Tepelné jádro

V matematiky , teplo jádro je Green funkce (také volal základní roztok) z rovnice vedení tepla přes určitou doménou, popřípadě s vhodnými hraničními podmínkami. To je také jeden z hlavních nástrojů pro studium na laplacián spektra . Tepelné jádro představuje změnu teploty rovnou jedné jednotce tepla v bodě v počáteční době.

Zahřívejte jádro ve volném prostoru

Jádro tepla ve volném prostoru R d má výraz

K.(t,X,y)=1(4πt)d/2E-|X-y|2/4t{\ displaystyle K (t, x, y) = {\ frac {1} {(4 \ pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | xy | ^ {2} / 4t}} ${\ displaystyle K (t, x, y) = {\ frac {1} {(4 \ pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | xy | ^ {2} / 4t}}$

a je řešením tepelné rovnice

∂K.∂t(t,X,y)=ΔXK.(t,X,y){\ displaystyle {\ frac {\ částečné K} {\ částečné t}} (t, x, y) = \ Delta _ {x} K (t, x, y)} ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné K} {\ částečné t}} (t, x, y) = \ Delta _ {x} K (t, x, y)}$

pro všechna t > 0 a x , y ∈ R d , s počáteční podmínkou

limt→0K.(t,X,y)=δ(X-y)=δX(y){\ displaystyle \ lim _ {t \ až 0} K (t, x, y) = \ delta (xy) = \ delta _ {x} (y)} ${\ displaystyle \ lim _ {t \ až 0} K (t, x, y) = \ delta (xy) = \ delta _ {x} (y)}$

kde δ je Diracova distribuce a limita je brána ve smyslu distribucí , tj. pro jakoukoli testovací funkci φ

limt→0∫RdK.(t,X,y)φ(y)dy=φ(X).{\ displaystyle \ lim _ {t \ až 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K (t, x, y) \ varphi (y) \, \ mathrm {d} y = \ varphi (X).} ${\ displaystyle \ lim _ {t \ až 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K (t, x, y) \ varphi (y) \, \ mathrm {d} y = \ varphi (X).}$

Spektrální teorie

Obecné definice

Buď kompaktní plocha na palubě . Na tomto poli lze uvažovat o kladném operátoru , kterým je Laplacian , který má okrajové podmínky na okraji pole (Dirichlet, Neumann, smíšený), které problém zcela vyřeší. $\ Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ částečné \ Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$ $\Delta$ $\ částečné \ Omega$

Pozitivní operátor je generátor spojité poloskupiny v . Pak můžeme psát pro jakoukoli funkci sčítatelného čtverce f : ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$ $L ^ {2} (\ Omega)$

${\ displaystyle e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ f (x) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ = \ int _ {\ Omega} dy \ K (x, y, t) \ f (y)}$

Funkce K ( x , y , t ) se nazývá „ tepelné jádro “. Funkce ve skutečnosti:

${\ Displaystyle f (x, t) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x)}$

je jednoznačně řešením tepelné rovnice :

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné f (x, t)} {\ částečné t}} \ = \ \ Delta \ f (x, t)}$

Kromě toho, polo-skupina inklinuje k identitě, když je čas t směřuje k nule:

${\ Displaystyle f (x, t) \ = \ \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ \ až _ {t \ až 0 ^ {+}} \ f (x)}$

takže jádro tepla K musí mít asymptotické chování:

${\ displaystyle K (x, y, t) \ \ až _ {t \ až 0 ^ {+}} \ \ delta (xy)}$

kde je Diracova distribuce . Jádro tepla K ( x , y , t ) se tedy jeví jako funkce zeleného neboli elementárního řešení rovnice tepla. ${\ displaystyle \ delta (x)}$

Spektrální teorie

Když je pole kompaktní, kladný operátor má diskrétní spektrum vlastních čísel, s nimiž je spojen Hilbertův základ vlastních vektorů (zde se používá Diracova notace ): $\ Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$

${\ displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 \ leq \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}$

Poté můžeme psát zavedením dvojnásobné uzavírací relace:

${\ displaystyle K (x, y, t) \ = \ \ langle y | e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} | x \ rangle \ = \ \ sum _ {n, m = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {m} \ rangle \ \ langle \ psi _ {m} | e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle}$

kdo se stane:

${\ displaystyle K (x, y, t) \ = \ \ součet _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle \ e ^ {- \; t \; \ \ lambda _ {n}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ overline {\ psi _ {n} }} (y) \ \ psi _ {n} (x) \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Stopa tepelného jádra

Stopa tepelného jádra je definován:

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ součet _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Eigenstates bytí orthonormal, jeden všimne si, že jeden může psát:

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t) \ = \ \ součet _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ \ int _ {\ Omega} dx \ | \ psi _ {n} (x) | ^ {2} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ { - \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Máme tedy základní vztah:

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t)}$

Tento vztah souvisí s mnoha „stopovými vzorci“, jako jsou Selbergovy v hyperbolické geometrii nebo Gutzwillerova s poloklasickou aproximací.

