Kardinální funkce
V matematice je kardinální funkce (nebo kardinální invariant ) funkce s hodnotami v hlavních číslech .
- Nejpoužívanější kardinální funkcí je funkce, která spojuje svou mohutnost s libovolnou množinou A označenou | A |.
- Tyto alephs a Beths může být vnímáno jako kardinálních funkcí na pořadové číslo .
- Aritmetické operace na kardinálech jsou příklady funkcí kardinálů (nebo dvojic kardinálů) v kardinálech.
- Světové strany charakteristiky správného ideálu (v), I částí X (tj neprázdná souborem vhodných částí z X , stáje podle podskupin a konečnými setkání) jsou, za předpokladu, že jsem se vztahuje na X :
- jeho aditivita add ( I ), což je nejmenší počet prvků I, jejichž sjednocení není prvkem I :nadd(Já)=min{|NA|:NA⊂Já ∧ ∪NA∉Já}.{\ displaystyle {\ rm {add}} (I) = \ min \ {| {\ mathcal {A}} |: {\ mathcal {A}} \ podmnožina I ~ \ wedge ~ \ cup {\ mathcal {A} } \ notin I \}.}Tento kardinál je nekonečný:nadd(Já)≥ℵ0.{\ displaystyle {\ rm {add}} (I) \ geq \ aleph _ {0}.}Je dokonce větší než nebo rovno ℵ 1, pokud jsem stabilní nejen konečnými shledáními, ale spočítatelnými shledáními ;
- jeho překrývající se číslo cov ( I ), což je nejmenší počet prvků I, jejichž sjednocení je X celé:vs.Óproti(Já)=min{|NA|:NA⊂Já ∧ ∪NA=X}.{\ displaystyle {\ rm {cov}} (I) = \ min \ {| {\ mathcal {A}} |: {\ mathcal {A}} \ podmnožina I ~ \ wedge ~ \ cup {\ mathcal {A} } = X \}.}Tento kardinál je větší nebo roven předchozímu:vs.Óproti(Já)≥nadd(Já) ;{\ displaystyle {\ rm {cov}} (I) \ geq {\ rm {add}} (I) ~;}
- jeho non ( I ) uniformita - někdy také označovaná unif ( I ) - což je nejmenší velikost části X , která nepatří do I :neÓne(Já)=min{|NA|:NA⊂X ∧ NA∉Já}.{\ displaystyle {\ rm {non}} (I) = \ min \ {| A |: A \ podmnožina X ~ \ wedge ~ A \ notin I {\ big \}}.}Tento kardinál je také větší nebo roven aditivitě:neÓne(Já)≥nadd(Já) ;{\ displaystyle {\ rm {no}} (I) \ geq {\ rm {add}} (I) ~;}
- jeho kofinál COF ( I ), který je kofinál v částečné uspořádání ( I , ⊂), to znamená, že nejmenší kardinála z cofinal části tohoto pořadí:vs.ÓF(Já)=min{|B|:B⊂Já ∧ (∀NA∈Já)(∃B∈B)(NA⊂B)}.{\ displaystyle {\ rm {cof}} (I) = \ min \ {| {\ mathcal {B}} |: {\ mathcal {B}} \ podmnožina I ~ \ wedge ~ (\ forall A \ in I) (\ existuje B \ v {\ mathcal {B}}) (A \ podmnožina B) \}.}Zvyšuje dva předchozí kardinály:vs.ÓF(Já)≥neÓne(Já) a vs.ÓF(Já)≥vs.Óproti(Já).{\ displaystyle {\ rm {cof}} (I) \ geq {\ rm {no}} (I) {\ text {et}} {\ rm {cof}} (I) \ geq {\ rm {cov} } (I).}
V případě, že I je ideální struktura související se skutečnými, jako ideálními částmi
Lebesgue -
zanedbatelné nebo
štíhlé , jsou tyto kardinální invarianty součástí hlavních charakteristik DC
(in) .
- Pro předem objednanou množinu ( E , ≤) se definice kofinality zobecňuje na definici (en) dominujícího čísla ? ( E ):d(E)=min{|Y|:Y⊂E ∧ (∀X∈E)(∃y∈Y)(X≤y)}{\ displaystyle {\ mathfrak {d}} (E) = \ min {\ big \ {} | Y |: Y \ podmnožina E ~ \ wedge ~ (\ forall x \ in E) (\ existuje y \ v Y) (x \ leq y) \}}a také definuje (ne) ohraničující číslo ? ( E ):b(E)=min{|Y|:Y⊂E ∧ (∀X∈E)(∃y∈Y)(y≰X)}.{\ displaystyle {\ mathfrak {b}} (E) = \ min {\ big \ {} | Y |: Y \ podmnožina E ~ \ wedge ~ (\ forall x \ in E) (\ existuje y \ v Y) (y \ not \ leq x) {\ big \}}.}
- V teorii možných koefinalit (en) používáme kardinální funkci pp κ (λ).
Kardinální funkce jsou široce používány v obecné topologii jako nástroje k popisu různých topologických vlastností . Zde je několik příkladů.
- Dva nejjednodušší kardinální invarianty topologického prostoru X jsou jeho mohutnost | X | a jeho topologie, o ( X ) = | T X |.
- Jeho hmotnost w ( X ) je nejmenší mohutnost základu T X . Říká se, že prostor má spočetnou základnu, když w ( X ) ≤ ℵ 0 .
- Jeho znak χ ( X ) je nejmenší kardinál κ, takže jakýkoli bod má základ sousedství kardinála menší nebo roven κ. Říká se, že prostor má spočetné základy sousedství, když χ ( X ) ≤ ℵ 0 .
