Kvadratický zákon vzájemnosti

V matematice , zejména v teorii čísel , zákon kvadratické vzájemnosti zakládá vazby mezi prvočísly ; přesněji popisuje možnost vyjádření prvočísla jako čtvercového modulo jiného prvočísla. Domýšlel podle Euler a nově ho Legendre , byl správně prokázána poprvé Gauss v 1801.

Řeší dva základní problémy teorie kvadratických reziduí :

vzhledem k prvočíslu $p$ určete mezi celými čísly, která jsou čtverci modulo $p$ a která ne;
vzhledem k tomu, celé číslo $n$ , určit, mezi prvočísel, modulo, které $n$ je čtverec a modulo, které to není.

Je považován za jeden z nejdůležitějších teorémů v teorii čísel a má mnoho zobecnění.

Prohlášení

Gaussovo úplné prohlášení má tři tvrzení: „základní větu“ pro dvě lichá prvočísla a dvě „doplňkové zákony“.

První prohlášení

Základní věta. Vzhledem ke dvěma odlišným lichým prvočíslům

p

q

pokud $p$ nebo $q$ je shodný se 1 modulem 4, pak $p$ je modulo $q$ čtvercový tehdy a jen tehdy, pokud $q$ je modulo $p$ čtverec .

Přesněji řečeno: rovnice ( neznámého $x$ ) $x 2 \equiv p mod q$ má řešení právě tehdy, když má rovnice (neznámého $y$ ) $y 2 \equiv q mod p$ řešení.

pokud $p$ a $q$ jsou shodné s 3 modulo 4, pak $p$ je modulo $q$ čtvercový tehdy a jen tehdy, pokud $q$ je není modulo $p$ čtverec .

Přesněji: rovnice $x 2 \equiv p mod q$ má řešení, jestliže a pouze v případě, že rovnice $y 2 \equiv q mod p$ nemá žádné řešení.

První doplňkový zákon. –1 je čtverec modulo

p právě

tehdy, když

p

je shodné s 1 modulo 4. Druhý doplňkový zákon. 2 je čtverec modulo

p právě

tehdy, když

p

odpovídá 1 nebo –1 modulo 8.

Legendární symbol

Pomocí symbolu Legendre lze tyto tři výroky shrnout podle:

Základní věta.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}}}

, tj. pokud

p

q

nejsou shodné s

-1 mod 4

, v takovém případě .

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = \ left ({\ frac {q} {p}} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = - \ left ({\ frac {q} {p}} \ right)}

První doplňkový zákon.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {p-1} {2}}}

. Druhý doplňkový zákon.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {p ^ {2} -1} {8}}}

Příklady

Modulo q = 3, jediný nenulový čtverec je (± 1) 2 = 1. Kvadratický zákon vzájemnosti (spojený s jeho prvním doplňkovým zákonem) proto pro každé prvočíslo $p$ jiné než 2 a 3 poskytuje ekvivalenci: ${\ displaystyle p \ equiv 1 \ operatorname {mod} 3 \ Longleftrightarrow -3 {\ text {je čtverec modulo}} p}$ .Tato ekvivalence je demonstrována příměji : celé číslo $p$ - 1 je násobkem 3 právě tehdy, když (ℤ / p ℤ) * obsahuje prvek řádu 3, tj. Kořen polynomu X 2 + X + 1 . To odpovídá existenci druhé odmocniny diskriminačního –3 tohoto polynomu v ℤ / $p$ ℤ .
Modulo q = 5, nenulové čtverce jsou (± 1) 2 = 1 a (± 2) 2 ≡ –1. Zákon kvadratické reciprocity proto pro každé prvočíslo $p$ jiné než 2 a 5 stanoví ekvivalenci: ${\ displaystyle p \ equiv \ pm 1 \ operatorname {mod} 5 \ Longleftrightarrow 5 {\ text {je čtverec modulo}} p.}$ Ale již v roce 1775 Lagrange mezi svými mnoha konkrétními případy zákona vzájemnosti - plody svého studia binárních kvadratických forem - prokázal přímý význam (⇒) a rozšířil reciproční (⇐) na případ, kdy $p$ není prvočíslo . Gauss jako předmluva ke své první demonstraci obecného zákona udělal totéž.
Určíme, zda 219 je čtverec modulo 383. Multiplikativita symbolu Legendre ukazuje, že: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {219} {383}} \ right) = \ left ({\ frac {3} {383}} \ right) \ left ({\ frac {73} {383}} \ že jo)}$ .

