Modelování turbulencí
Modelování turbulence je pobočkou z mechaniky tekutin používaných předpovídat chování toku ve kterých všechny nebo část kapaliny je turbulentní .
Úvod
Přítomnost vířivosti v toku nemusí nutně dělat turbulentní tok. Termín je vyhrazen pro situace, kdy je v turbulentním vodopádu přítomno mnoho vírových šupin . To je omezeno na malé měřítka Kolmogorovovou dimenzí , pod níž jsou víry rozptýleny viskozitou.
Takový tok je popsán Navier-Stokesovými rovnicemi, ale malá velikost Kolmogorovovy dimenze v praxi zakazuje přímou numerickou simulaci (v angličtině DNS pro přímou numerickou simulaci ), s výjimkou numerických experimentů určených k pochopení zavedených mechanismů. .
Kromě přímé simulace jsou metody implementované k řešení tohoto problému založeny na statistické fyzice : turbulence je považována za statistický proces, u kterého se předpokládá, že jej lze popsat pouze časovým rozdělením v každém bodě. Tento přístup je založen na několika krocích:
- psaní rovnic popisujících průměrné hodnoty a fluktuace,
- modelování pojmů souvisejících s fluktuacemi,
- je-li to nutné, připojte tyto pojmy ke standardním popisům zákonů popisujících proudění v okolí stěny.
Je také možné použít hybridní metody známé jako simulace ve velkém měřítku ( LES for Large Eddy Simulation ), ve kterých je filtrováno spektrum turbulence: velká měřítka jsou zachycena výpočtem, malá jsou modelována výše.
Zprůměrované Navier-Stokesovy rovnice
Zajímá nás nestlačitelná tekutina popsaná odpovídajícími Navier-Stokesovými rovnicemi
∂ui∂Xi=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné x_ {i}}} = 0}ρ(∂ui∂t+uj∂ui∂Xj)+∂p∂Xi-∂σij∂Xj=0{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné t}} + u_ {j} {\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné x_ {j}}} \ right) + {\ frac {\ částečné p} {\ částečné x_ {i}}} - {\ frac {\ částečné \ sigma _ {ij}} {\ částečné x_ {j}}} = 0}Označíme p tlak, ρ hustotu, μ dynamickou viskozitu a
Sij=12(∂ui∂Xj+∂uj∂Xi){\ displaystyle S_ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné x_ {j}}} + {\ frac {\ částečné u_ { j}} {\ částečné x_ {i}}} \ vpravo)} |
tenzor napětí
|
σij=2μSij{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = 2 \ mu S_ {ij}} |
tenzor viskózních napětí
|
Když vezmeme v úvahu rovnici nestlačitelnosti, všimnete si toho
∂σij∂Xj=μ∂2ui∂Xk∂Xk{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ sigma _ {ij}} {\ částečné x_ {j}}} = \ mu {\ frac {\ částečné ^ {2} u_ {i}} {\ částečné x_ {k} \ částečné x_ {k}}}}Definujeme operátor Υ (u i ) pro konzervační rovnici hybnosti (změna indexu bude použita později)
Y(ui)=ρ(∂ui∂t+uk∂uj∂Xk)+∂p∂Xi-μ∂2ui∂Xk∂Xk=0{\ displaystyle Y (u_ {i}) = \ rho \ left ({\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné t}} + u_ {k} {\ frac {\ částečné u_ {j}} { \ částečné x_ {k}}} \ pravé) + {\ frac {\ částečné p} {\ částečné x_ {i}}} - \ mu {\ frac {\ částečné ^ {2} u_ {i}} {\ částečné x_ {k} \ částečné x_ {k}}} = 0}Médium je popsáno statistickým rozložením rychlostí a předpokládá se, že toto médium lze charakterizovat časovým průměrem a kolísáním rychlosti v bodě r
