Specifický moment hybnosti

V nebeské mechaniky je specifický moment hybnosti hraje důležitou roli při řešení problému dvě těla . Je možné ukázat, že tento vektor je za oběžné dráhy za ideálních podmínek konstantní. To vede přímo k druhému Keplerovu zákonu . ${\ displaystyle {\ vec {h}}}$

Tento článek se zabývá specifickým momentem hybnosti, protože to není moment hybnosti sám , ale moment hybnosti na jednotku hmotnosti. ${\ displaystyle {\ vec {L}}}$

{\ displaystyle {\ vec {h}} = {\ frac {\ vec {L}} {m}}}

přesněji redukovaná hmotnost . Jeho jednotka SI je tedy m 2 · s -1 . ${\ displaystyle {\ frac {1} {m}} = {\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}}}$

Předpoklady

Určité podmínky, které jsou již známy z univerzálního gravitačního zákona podle Newtona, je třeba nejprve nastolit, aby se zjednodušilo, co následuje.

Dvoubodové hmoty a jsou umístěny ve vakuu ve vzdálenosti od sebe. Jedině gravitační síla působí okamžitě a bez ohledu na vzdálenost. Souřadnicový systém je setrvačný. ${\ displaystyle m_ {1}}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $r$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} {\ frac {\ vec {r}} {r}}}$

Kromě toho se předpokládá, že . Existuje tedy ústřední orgán, v počátku souřadného systému a satelitní které se točí kolem něj. Snížená hmotnost se rovná . Rovnice problému dvou těles ${\ displaystyle m_ {1} \ gg m_ {2}}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$

{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ frac {\ mu} {r ^ {2}}} {\ frac {\ vec {r}} {r}}}

popisuje pohyb. je standardní gravitační parametr a (absolutní hodnota ) je vektor vzdálenosti, který ukazuje z centrálního tělesa na satelit, protože hmotnost satelitu je zanedbatelná. ${\ displaystyle \ mu = Gm_ {1}}$ ${\ vec {r}}$ $r$

Je důležité nezaměňovat standardní gravitační parametr se sníženou hmotností, jejíž symbol je také často . $\ mu$ $\ mu$

Specifický moment hybnosti

Konkrétní točivý moment se získá vynásobením rovnice problému dvou těla s vektorem pomocí součin ${\ vec {r}}$

{\ displaystyle {\ vec {r}} \ times {\ ddot {\ vec {r}}} = - {\ vec {r}} \ times {\ frac {\ mu} {r ^ {2}}} { \ frac {\ vec {r}} {r}}}

Křížový součin vektoru se sebou (pravá strana rovnice) je 0. Levá strana je zjednodušena následovně podle pravidla součinu derivátů

{\ displaystyle {\ vec {r}} \ times {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ dot {\ vec {r}}} \ times {\ dot {\ vec {r}}} + { \ vec {r}} \ times {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ frac {\ mathrm {d} ({\ vec {r}} \ times {\ dot {\ vec {r}}} )} {\ mathrm {d} t}} = 0}

To znamená, že je konstantní ( velikost zachována ). Tento vektor je přesně moment hybnosti na jednotku hmotnosti satelitu ${\ displaystyle {\ vec {r}} \ krát {\ dot {\ vec {r}}}}$

{\ displaystyle {\ vec {h}} = {\ vec {r}} \ krát {\ dot {\ vec {r}}} = konst.}

Tento vektor je kolmý na oběžnou dráhu. Dráha proto zůstává ve stejné rovině, protože moment hybnosti je konstantní.

Další závěry problému dvou těles lze odvodit ze specifického momentu hybnosti pomocí definic letového úhlu a příčné a radiální složky vektoru rychlosti (viz obrázek vpravo). Následující tři vzorce jsou ekvivalentní metody výpočtu absolutní hodnoty konkrétního kinetického pohybu. $\ phi$

${\ displaystyle h = rv \ cos \ phi}$
${\ displaystyle h = r ^ {2} {\ dot {\ nu}}}$
${\ displaystyle h = {\ sqrt {\ mu p}}}$

Keplerovy zákony

Keplerovy zákony lze demonstrovat téměř přímo z odvození specifického momentu hybnosti.

První zákon

Důkaz začíná znovu rovnicí problému dvou těl. Tentokrát se násobí (součin) specifickým momentem hybnosti

{\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} \ krát {\ vec {h}} = - {\ frac {\ mu} {r ^ {2}}} {\ frac {\ vec {r}} {r}} \ krát {\ vec {h}}}

Levá strana rovnice se rovná, protože moment hybnosti je konstantní. ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ({\ dot {\ vec {r}}} \ krát {\ vec {h}})}} {\ mathrm {d} t}}}$