Základní věta umožňuje zjednodušit tyto dva faktory: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {383}} \ right) = (- 1) ^ {2 \ krát 382/4} \ left ({\ frac {383} {3}} \ right) = - \ left ({\ frac {-1} {3}} \ right) \ quad {\ text {et}} \ quad \ left ({\ frac {73} {383}} \ right) = (- 1) ^ {72 \ krát 382/4} \ left ({\ frac {383} {73}} \ right) = + \ left ({\ frac {18} {73}} \ right)}$ . Opět multiplikativitou symbolu Legendre dále zjednodušujeme druhý faktor: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {18} {73}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {73}} \ right) \ left ({\ frac {3 ^ {2}} { 73}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {73}} \ right)}$ .Došli jsme k závěru, že používáme dva doplňkové zákony: as a , ${\ displaystyle 3 \ not \ equiv 1 \ operatorname {mod} 4}$ ${\ displaystyle 73 \ equiv 1 \ operatorname {mod} 8}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {219} {383}} \ right) = - \ left ({\ frac {-1} {3}} \ right) \ left ({\ frac {2} {73} } \ vpravo) = - (- 1) 1 = 1}$ . Proto je 219 modulo 383 čtverečních.

Pojďme určit modulo, která prvočísla $p > 3$ je celé číslo 3 čtverec. Podle základní věty,

${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {p}} \ right) = (- 1) ^ {(3-1) (p-1) / 4} \ left ({\ frac {p} {3 }} \ right) = (- 1) ^ {(p-1) / 2} \ left ({\ frac {p} {3}} \ right)}$ ,

nebo závisí na $p$ $mod 3$ a závisí na $p$ $mod 4$ . To tedy nacházíme ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {3}} \ right)}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {(p-1) / 2}}$

{\ displaystyle 3 {\ text {je čtvercový modul}} p \ Longleftrightarrow p \ equiv \ pm 1 \ operatorname {mod} 12.}

Důkazy zákona kvadratické vzájemnosti

V knize vydané v roce 2000 Franz Lemmermeyer odhaluje matematickou historii zákonů vzájemnosti tím, že pokrývá jejich vývoj a sbírá citáty z literatury pro 196 různých důkazů základní věty.

První demonstrace posledně jmenovaných, které jsou dnes považovány za úplné, publikuje Gauss ve svém Disquisitiones arithmeticae v roce 1801. Gauss měl důkazy již v roce 1796 (ve věku 19). První z těchto důkazů je založen na úvahách o opakování. Ve své korespondenci se svým žákem Gottholdem Eisensteinem popisuje Gauss tento první důkaz jako namáhavý. Jeho třetí a pátý důkaz vychází z Gaussova lemmatu , které při této příležitosti demonstroval.

Důkaz základní věty, který je založen na nástrojích harmonické analýzy na konečné abelianské skupině a využívá znaky aditivních a multiplikativních abeliánských skupin konečného pole $F p$ s $p$ prvky, je uveden v článku „ Součet Gauss “. Jednodušší verze je Gaussovým šestým důkazem této věty. Další důkaz lze najít v externích odkazech článku „ Zolotarevova lemma “. Dlužíme Frobeniovi velmi jednoduchý geometrický důkaz založený na Gaussově lematu .
Zde je navržena demonstrace dvou doplňujících se zákonů. První je bezprostředním důsledkem prostého Eulerova kritéria . Dva důkazy vybrané pro druhý jsou (mezi mnoha jinými, jako je to podle Gaussova lemmatu), důkazy Thomase Joannes Stieltjese ( počítáním ) a Eulera (1772).

Důkaz dvou doplňkových zákonů

Nechť $p$ je prvočíslo jiné než 2. Cílem je určit kvadratický stav –1 a 2 v poli F p = ℤ / p ℤ . Pořadí jeho multiplikativní skupiny F p * je p - 1 (což je i).

Důsledky Eulerova kritéria :

součin ab dvou prvků F p * je kvadratický, pokud a a b jsou současně kvadratické nebo pokud žádný z nich není;
prvek F p * je non kvadratický pouze v případě, že je kořen polynomu P ( x ) z F p [ X ] je definován:

{\ displaystyle P (X) = X ^ {\ frac {p-1} {2}} + 1}

;

existují přesně ( p - 1) / 2 kvadratické zbytky.

První doplňkový zákon:

Vyplývá to z nerovnosti

p

(což tedy může být kongruentní modulo 4 pouze na ± 1) a z druhého následku výše: –1 je nekvadratický právě tehdy , tj. Pokud

p

je kongruentní s –1 modulo 4.

(-1) ^ {{(p-1) / 2}} = - 1

Chcete-li přistoupit k důkazu druhého zákona, zvažte množinu B nekvadratických reziduí odlišnou od –1. Všimli jsme si, že pokud je b prvkem B , pak také b −1 a liší se od b . Jediné prvky, které se rovnají jejich inverzím, jsou ve skutečnosti 1 a –1 a žádný prvek B se nerovná jednomu z nich.

