Zákony Mersenne

Tyto zákony Mersenne jsou zákony popisující četnost a oscilace jednoho lana nebo monotónně protáhl, užitečné v hudebním ladění a konstrukci hudebních nástrojů . Rovnici poprvé navrhl matematik a hudební teoretik Francouz Marin Mersenne ve své knize s názvem 1637 Smlouva o univerzální harmonii . Mersennovy zákony upravují konstrukci a provoz strunných nástrojů , jako jsou piana a harfy , které musí pojmout celkovou tahovou sílu potřebnou k udržení strun ve správné výšce . Spodní struny jsou silnější , takže mají větší hmotnost na jednotku délky . Obvykle mají nižší napětí . Kytary jsou známou výjimkou: napětí různých strun je z hlediska hratelnosti podobné, takže výška tónu dolních strun je v podstatě dosažena zvýšenou lineární hustotou [poznámka 1]. Struny, které produkují vyšší rozteč, jsou obecně tenčí, mají vyšší napětí a mohou být kratší. „Tento výsledek se podstatně neliší od Galileova , ale je právem znám jako Mersennov zákon“, protože Mersenne fyzicky prokázal svou pravdivost experimenty (zatímco Galileo považoval jejich důkaz za nemožný). „Mersenne tyto vztahy studoval a vylepšoval na základě zkušeností, ale nebyl původem těchto vztahů sám“. Ačkoli jsou jeho teorie správné, jeho měření nejsou příliš přesná a jeho výpočty významně vylepšil Joseph Sauveur (1653-1716) pomocí akustických rytmů a metronomů .

Poznámky

Model: Notefoot

Rovnice

Vlastní frekvence je:

a) nepřímo úměrná k délce řetězce ( Pythagorova zákon ),
b) úměrné druhé odmocnině roztahovací síly a
c) nepřímo úměrné druhé odmocnině hmotnosti na jednotku délky .

{\ displaystyle f_ {0} \ propto {\ tfrac {1} {L}}.}

(rovnice 26)

{\ displaystyle f_ {0} \ propto {\ sqrt {F}}.}

(rovnice 27)

{\ displaystyle f_ {0} \ propto {\ frac {1} {\ sqrt {\ mu}}}.}

(rovnice 28)

Takže například všechny ostatní vlastnosti řetězce jsou stejné, abyste měli notu o jednu oktávu vyšší (2/1), musíte buď snížit délku řetězce o polovinu (1/2), nebo zvýšit jeho napětí. čtverec (4) nebo snížit jeho lineární hustotu o inverzní mocninu (1/4).

Harmonické	Délka	Napětí	Hmotnost
1	1	1	1
2	1/2 = 0,5	2² = 4	1 / 2² = 0,25
3	1/3 = 0,33 ...	3² = 9	1 / 3² = 0,11 ...
4	1/4 = 0,25	4² = 16	1 / 4² = 0,0625
8	1/8 = 0,125	8² = 64	1 / 8² = 0,015625

Tyto zákony jsou odvozeny z Mersennovy rovnice 22:

{\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {\ nu} {\ lambda}} = {\ frac {1} {2L}} {\ sqrt {\ frac {F} {\ mu}}}.}

Vzorec pro základní frekvence je:

{\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {1} {2L}} {\ sqrt {\ frac {F} {\ mu}}},}

kde f je frekvence , L je délka , F je síla a μ je hmotnost na jednotku délky .

Podobné zákony nebyly vyvinuty pro roury a dechové nástroje současně, protože Mersennovy zákony předcházely představu, že výška dechových nástrojů závisí spíše na podélných vlnách než na „bicích“.

Související články

Reference

Jeans, James Hopwood (1937/1968). Věda a hudba , s. 62-64. Doveru. ( ISBN 0-486-61964-8 ) . Citováno v „ Mersenne's Laws “, Wolfram.com
Cohen, HF (2013). Kvantifikace hudby: Věda o hudbě v první fázi vědecké revoluce 1580–1650 , s. 101. Springer. ( ISBN 9789401576864 ) .
Gozza, Paolo; vyd. (2013). Number to Sound: The Musical Way to the Scientific Revolution , str.279. Springer. ( ISBN 9789401595780 ) . Gozza odkazuje na prohlášení Sigalie Dostrovského „Teorie raných vibrací“, s. 185-187.
Beyer, Robert Thomas (1999). Zvuky naší doby: dvě stě let akustiky . Springer. str.10. ( ISBN 978-0-387-98435-3 ) .