Laplaceova metoda
V matematice se metoda Laplace , vzhledem k Pierre-Simon de Laplace , je metoda pro numerické vyhodnocení všech integrálů ve tvaru:
∫nabEMF(X)dX{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \! e ^ {Mf (x)} \, dx \,}kde je dvakrát diferencovatelná funkce , M je velké reálné číslo a hranice a a b mohou být případně nekonečné.
F{\ displaystyle f}
Princip metody
Pro M > 0, pokud předpokládáme, že funkce připouští jedinečné maximum v bodě, pak pro M velký, pouze body v sousedství významně přispívají k integrálu:
F{\ displaystyle f}X0{\ displaystyle x_ {0}}X0{\ displaystyle x_ {0}}
∫nabEMF(X)dX.{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \! e ^ {Mf (x)} dx. \,}Pokud je M záporné, uvažováním -M a -f můžeme snížit na uvažování maxima -f tedy minima f
Laplaceova metoda, obecný případ
Pro použití Laplaceovy metody je vyžadována řada podmínek. nesmí být jedním z limitů integrálu a může se přiblížit pouze hodnotě v okolí .
X0{\ displaystyle x_ {0}}F(X){\ displaystyle f (x)}F(X0){\ displaystyle f (x_ {0})}X0{\ displaystyle x_ {0}}
Návrhem ze Taylorova věta , v sousedství města , se píše:
X0{\ displaystyle x_ {0}}F(X){\ displaystyle f (x)}
F(X)=F(X0)+F′(X0)(X-X0)+12F„(X0)(X-X0)2+Ó((X-X0)3){\ displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + {\ frac {1} {2}} f' '(x_ {0 }) (x-x_ {0}) ^ {2} + O \ left ((x-x_ {0}) ^ {3} \ right)}.
Protože připouští maximum v , což není jedna z hranic integrálu, a pak máme v sousedství :
F{\ displaystyle f}X0{\ displaystyle x_ {0}}F′(X0)=0{\ displaystyle f \, '(x_ {0}) = 0}F„(X0)<0{\ displaystyle f \, '' (x_ {0}) <0}X0{\ displaystyle x_ {0}}
F(X)≈F(X0)-12|F„(X0)|(X-X0)2{\ displaystyle f (x) \ cca f (x_ {0}) - {\ frac {1} {2}} | f '' (x_ {0}) | (x-x_ {0}) ^ {2} }A pro integrál:
∫nabEMF(X)dX≈EMF(X0)∫nabE-M|F„(X0)|(X-X0)2/2dX{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \! e ^ {Mf (x)} \, dx \ přibližně e ^ {Mf (x_ {0})} \ int _ {a} ^ {b} \ ! e ^ {- M | f '' (x_ {0}) | (x-x_ {0}) ^ {2} / 2} dx}Druhý integrál lze odhadnout pomocí Gaussova integrálu nahrazením hranic a a b znaky −∞ a + ∞ a pak máme:
∫nabEMF(X)dX≈2πM|F„(X0)|EMF(X0) když M→∞{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \! e ^ {Mf (x)} \, dx \ přibližně {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {M | f '' (x_ {0} ) |}}} e ^ {Mf (x_ {0})} {\ mbox {when}} M \ to \ infty}
|
Nahrazení limitů −∞ a + ∞ je číselně platné, protože ať už je ak∈NE,E-M|F„(X0)|(X-X0)2/2{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}, \, e ^ {- M | f '' (x_ {0}) | (x-x_ {0}) ^ {2} / 2}}Ó((X-X0)-k){\ displaystyle o \ left ((x-x_ {0}) ^ {- k} \ right)}
Dvě podmínky vyžadované k provedení této metody nejsou nutně vyžadovány a existují zobecnění pro případ, kdy je jedna z hranic pomocí rozšíření prvního řádu kolem a také integrálním rozdělením pro případ, kdy dvě, nebo konečné číslo, lokální maxima z f bude mít blízké hodnoty. Metoda col point také umožňuje zobecnění pro
X0{\ displaystyle x_ {0}}X0{\ displaystyle x_ {0}}
Já(λ)=∫VSF(z)EλG(z)dz{\ displaystyle I (\ lambda) = \ int _ {\ mathcal {C}} f (z) e ^ {\ lambda g (z)} \, dz \,}Příklad: Stirlingův vzorec
Laplaceovu metodu lze použít k prokázání Stirlingova vzorce :
Pro velké N :NE!≈2πNENENEE-NE{\ displaystyle N! \ cca {\ sqrt {2 \ pi N}} N ^ {N} e ^ {- N} \,}
Podle definice funkce gama máme
NE!=Γ(NE+1)=∫0∞E-XXNEdX.{\ displaystyle N! = \ Gamma (N + 1) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} x ^ {N} dx. \,}Se změnou proměnné získáme:
X=NEz{\ displaystyle x = Nz \,}
NE!{\ displaystyle N! \,}
|
=∫0∞E-NEz(NEz)NENEdz{\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- Nz} \ left (Nz \ right) ^ {N} Ndz \,}
|
|
=NENE+1∫0∞E-NEzzNEdz{\ displaystyle = N ^ {N + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- Nz} z ^ {N} dz \,}
|
|
=NENE+1∫0∞E-NEzENElnzdz{\ displaystyle = N ^ {N + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- Nz} e ^ {N \ ln z} dz \,}
|
|
=NENE+1∫0∞ENE(lnz-z)dz.{\ displaystyle = N ^ {N + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {N (\ ln zz)} dz. \,}
|
Vzhledem k funkci:
F(z)=lnz-z{\ displaystyle f \ left (z \ right) = \ ln {z} -z}f je dvakrát diferencovatelné:
F′(z)=1z-1,{\ displaystyle f '(z) = {\ frac {1} {z}} - 1 \ ,,}
F„(z)=-1z2.{\ displaystyle f '' (z) = - {\ frac {1} {z ^ {2}}}. \,}
f je maximum v z = 1 a jeho druhá derivace se rovná -1 v 1; máme tedy s Laplaceovou metodou:
NE!≈NENE+12πNEE-NE=2πNENENEE-NE.{\ displaystyle N! \ cca N ^ {N + 1} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {N}}} e ^ {- N} = {\ sqrt {2 \ pi N}} N ^ { N} e ^ {- N}. \,}
Poznámky a odkazy
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z
anglického článku Wikipedie s názvem
„ Laplaceova metoda “ ( viz seznam autorů ) .
Podívejte se také
Bibliografie
-
J. Dieudonné , Calculus infinitesimal [ detail vydání ] , kap. IV, §2
- P. Deift, X. Zhou, Nejstrmější metoda sestupu pro oscilační Riemann-Hilbertovy problémy. Asymptotika pro MKdV rovnici, Ann. matematiky. (2), v . 137 (1993), č. 2 2, 295–368
- A. Erdelyi, Asymptotic Expansions, Dover, 1956
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">