Základní číslovka
V lingvistice jsou celá přirozená čísla nula , jedna , dvě , tři atd. se nazývají základní čísla přídavná jména .
V sadě Teoreticky je základní nebo hlavní množství z nastavené E ( konečné nebo nekonečné ), je intuitivně, „počet“ z prvků patřících do ní . Můžeme formálně definovat, co „číslo“ jako třída všech souborů ekvipotentní k E (to znamená, že jeden korespondenci s E ), nebo ve velmi různými způsoby, jako nejmenší pořadového ekvipotentní E .
Hotový případ
Roční období, hlavní body , vlákna Aymon , tvoří tři sady sdílející určitou kvalitu, kterou nesdílejí všechny prsty ruky: tuto kvalitu můžeme zvýraznit vzájemným párováním prvků. Příslušné z těchto sad a říkají, že jsou kardinálové „ čtyřky “. „Čtyři“ by pak byly podpisem dotyčné nemovitosti.
Stejným způsobem může být sada prstů ruky uvedena do korespondence, prvek po prvku, se sadou slov {„Amerika“, „Afrika“, „Antarktida“, „Oceánie“, „Eurasie“}; tyto dvě množiny jsou v jistém smyslu ekvivalentní : říkáme, že jsou v bijekce nebo že jsou ekvipotentní .
Na druhou stranu neexistuje způsob, jak spojit „jeden po druhém“ každý hlavní bod s každým prstem ruky (neexistuje ani injekce druhé sady do prvního); proto se nezabýváme ekvipotentními sestavami. Existuje však injekce první sady do druhé. Řekneme, že první je subpotentní vůči druhému. Subpotence je vztah z předobjednání ve třídě souborů.
To, čemu říkáme „kardinál“, bude svým způsobem měřítkem „moci“ celku. O množině bude řečeno, že je konečná kardinálu n, pokud je ekvipotentní množině celých čísel {1, 2, ..., n } nebo ekvivalentním způsobem jako množina {0, 1, 2,…, n - 1} který je ve von Neumannově zápisu identifikován se samotným n .
Dokud se tedy budeme držet konečného, kardinálové se objeví pod dvojitým aspektem ekvivalence a řádu : každý z nich je podpisem ekvivalence mezi množinami, ale mezi nimi jsou uspořádány podle velikosti.
Níže uvidíme, že situace se stává komplikovanější, když máme co do činění s nekonečnými kardinály; Tvrzení, že dva kardinálové musí být lepší než ostatní, tedy závisí na zvolené axiomatice: to je problém kardinální srovnatelnosti .
Obecný případ
Definice Frege
První teorii mohutnosti lze zkonstruovat jako teorii vztahu ekvipotence, aniž bychom definovali, co je kardinální číslo ve skutečnosti v celé obecnosti.
Vztah ekvipotence, který je reflexivní, symetrický a tranzitivní na třídě množin, se každé třídě ekvivalence nazývá základní číslo nebo jednoduše základní číslo .
Tato definice, která se jeví jako velmi přirozená, se někdy vyskytuje v elementárních prezentacích teorie množin . Jeho použití však představuje určité problémy v obvyklých teoriích: třída tříd s pouze jedním prvkem, kterým by bylo číslo jedna , však není množinou a není prvkem žádné třídy, stejně jako pro třídu množiny čtyř prvků atd., proto je nemožné dokonce mluvit o intervalech celých přirozených čísel. Tyto obtíže se podobají Russellovu paradoxu , který byl objeven, když tento napsal kritický dopis Frege .
Definice řadovými čísly
Pozice problému
Abychom tyto obtíže obešli, mohli jsme se rozhodnout charakterizovat zástupce v každé třídě množin ekvipotentních. To lze v hotovém případě provést velmi jednoduše následujícím způsobem:
- Prázdná množina a množiny čísel formuláře {1, 2, ..., n } tvoří sady dvou ze dvou různých kardinály;
- S definicí „celých čísel von Neumanna“, což je konkrétní případ omezený na konečnou definici ordinálu , je přirozené celé číslo n , považované za konečný ordinál, množinou jeho předchůdců:
n = {0, 1, 2,…, n - 1}, zejména 0 = ∅, přičemž prázdná množina je jedinou množinou, která je ekvipotentní pouze sobě;
- Označujeme kartou (∅) = 0 a kartou ({1, 2,…, n }) = n .