ui(t,ri)=u¯i(t,ri)+ui′(t,ri){\ displaystyle u_ {i} (t, r_ {i}) = {\ overline {u}} _ {i} (t, r_ {i}) + u '_ {i} (t, r_ {i}) }Kinetická energie turbulence je
k=12ui′ui′¯{\ displaystyle k = {\ frac {1} {2}} \, {\ overline {u '_ {i} u' _ {i}}}}Zavedením tohoto výrazu rychlosti do Navier-Stokesových rovnic získáme zprůměrované rovnice zavedené Osbornem Reynoldsem v roce 1895:
∂ui¯∂Xi=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ bar {u_ {i}}}} {\ částečné x_ {i}}} = 0}ρ(∂u¯i∂t+u¯k∂u¯i∂Xk)+∂p¯∂Xi-∂∂Xj(σij+τij)=0{\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ parciální {\ bar {u}} _ {i}} {\ parciální t}} + {\ overline {u}} _ {k} {\ frac {\ parciální {\ bar {u}} _ {i}} {\ částečné x_ {k}}} \ pravé) + {\ frac {\ částečné {\ bar {p}}} {\ částečné x_ {i}}} - { \ frac {\ částečné} {\ částečné x_ {j}}} \ vlevo (\ sigma _ {ij} + \ tau _ {ij} \ vpravo) = 0}Definovali jsme Reynoldsův tenzor napětí:
τij=-ρui′uj′¯{\ displaystyle \ tau _ {ij} = - \ rho {\ overline {u '_ {i} u' _ {j}}}}Jako každý tenzor napětí je i tento tenzor symetrický. Problém turbulence spočívá ve vyjádření 6 nezávislých veličin, které obsahuje.
Rovnice přenosu stresu
Julius C. Rotta představil v roce 1951 transportní rovnici o Reynoldsových omezeních. K dosažení tohoto cíle používáme operátor definovaný výše psaním
ui′Y(uj)+uj′Y(ui)¯=0{\ displaystyle {\ overline {u '_ {i} Y (u_ {j}) + u' _ {j} Y (u_ {i})}} = 0}je
∂τij∂t+∂∂Xk(u¯kτij)=-Pij⏟PrÓduvs.tiÓne+Tij-Πij+Dij⏟DiFFusiÓne+ρϵij⏟DissipnatiÓne{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ tau _ {ij}} {\ částečné t}} + {\ frac {\ částečné} {\ částečné x_ {k}}} ({\ overline {u}} _ {k } \ tau _ {ij}) = \ underbrace {- {\ mathcal {P}} _ {ij}} _ {Production} \ underbrace {+ {\ mathcal {T}} _ {ij} - \ Pi _ {ij } + {\ mathcal {D}} _ {ij}} _ {Diffusion} \ underbrace {+ \ rho \, \ epsilon _ {ij}} _ {Ztráta}}s
Výraz |
Fyzický význam
|
---|
Pij=τjk∂u¯i∂Xk+τik∂u¯j∂Xk{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {ij} = \ tau _ {jk} \, {\ frac {\ částečné {\ overline {u}} _ {i}} {\ částečné x_ {k}}} + \ tau _ {ik} \, {\ frac {\ částečné {\ overline {u}} _ {j}} {\ částečné x_ {k}}}} |
Výroba: přenos energie z průměrného toku do turbulence
|
Tij=∂∂Xk(ρui′uj′uk′¯+p′ui′¯δjk+p′uj′¯δik){\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {ij} = {\ frac {\ částečné} {\ částečné x_ {k}}} (\ rho {\ overline {u '_ {i} u' _ {j} u '_ {k}}} + {\ overline {p'u' _ {i}}} \ delta _ {jk} + {\ overline {p'u '_ {j}}} \ delta _ {ik} )} |
Transport turbulencí (obsahuje trojnou korelaci)
|
Πij=p′∂ui′∂Xj¯+p′∂uj′∂Xi¯{\ displaystyle \ Pi _ {ij} = {\ overline {p '{\ frac {\ částečné u' _ {i}} {\ částečné x_ {j}}}}} + {\ overline {p '{\ frac {\ částečné u '_ {j}} {\ částečné x_ {i}}}}}} |
Přerozdělení turbulentní energie (návrat do izotropního stavu)
|
Dij=∂∂Xk(ν∂τij∂Xk){\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {ij} = {\ frac {\ částečné} {\ částečné x_ {k}}} \ vlevo (\ nu {\ frac {\ částečné \ tau _ {ij}} { \ částečné x_ {k}}} \ vpravo)} |
Difúze omezení
|
ϵij=2ν∂ui′∂Xk∂uj′∂Xk¯{\ displaystyle \ epsilon _ {ij} = 2 \ nu {\ overline {{\ frac {\ částečné u '_ {i}} {\ částečné x_ {k}}} {\ frac {\ částečné u' _ {j }} {\ částečné x_ {k}}}}}} |
Viskózní rozptyl
|
kde δ ij je Kroneckerův symbol .