Spektrální funkce

Definujeme funkci počítání vlastních čísel:

${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ theta ({\ hat {H}} - \ lambda) \ = \ \ součet _ {n = 1} ^ { + \ infty} \ \ theta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}$

kde je distribuce Heaviside . Funkce count je rostoucí pozitivní funkce schodiště, která dává celkový počet vlastních čísel menší nebo roven . Jeho derivátem je spektrální hustota vlastních čísel: $\ daň)$ $\ lambda$

${\ displaystyle \ rho (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ delta ({\ hat {H}} - \ lambda) \ = \ \ součet _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ delta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}$

Stopa tepelného jádra souvisí s těmito funkcemi Laplaceovou transformací :

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ součet _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ \ rho (\ lambda) \ d \ lambda \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ d {\ mathcal {N}} (\ lambda)}$

Spektrální zeta funkce

Zde předpokládáme, že zásadní . Analogicky s Riemannovou zeta funkcí zavedeme spektrální zeta funkci pomocí řady Dirichletových typů : ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ neq 0}$

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ \ součet _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}}$

který konverguje na dostatečně velký. Tato funkce zeta je spojena se stopou tepelného jádra transformací typu Mellin : ${\ displaystyle \ Re \ mathrm {e} \ left [\, s \, \ right]}$

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ {\ frac {1} {\ gama (y)}} \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} dt \ t ^ {s-1} \ \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}}}$

Funkce zeta se používá zejména k regularizaci determinantů operátorů (en), které se objevují při výpočtech integrálů cest v teorii kvantového pole . Ve skutečnosti je determinant operátoru H definován:

${\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n}}$

S identitou:

${\ displaystyle \ ln \ \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ ln \ \ vlevo (\ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n} \ vpravo) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ ln \ lambda _ {n} \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ ln \ {\ hat {H}}}$

snadno ukážeme formální vztah:

${\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ exp \, \ left [\, - \ \ zeta '(0) \, \ right]}$

kde derivace funkce zeta je hodnocena při s = 0.

Rozšíření na kompaktní Riemannovy rozdělovače

Všechny předchozí definice se zcela přirozeně rozšiřují na případ Laplaceova-Beltramiho operátoru na kompaktním Riemannově potrubí , které má také diskrétní spektrum. Na kompaktním potrubí lze konstantní funkci normalizovat na jednotu, takže základní stav je spojen s nulovým vlastním číslem, které není zdegenerováno.

Potom je vhodné se zeptat :, a máme: $\ lambda _ {0} = 0$

${\ displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 = \ lambda _ { 0} \ <\ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}$

S tímto spektrem lze také spojit funkci zeta za podmínky odstranění nulového vlastního čísla „ručně“.

Asymptotický vývoj tepelného jádra

Diagonální člen tepelného jádra připouští asymptotický vývoj v krátkém čase.

Kompaktní riemannovská odrůda bez ohraničení

Pro kompaktní Riemannovo potrubí M dimenze d bez ohraničení máme vývoj Minakshisundaram-Pleijel (1949):

${\ displaystyle K (x, x, t) \ \ sim \ {\ frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ součet _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} (x) \ t ^ {n} \ qquad (t \ na 0 ^ {+})}$

kde koeficienty jsou hladké funkce na M , které závisí na metrice a jejích derivacích v x . Integrací ve všech bodech x odvodíme, že stopa tepelného jádra také připouští asymptotický vývoj v malém čase: $a_n (x)$