Rozšíření této metody na nekonečné množiny však vyžaduje další nástroje:
- Vztah „ do sady Y je vstřikování množiny X “ je částečným předobjednáním množin;
- Pokud jsou dvě množiny A a B ekvipotentní, je zřejmé, že každá z nich je vstřikována do druhé;
- Cantor-Bernsteinova věta nám umožňuje ukázat opak: dvě sady jsou ekvivalentní, jakmile tam je injekce každý z nich do druhého. Ekvipotence je tedy vztah ekvivalence spojený s předobjednáním a na třídách ekvipotence máme vztah (částečného) řádu ;
- Tvrzení, že tento řád je celkový, je ekvivalentní s axiomem volby : je to kardinální věta o srovnatelnosti . Bez tohoto axiomu, vzhledem ke dvěma množinám E a F , nemusí nutně existovat injekce E do F nebo F do E ;
- Vidíme tedy, že definice kardinála závisí na axiomu volby. Axiom volby je ekvivalentní existenci dobrého řádu na libovolné množině;
- V ZFC množin teorie (Zermelo-Fraenkel s axiomu výběru) a jeho rozšíření, můžeme definovat třídu zástupců všech dobrých objednávek: pořadovými čísly , generalizace celých čísel, jejichž zastoupení v teorii množin je kvůli von Neumanna . Je to čistá třída , sama o sobě dobře uspořádaná, a proto zejména zcela uspořádaná.
Definice
V této souvislosti je potom kardinální číslo definováno jako pořadové číslo (von Neumann), které není ekvipotentní k žádnému pořadovému číslu, které je přísně nižší. Kardinál množiny je nejmenší ordinál, ke kterému je tato množina ekvipotentní.
Všechna přirozená čísla označená konečnými řadovými čísly jsou v tomto smyslu kardinály. Nekoneční kardinálové jsou reprezentováni pomocí hebrejského písmene aleph : ℵ. Nejmenší nekonečný kardinál je ℵ₀ . Je to kardinál množiny N přirozených celých čísel, která je také označována jako pořadové číslo znakem ω . Další vyšší kardinál je ℵ₁ atd. Obecně platí, že každý nekonečný kardinál lze vždy napsat ℵ α , kde α je ordinál.
Obecné vlastnosti
Příklady
- Počitatelnou množinu nazýváme libovolnou množinou, která je ekvipotentní množině přirozených čísel. Například sada racionů je spočetná.
karta (ℚ) = ℵ₀: = karta (ℕ).
vs.nard(R)=vs.nard(P(NE))>ℵ0{\ displaystyle \ mathrm {karta} (\ mathbb {R}) = \ mathrm {karta} ({\ mathcal {P}} (\ mathbb {N}))> \ aleph _ {0}}![{\ displaystyle \ mathrm {karta} (\ mathbb {R}) = \ mathrm {karta} ({\ mathcal {P}} (\ mathbb {N}))> \ aleph _ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0331608cfa669838fc7d8ea486fccc80365aeaa)
(
Cantorova věta ).
Tento kardinál je také známý , řekl kardinál kontinuity.
vs.{\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}![{\ mathfrak {c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21924b960341255be18e538e51404718f29cbc0)
- Říkáme, že množina má sílu spojitosti, pokud je její kardinál (síla byla použita ve smyslu kardinála a byla také ekvipotentní).vs.{\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}
![{\ mathfrak {c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21924b960341255be18e538e51404718f29cbc0)
- Stejně jako ℕ k je ekvipotentní k ℕ, pro každé celé číslo k > 0, ℝ k je ekvipotentní k ℝ , to znamená kardinál . Množina ℝ ℕ skutečných sekvencí je také ekvipotentní k ℝ.vs.{\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}
![{\ mathfrak {c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21924b960341255be18e538e51404718f29cbc0)
- Sada spojitých funkcí ℝ v ℝ je proto také kardinální , protože tato množina má nanejvýš sílu ℝ ℚ (a alespoň sílu kontinua).vs.{\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}
![{\ mathfrak {c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21924b960341255be18e538e51404718f29cbc0)
-
vs.nard(P(R)R)=vs.nard(RR)=vs.nard(NER)=vs.nard(P(R))>vs.{\ displaystyle \ mathrm {karta} ({\ mathcal {P}} (\ mathbb {R}) ^ {\ mathbb {R}}) = \ mathrm {karta} (\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {R }}) = \ mathrm {karta} (\ mathbb {N} ^ {\ mathbb {R}}) = \ mathrm {karta} ({\ mathcal {P}} (\ mathbb {R}))> {\ mathfrak {vs}}}
( B A označuje sadu map z A do B ).
Vlastnosti
- Pokud existuje podezření z A do B , pak karta ( B ) ≤ karta ( A ) .
- Sada E není na všech jejích částech žádným překvapením . Sada proto nikdy není ekvipotentní ke všem svým částem, ačkoli je do ní vstřikována sadou singletonů jejích prvků, což umožňuje psát:P(E){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (E)}
vs.nard(E)<vs.nard(P(E)).{\ displaystyle \ mathrm {karta} (E) <\ mathrm {karta} ({\ mathcal {P}} (E)).}
Toto je Cantorova věta ; výchozím bodem teorie mohutnosti pro nekonečné množiny byl článek z roku 1874 Georga Cantora, který ukázal, že kontinuum , množinu reálných čísel , nelze bijektovat s množinou přirozených čísel , a proto existují různé nekonečna z hlediska mohutnosti.
