x) \ cdot {\ frac {\ ln (x)} {x}} = 1.}
Podle věty o prvočísle je funkce počítání prvočísel π ( x ) ekvivalentní x / ln ( x ) , tedy li ( x ) , což také poskytuje lepší aproximaci.
Vlastnosti
Funkce li souvisí s exponenciálním integrálem Ei vztahem li ( x ) = Ei (ln ( x )) pro jakékoli striktně kladné reálné číslo x ≠ 1 . To vede k sériovým expanzím li ( x ) , například:
pÓuru≠0,li(Eu)=Ei(u)=y+ln|u|+∑ne=1∞unene⋅ne!,{\ displaystyle {\ rm {pro}} \; u \ neq 0 \ ;, \ quad {\ rm {li}} (e ^ {u}) = {\ rm {Ei}} (u) = \ gamma + \ ln | u | + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {u ^ {n} \ přes n \ cdot n!},}
kde γ ≈ 0,577 je Euler-Mascheroniho konstanta .
Funkce li má pouze jeden kořen, nachází se na x ≈ 1,451 ; toto číslo je známé jako Ramanujan-Soldnerova konstanta .
Integrovaná funkce logaritmické odchylky
Funkce logaritmické odchylky je speciální funkce Li ( x ) velmi podobná logaritmické integrální funkci, definovaná následovně:
Li(X)=li(X)-li(2)=∫2Xdtln(t){\ displaystyle \ mathrm {Li} (x) = \ mathrm {li} (x) - \ mathrm {li} (2) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t } {\ ln (t)}}}
Přibližná hodnota li (2) je 1,045 163 8, zatímco Li (2) = 0.
Můžeme ukázat pomocí postupných integrací součástí, že pro jakékoli celé číslo n máme následující asymptotickou expanzi v nekonečnu Li (a tedy i li ):
Li(X)=XlnX∑k=0nek!(lnX)k+Ó(X(lnX)ne+1).{\ displaystyle {\ rm {Li}} (x) = {\ frac {x} {\ ln x}} \ součet _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {k!} {(\ ln x ) ^ {k}}} + o \ left ({\ frac {x} {(\ ln x) ^ {n + 1}}} \ right).}
Pro n = 0 najdeme ekvivalent výše .
Poznámky a odkazy
-
Johann Georg von Soldner , Teorie a tabulky nové transcendentní funkce , 1809, str. 48 .
-
Další desetinná místa viz například „ li (2) “ na WolframAlpha nebo později A069284 z OEIS .
Podívejte se také
Související články
Bibliografie
(en) Milton Abramowitz a Irene Stegun , Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami [ podrobnosti vydání ] ( číst online ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">