Existují dva případy v závislosti na výsledku poskytnutém prvním zákonem.

Druhý doplňkový zákon (Stieltjes), je-li $p$ shodné s 1 modulo 4:

V tomto případě je –1 kvadratický zbytek a B je množina ( p - 1) / 2 nekvadratických zbytků. Nechť C je množina rovná B - 1, to znamená množina prvků B, od které odečteme 1. Následující rovnost ukazuje, že polovina prvků C jsou kvadratické zbytky a druhá polovina ne:

\ forall b \ in B \ quad b (b ^ {{- 1}} - 1) = b ~ b ^ {{- 1}} - b = -1 (b-1).

Ve skutečnosti, pokud b - 1 je kvadratický zbytek, protože b není a že –1 je, b −1 - 1 také není. To ukazuje, že můžeme rozdělit C na sadu párů, z nichž jeden prvek je kvadratický zbytek a druhý nikoli. Jelikož ( p - 1) / 2 je sudý, výpočet P (1) ukazuje, že:

2 = 1 ^ {{{{\ frac {p-1} 2}}} + 1 = P (1) = \ prod _ {{b \ v B}} (1-b) = \ prod _ {{b \ v B}} (b-1) = \ prod _ {{c \ v C}} c.

V důsledku toho je 2 kvadratický zbytek právě tehdy, když počet nekvadratických zbytků C , který je ( p - 1) / 4, je sudý, tj. Pokud p je shodné s 1 nejen modulo 4, ale modulo 8.

Druhý doplňkový zákon (Stieltjes), je-li p shodné s –1 modulo 4:

V tomto případě –1 není kvadratický zbytek a B obsahuje pouze ( p - 3) / 2 prvky. Uvažujme tedy množinu C ' rovnou B + 1. Následující rovnost a předchozí uvažování ukazují, že polovina ( p - 3) / 2 prvků C' jsou kvadratické zbytky a druhá ne:

\ forall b \ in B \ quad b (b ^ {{- 1}} + 1) = b ~ b ^ {{- 1}} + b = b + 1.

Označme Q ( X ) polynom definovaný:

Q (X) = \ prod _ {{b \ in B}} (Xb) = {\ frac {P (X)} {X + 1}} = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{{ \ frac {p-3} 2}}} (- 1) ^ {i} X ^ {i}.

Výpočtem Q (–1) dvěma způsoby a opětovným použitím, že ( p - 3) / 2 je sudé, dostaneme:

\ prod _ {{c \ v C '}} c = (p-1) / 2.

Prvek p - 1 není v tomto případě kvadratickým zbytkem a inverzní hodnota 2 je kvadratickým zbytkem právě tehdy, když 2 je. V důsledku toho je 2 kvadratický zbytek právě tehdy, je-li počet nekvadratických zbytků C ' , který je ( p - 3) / 4, lichý, tj. Je-li p shodné s –1, nejen modulo 4, ale 8.

Druhý doplňkový zákon (Euler).
- Pokud p = 8 n + 1, pak 2 je čtvercový mod p, protože x 8 n - 1 = ( x 4 n - 1) (( x 2 n + 1) 2 - 2 ( x n ) 2 ).
- Pokud p ≡ –1 mod 8 pak –2 není čtvercový mod p ( jinak by p mělo tvar a 2 + 2 b 2 , což je triviálně nemožné), proto (podle prvního doplňkového zákona) 2 je jedním z jim.
- Pokud p ≡ ± 3 mod 8, pak 2 není čtvercový mod p ( jinak by p mělo tvar ± ( a 2 - 2 b 2 ) , což je triviálně nemožné).

Zobecnění

Existují kubické , dvojkvadratické (en) (tj. Stupně 4) zákony o vzájemnosti atd. Skutečné zobecnění všech těchto zákonů - monumentální zobecnění - je však teorie třídních orgánů . Viz „ Problém devátého Hilberta “.