- Pokud je A nekonečné, pak karta ( A × A ) = karta ( A ). Toto tvrzení, které je ekvivalentní s axiomem volby , má mnoho důsledků. Například pokud je nekonečný:
NA{\ displaystyle A}
![NA](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
- pokud tedy - zejména karta ( A ⊔ A ) = karta ( A ) , pak0<vs.nard(B)≤vs.nard(NA){\ displaystyle 0 <\ mathrm {karta} (B) \ leq \ mathrm {karta} (A)}
vs.nard(NA×B)=vs.nard(NA){\ displaystyle \ mathrm {karta} (A \ krát B) = \ mathrm {karta} (A)}![{\ displaystyle \ mathrm {karta} (A \ krát B) = \ mathrm {karta} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f758596ec71c2322b4eec8dbe28d49c5255dd4)
- pokud tedy ;
vs.nard(B)≤vs.nard(NA){\ displaystyle \ mathrm {karta} (B) \ leq \ mathrm {karta} (A)}
vs.nard(NA∪B)=vs.nard(NA){\ displaystyle \ mathrm {karta} (A \ pohár B) = \ mathrm {karta} (A)}![{\ displaystyle \ mathrm {karta} (A \ pohár B) = \ mathrm {karta} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6774b696826b67795ba427deb2e2da753299cb)
- zejména pokud je zahrnuto v nekonečnu s , pak ;B{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
vs.nard(B)<vs.nard(VS){\ displaystyle \ mathrm {karta} (B) <\ mathrm {karta} (C)}
vs.nard(VS)=vs.nard(VS∖B){\ displaystyle \ mathrm {karta} (C) = \ mathrm {karta} (C \ setminus B)}![{\ displaystyle \ mathrm {karta} (C) = \ mathrm {karta} (C \ setminus B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d7db9db689410c835514943690568401d0c7e04)
- ano , tedy .2≤vs.nard(B)≤vs.nard(P(NA)){\ displaystyle 2 \ leq \ mathrm {karta} (B) \ leq \ mathrm {karta} ({\ mathcal {P}} (A))}
vs.nard(BNA)=vs.nard(P(NA)){\ displaystyle \ \ mathrm {karta} (B ^ {A}) = \ mathrm {karta} ({\ mathcal {P}} (A))}![{\ displaystyle \ \ mathrm {karta} (B ^ {A}) = \ mathrm {karta} ({\ mathcal {P}} (A))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f01d71cd29134c7957b1be37b8bfd7dc736f0be3)
- Celková End ( ) z hotových dílů A a všechny A < omega z konečných sekvencí z prvků A, mají stejnou mohutnost jak A .Karta ( A ) ≤ karta (Fin ( A )) ≤ karta ( A <ω ) = ∑ n ∈ℕ karta ( A n ) = ∑ n ∈ℕ karta ( A ) = karta (ℕ × A ) ≤ karta ( A × A ) = karta ( A );
Velcí kardinálové
Studium mohutnosti v teorii množin je stále aktivním výzkumným tématem. „ Velcí kardinálové “ umožňují přirozené rozšíření teorie ZFC.
Kardinál nepřístupný
Přístupnost je možnost dosažení řadové nebo kardinál vyslaný z menších ordinals.
O ordinálním β se říká, že je kofinální v ordinálním α, pokud existuje přísně rostoucí mapa f β v α tak, že α je limit f v následujícím smyslu:
∀y∈α,∃δ∈β,y≤F(δ).{\ displaystyle \ forall \ gamma \ in \ alpha, \ existuje \ delta \ in \ beta, \ gamma \ leq f (\ delta).}![\ forall \ gamma \ in \ alpha, \ existuje \ delta \ in \ beta, \ gamma \ leq f (\ delta).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5bfaf4399d0a60022fd0b9f67003b8a5c35ca1)
Například žádný ordinál striktně menší než ℵ₀ není v ℵ₀ kofinální, protože ordinál striktně menší než ℵ₀ je celé číslo n = {0, 1, 2,…, n - 1} a striktně rostoucí mapa definovaná na {0, 1 , 2,…, n - 1} je ohraničený. Kardinál then je pak považován za řádného , což je případ všech následujících kardinálů.
Na druhou stranu, ω je cofinal v kardinál ℵ omega prostřednictvím aplikace .