- Jeho π -váha π w ( X ) je nejmenší kardinál π- báze, tj. Rodiny neprázdných otvorů , takže jakýkoli neprázdný otvor X obsahuje otvor této rodiny.
- Jeho hustota d ( X ) je nejmenší mohutnost husté části . Prostor se říká, že je oddělitelný, když d ( X ) ≤ ℵ 0 .
- Její Lindelöfovo číslo L ( X ) je nejmenší kardinál κ, takže jakýkoli otevřený obal X má kardinál v utajení menší nebo roven κ. O prostoru se říká, že je Lindelöf, když L ( X ) ≤ ℵ 0 .
- Jeho celulárnost (nebo jeho Suslinovo číslo (v) ) c ( X ) je nejmenší kardinál κ tak, že každá rodina otevřeného neprázdného dva po dvou disjunktních má kardinál menší nebo roven κ.
- Jeho dědičná celulárnost nebo její šíření (v angličtině: spread ) s ( X ) je horní hranice celulárností jejích podprostorů :
s(X)=hvs.(X)=sup{vs.(Y):Y⊂X}=sup{|Z|:Z⊂X ∧{\ displaystyle s (X) = {\ rm {hc}} (X) = \ sup \ {{\ rm {c}} (Y): Y \ podmnožina X \} = \ sup \ {| Z |: Z \ podmnožina X ~ \ klín}podprostor Z je diskrétní}.{\ displaystyle \}.}
- Její těsnost (anglicky: těsnost ) t ( X ) je nejmenší hlavní κ tak, že jakýkoliv adherentní bod na část A z X je členem podskupiny A menší nebo roven kardinální mítk. Prostor se říká, že je spočítatelně generován nebo spočítatelně úzký, když t ( X ) ≤ ℵ 0 .
- Jeho zvýšená těsnost t + ( X ) je nejmenší pravidelný kardinál κ tak, že každý bod přilnutí k části A z X, je přilnavý k podmnožině A s mohutností méně než mítk.
Tyto nerovnosti spojují různé nerovnosti. Například :
c ( X ) ≤ d ( X ) ≤ w ( X ) ≤ o ( X ) ≤ 2 | X | ,
χ ( X ) ≤ w ( X ) a L ( X ) ≤ w ( X ).
Pokud X je
oddělena , | X | ≤ 2 c ( X )
χ ( X ) a | X | ≤ 2 L ( X )
χ ( X ) .
Mnoho kardinálních funkcí topologického prostoru odpovídá dualitou kardinálním funkcím jeho algebry spojitých funkcí nebo booleovské algebry.
Kardinální funkce booleovské algebry
Při studiu booleovských algeber se často používají kardinální funkce .
Můžeme zmínit například následující funkce booleovské algebry B :
- jeho celularita c ( B ), což je horní mez protiřetězec kardinálů z B ;
- jeho délka délka ( B ), což je horní mez kardinálů jeho řetězců ;
- jeho hloubka hloubka ( B ), což je horní mez kardinálů jeho dobře uspořádaných částí ;
- jeho neporovnatelnost inc ( B ), což je horní hranice kardinálů rodin prvků dva po dvou, které jsou nesrovnatelné ;
- jeho pseudo-váha π ( B ), což je nejmenší kardinál z rodiny nenulových prvků booleovské algebry B tak, že jakýkoli nenulový prvek B je redukován o prvek této rodiny.
Kardinální funkce v algebře
Mezi příklady hlavních funkcí, které v algebře považujeme, patří:
Poznámky a odkazy
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku
anglické Wikipedie s názvem
„ Cardinal function “ ( viz seznam autorů ) .
-
(in) DH Fremlin , Measure Theory , sv. 4, Torres Fremlin,2000, 945 s. ( ISBN 978-0-9538129-4-3 , číst online ) , s. 18.
-
(in) Michael Holz, Karsten Steffens a Edmund Weitz Úvod do kardinálu aritmetiky , Birkhauser ,1999, 304 s. ( ISBN 978-3-7643-6124-2 , číst online ).
-
(in) István Juhász (hu) , Cardinal functions in topology , Amsterdam, Math. Tracts Center,1979, 160 s. ( ISBN 978-90-6196-062-1 , číst online ).
-
(in) István Juhász, Kardinální funkce v topologii - o deset let později , Amsterdam, Math. Tracts Center,1980, 160 s. ( ISBN 978-90-6196-196-3 , číst online ).
-
(en) „Kardinální charakteristika“ , v Michiel Hazewinkel , Encyklopedie matematiky , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , číst online ).
-
Někteří autoři, například (en) Ryszard Engelking , General Topology , Heldermann (de) ,1989, 529 s. ( ISBN 978-3-88538-006-1 ), pro něž „v topologii neexistují žádní koneční kardinálové“, upřednostňují definovat tyto základní funkce takovým způsobem, že berou pouze nekonečné hodnoty, což se rovná úpravám zde uvedených definic, například přidáním ℵ 0 na pravou stranu .
-
shrnutí ve francouzštině o (ne) J. Donald Monk, "Cardinal funkce jsou booleovské algebry" ve Maurice POUZET a Denis Richard objednávky: Popis a role ,1984, str. 9-37.
-
(en) J. Donald Monk, Cardinal Functions on Boolean Algebras , Birkhäuser, al. "Lectures in Mathematics ETH Zürich",1990, 153 s. ( ISBN 978-3-7643-2495-7 ).
-
(en) J. Donald Monk, Cardinal Invariants jeden Boolean Algebras , Birkhäuser, al. "Pokrok matematiky" ( n o 142),1996, 298 s. ( ISBN 978-3-7643-5402-2 , číst online ).
Podívejte se také
Související články
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">