Extrémní

Výraz „ extrémní prvek (množné číslo extrémů )“ znamená „maximální prvek“ nebo „minimální prvek“. V matematice výraz maxima a minima , zavedený Nicolasem de Cues , odpovídá od Fermata a Leibnize extrémům křivky nebo funkce, identifikované skutečností, že tam deriváty mizí.

V uspořádaná množina E , prvek části A je největší prvek nebo maximálně o A , v případě, že patří do A a je lepší než jakýkoli jiný prvek A . Existence maxima obecně není zaručena pro žádnou část objednané sady. Na druhou stranu, za podmínky existence je takový prvek jedinečný (což odůvodňuje použití definitivního článku „the“ v definici). Podobně, nejmenší prvek , nebo minimální , je, je-li prvek A menší než jakýkoli jiný prvek A .

Všeobecné

Jedinečnost

Pokud část A z E připouští dvě maxima, m 1 a m 2 , pak m 1 je větší než jakýkoli prvek A , tedy zejména než m 2  ; a podobně m 2 je větší než m 1 . Podle antisymetrie z řádu vztahů , rovnost m 1 = m 2 je odvozena od něj.

Srovnání s jinými pojmy

Jiné pojmy týkající se objednaných sad se blíží těm maximální; jejich porovnání vám umožní lépe jim porozumět:

• Pojem horní a dolní mez  : pokud existuje, prvek E je horní mez A, pokud je větší než jakýkoli prvek A  ; pokud existuje, prvek E je dolní mezí A, pokud je menší než kterýkoli prvek A  ; extrémy (maximum a minimum), které existují v množině E, jsou tedy částí (respektive) horní a dolní meze E samy o sobě.
• Pojem hranice ( horní hranice , také nazývaná supremum nebo dolní hranice , také nazývaná infimum ): pokud existuje, horní hranice A je nejmenší ze všech horní hranice A v E (horní hranice A je tedy definována jako minimum určité části E a její jedinečnost je zaručena, ale ne její existence). A připouští maximum tehdy a jen tehdy, pokud jeho horní mez existuje a patří k A (a v tomto případě se rovná maximu); a naopak pro dolní mez.
• Pojem extrémní prvek ( maximální prvek nebo minimální prvek ), který se také nazývá inkluzní vazba: prvek E je maximální v A , pokud patří k A , a není nižší než jakýkoli jiný prvek A  ; jeden prvek E je minimální v A , v případě, že patří do A , a je lepší než jakýkoli jiný prvek A .

Pokud existují, jsou extrémy (maximum nebo minimum) množiny E vždy extrémními prvky (včetně limitů: maximální prvek nebo minimální prvek) samotného E ; pojmy extrém (maximální a minimální) a extrémní prvek (maximální prvek nebo minimální prvek) se shodují v sadách poskytovaných s celkovým řádem  ; když E je konečný, existuje ekvivalence mezi existencí jediného extremálního prvku (včetně vázaného: maximální prvek nebo minimální prvek) a existencí extrému (maximální nebo minimální, každý nutně jedinečný s celkovou objednávkou přes konečnou množinu) ).

Kontroly

• Prvek m z E je maximálně A tehdy, když m je horní mez A a m patří A  : Pokud má maximální m pak E je horní mez A jsou přesně horní mez m a m je nejmenší z nich, takže se jedná o horní hranice A . Naopak, pokud je horní mez A existuje a patří do A , pak je horní hranice A patří A , takže to je maximální .
• Maximální, pokud existuje, je maximum  : pokud má maximální m pak, pro jakýkoli prvek A z A , m obory (o antisymetrie vztahu objednávky) není striktně nižší než to, které ukazuje, že m je maximální v dobře .
• Pokud je objednávka celková, jakýkoli maximální prvek je maximální  : nyní předpokládáme, že E má celkovou objednávku. Buď je maximální prvek A . Nebo b další prvek A . Potom a není menší než b, proto, že pořadí je celkem, b je menší než a . Takže je větší než nebo rovna každým prvkem A , takže to je maximum .