Těchto 6 rovnic obsahuje 22 nových neznámých. Je proto nutné zjednodušit (model) nahrazením těchto výrazů výrazy proměnných, které již existují jako složky τ ij . Klasický přístup představili Kemal Handjalić a Brian Launder (1972).
Modely s N transportními rovnicemi
Tyto modely se nazývají anglicky Reynolds Averaged Navier-Stokes nebo zkráceně RANS .
Boussinesqova hypotéza
V roce 1877 navrhl Joseph Boussinesq napsat tento tenzor jako tenzor napětí v případě newtonovské tekutiny zapojením viskozity turbulence μ t
τij=μt(∂u¯i∂Xj+∂u¯j∂Xi)-23μt∂u¯k∂Xkδij-13ρui′ui′¯⏟23ρkδij{\ displaystyle \ tau _ {ij} = \ mu _ {t} \ vlevo ({\ frac {\ částečný {\ bar {u}} _ {i}} {\ částečný x_ {j}}} + {\ frac {\ částečné {\ bar {u}} _ {j}} {\ částečné x_ {i}}} \ pravé) - {\ frac {2} {3}} \ mu _ {t} {\ frac {\ částečné {\ bar {u}} _ {k}} {\ částečné x_ {k}}} \ delta _ {ij} - \ underbrace {{\ frac {1} {3}} \ rho {\ overline {u'_ {i} u '_ {i}}}} _ {{\ frac {2} {3}} \ rho k} \ delta _ {ij}}Problém je omezen na znalost k a μ t , přičemž tato druhá hodnota není vlastností kapaliny.
Modely se dvěma rovnicemi
Vezmeme-li výše uvedené stopy rovnice, získá se Reynoldsovo napětí rovnice transportu pro k
ρ∂k∂t+ρuj∂k∂Xj=τij∂ui∂Xj⏟PrÓduvs.tiÓne-ρϵ⏟DissipnatiÓne+∂∂Xj(μ∂k∂Xj)⏟DiFFusiÓne mÓlEvs.ulnairE-∂∂Xj(12ρui′ui′uj′¯)⏟TrnanespÓrt-∂∂Xj(p′uj′¯)⏟DiFFusiÓne prEssiÓne{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ částečné k} {\ částečné t}} + \ rho u_ {j} {\ frac {\ částečné k} {\ částečné x_ {j}}} = \ podprsenka {\ tau _ {ij} {\ frac {\ částečné u_ {i}} {\ částečné x_ {j}}}} _ {Produkce} - \ underbrace {\ rho \ epsilon} _ {Ztráta} + \ underbrace {{\ frac {\ částečné} {\ částečné x_ {j}}} \ levé (\ mu {\ frac {\ částečné k} {\ částečné x_ {j}}} \ pravé)} _ {Difúze ~ molekulární} - \ spodní výztuha {{\ frac {\ částečné} {\ částečné x_ {j}}} \ vlevo ({\ frac {1} {2}} \ rho \, {\ overline {u '_ {i} u' _ {i} u '_ { j}}} \ right)} _ {Transport} - \ underbrace {{\ frac {\ částečné} {\ částečné x_ {j}}} \ left ({\ overline {p'u '_ {j}}} \ vpravo)} _ {Difúze ~ tlak}}kde ε je rozptyl