Po několika výpočtech se dostáváme na pravou stranu ${\ displaystyle - {\ frac {\ mu} {r ^ {3}}} ({\ vec {r}} \ times {\ vec {h}}) = - {\ frac {\ mu} {r ^ { 3}}} (({\ vec {r}} \ cdot {\ vec {v}}) {\ vec {r}} - r ^ {2} {\ vec {v}}) = - ({\ frac {\ mu} {r ^ {2}}} {\ dot {r}} {\ vec {r}} - {\ frac {\ mu} {r}} {\ vec {v}}) = \ mu { \ frac {\ mathrm {d} {\ frac {\ vec {r}} {r}}} {\ mathrm {d} t}}}$

Vytvořte rovnici a integrujte ji

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} \ krát {\ vec {h}} = \ mu {\ frac {\ vec {r}} {r}} + {\ vec {C}}}

s konstantou integrace . ${\ displaystyle {\ vec {C}}}$

Pokud tuto rovnici vynásobíme ( bodový součin ) , dostaneme ${\ vec {r}}$

{\ displaystyle {\ vec {r}} ({\ dot {\ vec {r}}} \ times {\ vec {h}}) = {\ vec {r}} (\ mu {\ frac {\ vec { r}} {r}} + {\ vec {C}})}

{\ displaystyle {\ vec {r}} ({\ dot {\ vec {r}}} \ times {\ vec {h}}) = ({\ vec {r}} \ krát {\ dot {\ vec { r}}}) {\ vec {h}} = h ^ {2} \ ;, \ qquad {\ vec {r}} (\ mu {\ frac {\ vec {r}} {r}} + {\ vec {C}}) = \ mu r + rC \ cos \ nu}

Konečně se objeví rovnice Keplerianova pohybu .

{\ displaystyle r = {\ frac {\ frac {h ^ {2}} {\ mu}} {1 + {\ frac {C} {\ mu}} \ cos \ nu}}}

což je polární rovnice kuželosečky s poloparametrem a výstředností . To dokazuje Keplerův první zákon, slovy: ${\ displaystyle p = {\ frac {h ^ {2}} {\ mu}}}$ ${\ displaystyle e = {\ frac {C} {\ mu}}}$

"Planety popisují elipsu, ve které Slunce zaujímá jeden z ohniskových bodů." "

- Johannes Kepler , Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis

Druhý zákon

Druhá ze tří rovnic pro absolutní hodnotu specifického kinetického pohybu vede přímo ke druhému Keplerovu zákonu.

Pokud zkombinujeme rekompozici rovnice s poměrem, kterému se rovná plocha sektoru s nekonečně malým úhlem (trojúhelník s velmi malou stranou), výsledkem je ${\ displaystyle \ mathrm {d} t = {\ frac {r ^ {2} \ mathrm {d} \ nu} {h}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ nu}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} A = {\ frac {r ^ {2} \ mathrm {d} v} {2}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} t = {\ frac {2 \ mathrm {d} A} {h}}}

rovnice, která odpovídá zákonu formulovanému slovy:

"Paprsek sluneční planety se šíří přes stejné oblasti ve stejných časových intervalech." "

- Johannes Kepler , Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis

Třetí zákon

Keplerův třetí zákon je důsledkem druhého zákona. Pokud integrujeme rovnici do revoluce, dostaneme revoluční období

{\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi ab} {h}}}

pro oblast elipsy. Pokud nahradíme poloviční osu a výsledný moment hybnosti bude ${\ displaystyle \ pi ab}$ ${\ displaystyle b = {\ sqrt {ap}}}$ ${\ displaystyle h = {\ sqrt {\ mu p}}}$

{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {a ^ {3}} {\ mu}}}}

To znamená, že existuje funkční vztah mezi obdobím revoluce a poloviční hlavní osou, který je redukován na konstantu centrálního těla. To odpovídá známější formulaci zákona:

"Čtverec období revoluce je úměrný krychli poloviční hlavní osy oběžné dráhy." "

- Johannes Kepler , Harmonices Mundi libri V

Související články

Specifická orbitální energie , další ochranná jednotka problému dvou těl.

Poznámky

Jeden nemusí tento předpoklad odvodit, aby odvodil specifický moment hybnosti. Počátkem souřadnicového systému je pak barycentrum , standardní gravitační parametr a zůstává redukovanou hmotou (krok ). Toto zjednodušení je ale ve většině případů dobré a důkazy Keplerových zákonů jsou zjevnější. ${\ displaystyle \ mu = G (m_ {1} + m_ {2})}$ $m$ ${\ displaystyle m_ {2}}$

Reference

(in) David A. Vallado, Základy astrodynamiky a aplikací , Hawthorne, CA, Micorcosm Press,2013, 1106 str. ( ISBN 9781881883180 ) , str. 24
(in) David A. Vallado, Základy astrodynamiky a aplikací , Hawthorne, CA, Micorcosm Press,2013, 1106 str. ( ISBN 9781881883180 ) , str. 28
„ Keplerovy zákony “ , na eduscol.education.fr (přístup 19. dubna 2016 )
(in) David A. Vallado, Základy astrodynamiky a aplikací , Hawthorne, CA, Micorcosm Press,2013, 1106 str. ( ISBN 9781881883180 ) , str. 30