To však nemusí nutně platit v případě prázdné nebo nekonečné množiny nebo v případě souhrnného řádu (kdy lze dva prvky uspořádat stejným způsobem s ostatními a vzájemně mezi nimi, a proto mohou být každý extrémními prvky. Ale přesto odlišný). Například sada pouze tří celých čísel {0, 1, 2} poskytovaná s částečným řádem porovnávajícím ne jejich hodnotu, ale jejich paritu (zbytek jejich euklidovského dělení 2) není zcela uspořádána, protože prvky 0 a 2 mají stejné parita 0 (prvky 0 a 2 jsou minimální hodnoty pro toto částečné pořadí, ale liší se: tato uspořádaná sada proto nemá žádné minimum, ale má maximum s prvkem 1). V podmnožině {0, 2} ve stejném pořadí není ani minimum ani maximum, ale existují minimální hodnoty (stejně jako maximální hodnoty), které tvoří stejnou sadu dvou prvků.

Když je objednaná sada singleton , její jedinečný prvek je maximální i minimální. V degenerovaném případě, kdy je objednaná množina prázdná, neexistuje extrém ani extrémní hodnota a jakýkoli prvek libovolné množiny (tedy včetně prázdné množiny jako součásti) je současně horní a dolní mez, a proto také vázaný, pokud je tato druhá sada zcela uspořádána.

Příklady

V nastavené N z přirozených čísel obdařených obvyklém pořadí, jakákoli neprázdná část připouští nejmenší prvek a každá zvýšená část (to znamená, že přijímání horní hranice) je konečný tedy i připouští maxima. Například samotný N má minimum 0 a nemá maximum.

V nastavené R z reálných čísel poskytnutých s obvyklým pořadí, některé Zvýšené části nepřipouštějí větší prvek, například interval ] 0, 1 [čísla striktně mezi 0 a 1.

V R lze minimální a maximální funkce páru vyjádřit pomocí absolutních hodnot  :

min(X,y)=X+y-|X-y|2,max(X,y)=X+y+|X-y|2{\ displaystyle \ min {(x, y)} = {\ frac {x + y- | xy |} {2}}, \ quad \ max {(x, y)} = {\ frac {x + y + | xy |} {2}}}.

V uspořádané sadě vybavené necelkovým řádem určité části připouštějí maximální prvky, které nejsou maximy.

Například v množině E = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} částí množiny {0, 1}, seřazené podle zařazení, je část A = {∅, {0} , {1}} připouští (minimum a) dva nesrovnatelné maximální prvky, takže žádné maximum (pouze horní hranice: {0, 1}, která nepatří do A ).

Extrema funkce

Maximum funkce f definované na množině E as hodnotami v uspořádané množině F je maximum množiny hodnot převzatých f (části f ( E ) F ). Tedy m je maximum f, pokud existuje prvek a z E takový, že f ( a ) = m a takový, že pro jakýkoli prvek x z E , f ( x ) ≤ f ( a ); prvek a (který nemusí být nutně jedinečný) se nazývá maximální bod f .

V případě, že je počáteční prostor f opatřen topologickou strukturou (například je-li f funkcí jedné nebo více reálných proměnných se skutečnými hodnotami), rozlišujeme dva typy extrémů: globální extrémy, které odpovídají předchozímu definice a lokální extrémy.

Lokální extrém funkce

Nechť f je funkce definovaná na topological prostor E a má bod E . Říká se, že f dosaženo v lokálním maximu, pokud existuje sousedství V of taková, že pro každý prvek x části V. , máme f ( x ) ≤ f ( ).

Potom řekneme, že f ( a ) je „lokální maximum“ f na E a že a je bod lokálního maxima f .

Pokud existuje okolí V z tak, že pro každý prvek x z V odlišný od , máme f ( x ) < f ( ), říkáme, že f dosáhne v v přísném lokálním maximu.

Když E je součástí metrického prostoru (například normovaného vektorového prostoru , jako je R k ), sousedství a v těchto definicích lze zvolit jako koule . Například: f dosažené v lokálním maximu, pokud existuje reálné ε> 0 tak, že pro každý prvek x z E na vzdálenost <e pro , máme f ( x ) ≤ f ( ).

Nechť je funkce , kde D je topologický prostor. Například D může být součástí R (případ funkce reálné proměnné) nebo prostoru R k , kde k je přirozené celé číslo (případ funkce k reálných proměnných). F:D→R{\ displaystyle f: D \ to \ mathbb {R}}

Existence globálních extrémů je zajištěna, jakmile je funkce f spojitá a část D je kompaktní  : obraz f ( D ) je ve skutečnosti kompaktní částí prostoru R  ; jako omezenou část z R , připouští horní mez, a to horní hranice je v f ( D ), protože tato část je uzavřena .