ϵ=ν∂ui′∂Xk∂ui′∂Xk¯{\ displaystyle \ epsilon = \ nu {\ overline {{\ frac {\ částečné u '_ {i}} {\ částečné x_ {k}}} {\ frac {\ částečné u' _ {i}} {\ částečné x_ {k}}}}}}Toho lze dosáhnout napsáním rovnice
2ν∂ui′∂Xk∂∂XkY(ui)¯=0{\ displaystyle {\ overline {2 \ nu {\ frac {\ částečné u '_ {i}} {\ částečné x_ {k}}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x_ {k}}} Y ( u_ {i})}} = 0}je
ρ∂ϵ∂t+ρuj∂ϵ∂Xj=...{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ částečné \ epsilon} {\ částečné t}} + \ rho u_ {j} {\ frac {\ částečné \ epsilon} {\ částečné x_ {j}}} = ...}Ve skutečnosti tento výraz zahrnuje ve druhém členu výrazy, které je velmi obtížné modelovat, a jeden je spokojený s napsáním druhého člena analogicky s rovnicí o turbulentní kinetické energii.
Turbulentní viskozita je odvozena z rozměrové analýzy
νt=VSμk2ϵ{\ displaystyle \ nu _ {t} = C _ {\ mu} \, {\ frac {k ^ {2}} {\ epsilon}}}kde C μ je modelovací konstanta.
Nejznámějšími modely používanými v této oblasti je model k - ε od Williama P. Jonese a Briana Laundera publikovaný v roce 1972 a následně přeformulovaný.
Je také možné pracovat na rychlosti rozptýlení
ω=ϵk{\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ epsilon} {k}}}Tento typ modelu známého jako model k - ω představil Andrej Kolmogorov v roce 1942 v době, kdy jej nebylo možné vyřešit. Za jeho současnou podobu stojí David C. Wilcox.
Jeden model transportní rovnice
Tento typ modelu byl představen v 60. letech. Vycházíme z výše uvedené turbulentní viskozity s C μ = 1 a odvozujeme
DνtDt=1ωDkDt-kω2DωDt{\ displaystyle {\ frac {D \ nu _ {t}} {Dt}} = {\ frac {1} {\ omega}} {\ frac {Dk} {Dt}} - {\ frac {k} {\ omega ^ {2}}} {\ frac {D \ omega} {Dt}}}Nejznámější z těchto modelů je bezpochyby model Spalart-Allmaras (1992) od Philippe R. Spalart a Stevena R. Allmarase pro problémy mezní vrstvy ve stlačitelném toku.