F:ne∈ω↦ℵne{\ displaystyle f: n \ in \ omega \ mapsto \ aleph _ {n}}![f: n \ in \ omega \ mapsto \ aleph _ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb2da9f0f74a561d4ecd4b62fabbc13ca0a464a)
Tento kardinál ℵ ω je pak považován za singulární .
Zaznamenáním cf (α) nejmenšího ordinálního ordinálu v α získáme cf (ω) = cf (ℵ ω ) = ω.
Kardinálové jsou poté klasifikováni následovně:
- ty ve tvaru ℵ α + 1 , indexované pořadovým α + 1 nástupcem pořadového α;
- ty ve tvaru ℵ α , indexované mezním ordinálním α a které jsou singulární;
- ty ve tvaru ℵ α , indexované mezním ordinálním α a které jsou pravidelné.
Tento druhý typ kardinála se označuje jako slabě nepřístupný, protože jej nelze zkonstruovat z menších kardinálů. Mezi nimi se rozlišují silně nepřístupní kardinálové, kteří navíc kontrolují . Existenci takových kardinálů nelze odvodit z axiomů teorie množin ZFC; tito kardinálové a další, kteří splňují stejnou podmínku, jsou proto kvalifikováni jako velcí kardinálové .
vs.nard(X)<ℵα⇒2vs.nard(X)<ℵα{\ displaystyle \ mathrm {karta} (x) <\ aleph _ {\ alpha} \ Rightarrow 2 ^ {\ mathrm {karta} (x)} <\ aleph _ {\ alpha}}![{\ mathrm {card}} (x) <\ aleph _ {{\ alpha}} \ Rightarrow 2 ^ {{{\ mathrm {card}} (x)}} <\ aleph _ {{\ alpha}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ee0255ae80ca7088d52cb58e387523105a6544)
Naopak, první dva typy kardinálů jsou kvalifikovány jako přístupné , protože je lze zkonstruovat (v ZFC) z menších kardinálů.
Kontinuální hypotéza
Karta nerovnosti N = ℵ₀ <karta R = 2 ℵ₀ uvedená výše umožňuje zápis ℵ₁ ≤ 2 ℵ₀, protože ℵ₁ je nejmenší kardinál přísně větší než ℵ₀.
Hypotéza kontinua potvrzuje rovnost ℵ₁ = 2 ℵ₀ . Ukazujeme, že tato vlastnost je v ZFC nerozhodnutelná .
Obecně platí , že zobecněná hypotéza kontinua uvádí, že pro jakékoli pořadové α máme ℵ α + 1 = 2 ℵ α .
Následující výsledky jsou získány připuštěním jako axiomu zobecněné hypotézy kontinua.
- Mezi pojmy slabě nepřístupných a silně nepřístupných kardinálů existuje rovnocennost.
- Sada ℵ α ℵ β funkcí z ℵ β v ℵ α má pro kardinála:
- ℵ α pokud ℵ β <cf (ℵ α );
- ℵ α + 1, pokud cf (ℵ α ) ≤ ℵ β ≤ ℵ α ;
- ℵ β + 1, pokud ℵ α ≤ ℵ β .
Přeformulování hypotézy kontinua spočívá v tom , že R , množina reálných čísel, lze skutečně objednat typu ℵ 1 . Je to silnější výrok než prostý fakt, že R lze dobře uspořádat, což je v ZF ekvivalentní k axiomu volby nad podmnožinami reálných čísel.
Silná forma zobecněné hypotézy kontinua, uváděná pro všechny nekonečné množiny, vede k axiomu volby (viz článek Hartogs Ordinal Ordinal ).
Poznámky a odkazy
-
R. Maillard, G. Girard a A. Lentin, Matematika, druhá třída , 1964.
-
. Jedním z řešení, vzhledem k Dana S. Scott , spočívá v použití sady x o minimální pozice obsažené v takové třídy, který předpokládá axióm základu .
-
René Cori a Daniel Lascar, Mathematical Logic , Dunod, Paříž 2003, sv. 2, kap. 7, § 4.13, s. 1 163 .
-
Viz například Jech 2003 , s. 50, důkaz věty 5,20 (ii).
Podívejte se také
Související články
Bibliografie
-
Patrick Dehornoy , Logika a teorie množin, Poznámky k přednášce , FIMFA ENS , 2006-2007, kapitola 5: Kardinálové
- (en) Thomas Jech , Teorie množin: Třetí vydání tisíciletí , Springer , kol. "Springer Monografie z matematiky",2003( 1 st ed. 1978), 772 str. ( ISBN 978-3-540-44085-7 , číst online )
-
(en) Akihiro Kanamori , The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings , Springer-Verlag, Berlin, 1994, xxiv + 536 p. Druhé vydání, Springer, kol. Monografie z matematiky, 2008 ( ISBN 978-3540003847 )