V dimenzi k = 1 je to zejména v případě, že I je ohraničený uzavřený interval , tj. Tvaru [ a , b ] (viz Věta hranic ). Ve vyšší dimenzi k to platí zejména v případě, že D je uzavřená koule (tvaru , kde označuje normu na R k ). D=B(NA,r)={X∈Rk∣‖X-NA‖≤r}{\ displaystyle D = B (A, r) = \ {X \ v \ mathbb {R} ^ {k} \ střední \ | XA \ | \ leq r \}}‖ ‖{\ displaystyle \ | ~ \ |}

Metody vyplývající z diferenciálního počtu pro hledání lokálních extrémů

Nechť je funkce , kde U je otevřená množina z R k  ; například v případě reálné proměnné může být U otevřený interval ve tvaru] a , b [(přičemž a a b jsou reálná čísla, nebo , nebo ). F:U→R{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R}}Na=-∞{\ displaystyle a = - \ infty}b=+∞{\ displaystyle b = + \ infty}

Studium extrémy často zahrnuje vyhledat o nul z derivátu , tzv kritické body (nebo stacionární body ) v f . Kritický bod nemusí být nutně koncovým bodem, jak ukazuje příklad funkce v bodě 0. Za určitých dalších předpokladů však lze kritický bod považovat za koncový bod. F:R→R,X↦X3{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ až \ mathbb {R}, \, x \ mapsto x ^ {3}}

Případ funkce proměnné Nezbytná podmínka pro místní extremum V případě funkce diferencovatelné f jedné proměnné, pokud má f lokální extrém v jednom bodě otevřené definice f , pak je derivace f v tomto bodě nulová. Dostatečná podmínka pro místní extremum Pokud je f na otevřeném U diferencovatelné a jestliže v bodě derivace f zmizí změnou znaménka, pak f dosáhne lokálního extrému na . Přesněji za předpokladu, že  : Na∈U{\ displaystyle a \ v U}Na{\ displaystyle a}F′(Na)=0{\ displaystyle f \, '(a) = 0}Pokud existuje skutečný takovýα>0{\ displaystyle \ alpha> 0}[Na-α,Na+α]⊂U{\ displaystyle [a- \ alpha, \, + \ alpha] \ podmnožina U} a dál , dál ,F′≥0{\ displaystyle f \, '\ geq 0}[Na-α,Na]{\ displaystyle [a- \ alfa, \, a]}F′≤0{\ displaystyle f \, '\ leq 0}[Na,Na+α]{\ displaystyle [a, \, a + \ alpha]} pak f dosáhne lokálního maxima v .Na{\ displaystyle a} Pokud existuje skutečný takovýα>0{\ displaystyle \ alpha> 0}[Na-α,Na+α]⊂U{\ displaystyle [a- \ alpha, \, + \ alpha] \ podmnožina U} a dál , dál ,F′≤0{\ displaystyle f \, '\ leq 0}[Na-α,Na]{\ displaystyle [a- \ alfa, \, a]}F′≥0{\ displaystyle f \, '\ geq 0}[Na,Na+α]{\ displaystyle [a, \, a + \ alpha]} pak f dosáhne lokálního minima v .Na{\ displaystyle a} Případ funkce více proměnných Nezbytná podmínka pro místní extremum V případě, že funkce f dosáhne lokální extrém v bodě A z U , kde je diferencovatelná , pak všechny její parciální derivace zmizí při . Dostatečná podmínka pro místní extremum Předpokládá se, že f je dvakrát diferencovatelná v bodě o U . Je zaznamenána jeho hesenská matice v , to znamená  ; podle Schwarzovy věty je tato matice symetrická . Na{\ displaystyle a}Na{\ displaystyle a}∇2F(Na){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}∇2F(Na)i,j=∂2F∂Xi∂Xj(Na){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a) _ {i, j} = {\ frac {\ částečné ^ {2} f} {\ částečné x_ {i} \, \ částečné x_ {j}}} ( Na)}Pokud a pokud je definována záporná , pak f dosáhne přísného lokálního maxima v .∇F(Na)=0{\ displaystyle \ nabla f (a) = 0}∇2F(Na){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}Na{\ displaystyle a} Pokud a pokud je kladné určité , pak f dosáhne přísného místního minima v .∇F(Na)=0{\ displaystyle \ nabla f (a) = 0}∇2F(Na){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}Na{\ displaystyle a} Případ funkce několika proměnných s omezeními Podmínky optimality pro tyto problémy jsou uvedeny v části „  Podmínky optimality  “. <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">