Mix délky modelu
Model používající směšovací délku, nazývaný také rovnice nulového transportu, představil Ludwig Prandtl v roce 1925. Analogicky s kinetickou teorií plynů předpokládal, že lze z produktu d 'charakteristickou rychlost u sestrojit kinematickou viskozitu pomocí a směšovací délka l m a že charakteristický čas vytvořený z těchto dvou veličin byl stejného řádu jako čas spojený se středním střihem
νt≃ulm,ulm≃|∂ui¯∂Xj|,i≠j⇒νt=lm2|∂ui¯∂Xj|{\ displaystyle \ nu _ {t} \ simeq ul_ {m} \ ,, \; \; \; \; \; {\ frac {u} {l_ {m}}} \ simeq \ left | {\ frac { \ částečné {\ overline {u_ {i}}}} {\ částečné x_ {j}}} \ pravé |, \; \; \; i \ neq j \; \; \; \ Rightarrow \; \; \; \ nu _ {t} = l_ {m} ^ {2} \ left | {\ frac {\ částečné {\ overline {u_ {i}}}} {\ částečné x_ {j}}} \ vpravo |}tedy odpovídající složka Reynoldsova tenzoru
-ρui′uj′¯=ρlm2|∂ui¯∂Xj|∂ui¯∂Xj{\ displaystyle - \ rho {\ overline {u '_ {i} u' _ {j}}} = \ rho l_ {m} ^ {2} \ left | {\ frac {\ částečné {\ overline {u_ { i}}}} {\ částečné x_ {j}}} \ pravé | {\ frac {\ částečné {\ overline {u_ {i}}}} {\ částečné x_ {j}}}}Tento výraz lze zobecnit pomocí:
νt=lm22Sij¯Sij¯{\ displaystyle \ nu _ {t} = l_ {m} ^ {2} {\ sqrt {2 {\ overline {S_ {ij}}} \, {\ overline {S_ {ij}}}}}}Výraz pro l m je specifický pro daný problém.
Velké simulační modely
Metoda SGS nebo anglicky LES spočívá v rozdělení stupnic turbulence na
- velké stupnice počítané přímo,
- malé váhy, modelované.
Prvním krokem v procesu je definovat dolní propust pomocí konvolučního produktu
u¯i(r,t)=∫G(r,r′)ui(r-r′,t)dr′≡G∗ui{\ displaystyle {\ overline {u}} _ {i} (\ mathbf {r}, t) = \ int G (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') u_ {i} (\ mathbf {r } - \ mathbf {r} ', t) \ mathrm {d} \ mathbf {r}' \ ekviv G * u_ {i}}Filtr je standardizován:
∫G(r,r′)dr′=1{\ displaystyle \ int G (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') \ mathrm {d} \ mathbf {r}' = 1}Nejedná se o projektor : . Navíc tento operátor však nebude dojíždět s derivátem.
ui¯¯≠ui¯{\ displaystyle {\ overline {\ overline {u_ {i}}}} \ neq {\ overline {u_ {i}}}}
Nejjednodušším příkladem je filtr „klobouk“ (v angličtině cylindr ) založený na velikosti ok Δ
G={1Δ3si|ri-ri′|<Δ20sineÓne{\ displaystyle G = \ left \ {{\ begin {array} {lcl} {\ frac {1} {\ Delta ^ {3}}} & si & | r_ {i} -r '_ {i} | < {\ frac {\ Delta} {2}} \\ [0,6em] 0 a jinak \ end {pole}} \ vpravo.}Řešení zapíšeme jako součet filtrované hodnoty a poruchy malého rozsahu, která nemá význam časové fluktuace.
ui=u¯i+ui′{\ displaystyle u_ {i} = {\ overline {u}} _ {i} + u '_ {i}}pak můžeme napsat filtrované Navier-Stokesovy rovnice:
∂u¯i∂Xi=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné {\ overline {u}} _ {i}} {\ částečné x_ {i}}} = 0}∂∂t(ρu¯i)+∂∂Xj(ρu¯iu¯j)+∂p¯∂t-∂τ¯ij∂Xj-∂tij∂Xj=0{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} (\ rho {\ overline {u}} _ {i}) + {\ frac {\ částečné} {\ částečné x_ {j}}} (\ rho {\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j}) + {\ frac {\ částečné {\ overline {p}}} {\ částečné t}} - {\ frac { \ částečné {\ overline {\ tau}} _ {ij}} {\ částečné x_ {j}}} - {\ frac {\ částečné t_ {ij}} {\ částečné x_ {j}}} = 0}kde t ij je tenzor zavedený Anthony Leonardem:
tij=ρ(u¯iu¯j-uiuj¯)=ρ(u¯iu¯j-u¯iu¯j¯-ui′u¯j¯-uj′u¯i¯-ui′uj′¯){\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} t_ {ij} & = & \ rho ({\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j} - {\ overline {u_ {i} u_ {j}}}) \\ [0,6em] & = & \ rho ({\ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j} - {\ overline {{ \ overline {u}} _ {i} {\ overline {u}} _ {j}}} - {\ overline {u '_ {i} {\ overline {u}} _ {j}}} - {\ overline {u '_ {j} {\ overline {u}} _ {i}}} - {\ overline {u' _ {i} u '_ {j}}}) \ end {pole}}}Všimněte si, že kdyby G byl Reynoldsův průměrný operátor, první čtyři termíny by se zrušily. Navíc, pokud t ij respektuje galilejskou invariantu , neplatí to pro každý z výrazů, které ji tvoří.