Poznámky a odkazy

Poznámky

Myslí si, že prokázal ji (A.-M. Legendre, „ Výzkumy neurčitého analýzy “ Historie Královské akademie věd v Paříži , 1785, str. 465-559 : demonstrace p. 516-520 , obnovení v Essay o teorii čísel , 1798), ale Gauss ( z latiny přeložil A.-C.-M. Poullet-Delisle), aritmetický výzkum [„ Disquisitiones arithmeticae “],1807( 1 st ed. 1801) ( pro čtení na Wikisource ), § 296-297, analyzuje nedostatky. První je, že Legendre opakovaně připouští větu aritmetického postupu , otázku, která se ukáže být ještě obtížnější než otázka kvadratické reciprocity a bude prokázána až v roce 1837. Legendre vnímal tuto první obtíž ( str. 552 ), ale věřil v roce 1808 abych to vyřešil . Další chybou bylo „zapletení kruhového uvažování. [...] V průběhu 3. ročníku vydání (1830), jeho studie , tam bylo dost kritický důkaz Legendreová dodal, že 3 e ukazují Gaussova vzájemnosti, stejně jako zmiňuje Jacobi (zatímco tvrdí, že jeho první důkaz byl platný). » ( (En) David A. Cox , prvočísla formy $x 2 + ny 2$ , Wiley,2011( 1 st ed. 1989) ( číst on-line ) , str. 39).
Viz například opravené cvičení 4-11 lekce „Úvod do teorie čísel“ na Wikiversity .
opačný (⇐), užitečné při určování prvočísla Eisenstein , může být také odvozena od factoriality z ℤ [ $j$ ] .
Například proto, že (ℤ / $p$ ℤ) * je cyklický řádu $p$ - 1 , nebo opět podle Cauchyova lemmatu . Další argumenty najdete v cvičení 4–11 výše.
Pro přímý důkaz této rovnocennosti, ve stejném duchu jako ten předchozí, viz například opravené cvičení 4-12 lekce „Úvod do teorie čísel“ na Wikiversity .
Tento konverzace, užitečný při stanovení neredukovatelnosti ℤ [φ] , lze také odvodit z faktoriálnosti tohoto prstenu .
Podobný důkaz druhého doplňkového práva viz například (in) Kenneth Ireland a Michael Rosen , A Classical Introduction to Modern Number Theory , al. " GTM " ( n o 84) ( číst on-line ) , str. 69-70, nebo opravené cvičení 4-8 lekce „Úvod do teorie čísel“ na Wikiversity .
Viz také „ Fermatova věta o dvou čtvercích “.

Reference

(La) " Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos (E552) " ,1783 (napsáno v roce 1772).
Gauss 1801 , § 125-151 a 262.
(in) Tom M. Apostol , Úvod do teorie analytických čísel , Springer ,1976( číst online ) , s. 178.
J.-L. Lagrange, „ Výzkum v aritmetice (pokračování) “, Monografie Berlínské akademie ,1775, str. 323-356přepracovaný Joseph-Alfred Serret , Works of Lagrange , sv. III, Gauthier-Villars ,1869( číst online ) , s. 759-795.
J.-L. Lagrange, „ Výzkum v aritmetice “, Paměti Berlínské akademie ,1773, str. 265-312( Œuvres , III , s. 695-758, [ číst online ] ), přesněji stanoví, že „liché dělitele čísel tvaru t 2 - 5 u 2 nebo 5 u 2 - t 2 jsou současně každá z těchto dvou forem y 2 - 5 z 2 , 5 z 2 - y 2 . "
Gauss 1801 , § 123 a 121.
Apostol 1976 , str. 186-187, příklad 1 .
Apostol 1976 , str. 187, příklad 2 .
(en) F. Lemmermeyer, „ Důkazy kvadratického zákona o vzájemnosti “ .
(in) Reinhard Laubenbacher a David Pengelley, " Gauss, Eisenstein a" třetí "doklad o kvadratické reciprocitě Věta: Ein kleines Schauspiel " .
(La) Gauss, „ Theorematis fandamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et ampliationes novae “, 1818.
André Weil , „ La cyklotomie minulost a minulost, “ Séminaire Bourbaki , sv. 16, n o 452, 1973 - 1974, s. 318-338 ( číst online ), § 6.
Podrobnosti o tomto důkazu viz například odkaz níže na „Kvadratický zákon o vzájemnosti“ na Wikiversity .
(De) G. Frobenius, „ Über das quadratische Reziprozitätsgesetz II “ , Sitzungsberichte Berliner Akad. ,1914, str. 484-488 : viz opravené cvičení 4-13 lekce „Úvod do teorie čísel“ na Wikiversity .
TJ Stieltjes, " On kvadratické charakteru číslo 2 ", Annales de la Fakulta des Sciences de Toulouse , 1 st série, vol. 11, n o 1,1897, str. 5-8 ( číst online ).
(in) Andre Weil , Number Theory: An approach through history from Hammurabi to Legendre [ retail editions ], str. 212 a 85. Gauss 1801 , § 116, se tedy mýlí, když tvrdí, že Euler dosud o tom neměl důkaz „když psal disertační práci obsaženou v T. 1 analytiky Opuscula. , str. 259 ” , tj. E449 , str. 108.

Podívejte se také

Jacobi symbol