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ \ sim \ {\ frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ součet _ {n = 0} ^ {+ \ infty} A_ {n} \ t ^ {n} \ qquad (t \ až 0 ^ {+})}$

kde jsou konstanty definovány: $Rok}$

${\ displaystyle A_ {n} \ = \ \ int _ {M} a_ {n} (x) \ d \ mu (x)}$

pro měření vyvolané metrikou. Tyto konstanty odhalují určité globální geometrické charakteristiky M ; například konstanta je úměrná nadměrnému objemu potrubí:, kde: $A_0$ ${\ displaystyle \ mathrm {mes} \, (M)}$

${\ displaystyle \ mathrm {mes} \, (M) \ = \ \ int _ {M} \ d \ mu (x)}$

Odrůdy na palubě

Existenci takového asymptotického vývoje lze rozšířit na odrůdy s dostatečně pravidelnými okraji. Operátorovi Laplace-Beltrami musí být poté poskytnuty vhodné okrajové podmínky.

Spektrum a geometrie

Vývoj stopy tepelného jádra souvisí s vývojem funkce počítání vlastních čísel (nebo s jejím derivátem, spektrální hustotou).

Související články

Bibliografie

Referenční knihy

Marcel Berger, Paul Gauduchon a Edmond Mazet; Spektrum Riemanianova potrubí , Lecture Notes in Mathematics 194 , Springer-Verlag (1971).
Isaac Chavel; Vlastní čísla v Riemannian Geometry , Pure and Applied Mathematics 115 , Academic Press ( 2 e- edice 1984) ( ISBN 0121706400 ) .

Některé články

S Minakshisundaram & A Pleijel; Některé vlastnosti vlastních funkcí Laplaceova operátoru na Riemannově potrubí , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242-256.
HP McKean & IM Singer; Zakřivení a vlastní hodnoty Laplacian , Journal of Differential Geometry 1 (1) (1967), 43-69.
Peter B. Gilkey; Spektrální geometrie Riemannova potrubí , Journal of Differential Geometry 10 (4) (1975), 601-618.
Yves Colin de Verdière; Asymptotické vlastnosti tepelné rovnice na kompaktním potrubí, podle P. Gilkeyho , Bourbakiho seminář (Listopadu 1973).
Yves Colin de Verdière; Laplaciánské spektrum a délky periodické geodetiky (I) , Compositio Mathematica 27 (1) (1973), s. 83-106 . Numdam .
Yves Colin de Verdière; Laplaciánské spektrum a délky periodické geodetiky (II) , Compositio Mathematica , 27 (2) (1973), s. 159-184 . Numdam .
Maria Teresa Arede; Geometrie tepelného jádra na varietách , postgraduální práce, University of Marseille (1983).
Teresa Arede; Rozdělovače, pro které je tepelné jádro dáno geodetickými délkami , Letters in Mathematical Physics 9 (2) (1985), 121-131.
Peter B Gilkey; Asymptotika tepelné rovnice , Proc. Pěkný. Čistá a aplikovaná matematika. V54 (1993), 317-336.
Klaus Kirsten; Spektrální funkce v matematice a fyzice , Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2002), ( ISBN 1-58488-259-X ) .
Peter B. Gilkey; Asymptotické vzorce ve spektrální geometrii , Studies in Advanced Mathematics, sv. 43, Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2004), ( ISBN 1-58488-358-8 )

Virtuální knihovna

Claude Bardos a Olivier Laffite; Syntéza starých a nedávných výsledků asymptotického chování Laplaciánových vlastních čísel na Riemannově varietě (1998). PostScript .
M. van den Berg, S. Desjardins a PB Gilkey; Asymptotika tepelného obsahu Riemannovských variet , in: Diferenciální geometrie a její aplikace , O. Kowalski & D. Krupka (eds), sborník z 5. mezinárodní konference 1992 o diferenciální geometrii a jejích aplikacích na Slezské univerzitě (1993), ( ISBN 80-901581 -0-2 ) , str. 61-64 . PostScript .
DV Vassilevich; Rozšíření tepelného jádra: uživatelská příručka , Physics Report 388 (2003), 279-360. ArXiv: hep-th / 0306138 .
Arlo Caine; Tepelné jádro na Riemannově potrubí , pdf .
Daniel Grieser; Poznámky k tepelnému jádru na rozdělovačích potrubích s ohraničením , pdf .

Poznámky

Ve statistické fyzice je to kanonická dělicí funkce Z (t) systému pro „inverzní teplotu“ t .
Subbaramiah Minakshisundaram & Åke Pleijel; Některé vlastnosti vlastních funkcí Laplaceova operátoru na Riemannově potrubí , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242-256.