Pro uzavření problému je nutné definovat aproximaci v síti, například typovou délku směsi (viz výše) stejně jako Joseph Smagorinsky (1963)
lm=VSSΔ{\ displaystyle l_ {m} = C_ {S} \ Delta}kde C s ~ 0,1 je modelovací konstanta spojená s Kolmogorovovou konstantou .
Reference
-
(in) John WS Rayleigh, „ O dynamické teorii nestlačitelných viskózních tekutin a stanovení kritéria “ , Philosophical Transaction of the Royal Society A , sv. clxxxiv,1895( číst online )
-
(in) Rutherford Aris , vektory, tenzory a základní rovnice mechaniky tekutin. , Dover Publications ,1962, 286 s. ( ISBN 0-486-66110-5 , číst online )
-
(De) JC Rotta, „ Statistische Theorie nichthomogener Turbulenz “ , Zeitschrift fur Physik , roč. 129,1951, str. 547-572
-
(en) David C. Wilcox, Turbulence Modeling for CFD: CD-ROM , DCW Industries,2006, 522 s. ( ISBN 1-928729-08-8 , číst online )
-
-
(en) SB Pope, Turbulent Flows , Cambridge University Press ,2000
-
(in) K. Hanjalić a BE Launder , „ Reynoldsův napěťový model turbulence a jeho aplikace na proudy tenkého střihu “ , Journal of Fluid Mechanics , sv. 52, n O 4,1972, str. 609-638
-
J. Boussinesq , „ Esej o teorii tekoucích vod “, Sborník Akademie věd , sv. 23,1877, str. 1-680 ( číst online )
-
(in) WP Jones and BE Launder , „ The prediction of laminarization with a two-equation model of turbulence “ , International Journal of Heat and Mass Transfer , sv. 15, n O 21972, str. 301-314
-
(in) BE Launder a DB Spalding, „ The Numerical Computation of Turbulent Flows “ , Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , sv. 3, n o 21974, str. 269-289
-
(ru) A. Kolmogorov , „ Rovnice turbulentního pohybu nestlačitelné tekutiny “ , Doklady Akademii Nauk ,1942
-
(in) DC Wilcox, „ Přehodnocení rovnice určující měřítko pro pokročilý model turbulence “ , AIAA Journal , sv. 26, n o 11,1988, str. 1299-1310
-
(in) PR a SR Spalart Allmaras, „ One-Equation Turbulence Model for Aerodynamic Flows “ , AIAA Paper , n os 92-0439,1992( číst online )
-
(De) L. Prandtl , „ Bericht uber Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz “ , Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik ,1925, str. 136-139
-
(in) P. Sagaut, Velká vířivá simulace pro nestlačitelné toky: Úvod , Springer-Verlag ,2006, 556 s. ( ISBN 978-3-540-26344-9 , číst online )
-
(in) A. Leonard, „ Energetická kaskáda ve velké vířivé simulaci toků turbulentních tekutin “ , Advances in Geophysics , sv. V 181974, str. 237–248
-
(in) JS Smagorinsky, „ Experimenty s obecným oběhem s primitivními rovnicemi I. Základní experiment “ , Měsíční přehled počasí , roč. 91, n o 3,1963, str. 99-164 ( číst online )
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">