Mellinova transformace

V matematiky je Mellin převádí je integrální transformace , které mohou být považovány jako multiplikativní (en) verze na bilaterální Laplaceovy transformace . Tato integrální transformace silně souvisí s teorií Dirichletovy řady a často se používá v teorii čísel a v teorii asymptotické expanze ; to také silně souvisí s Laplaceovou transformací , s Fourierovou transformací , s teorií gama funkce a se speciálními funkcemi .

Mellinova transformace byla pojmenována na počest finského matematika Hjalmara Mellina .

Definice

Mellin převádí z funkce $f$ je definována a po částech spojitá na je funkce označená nebo a vymezeny zobecněného : ${\ displaystyle \ left] 0, + \ infty \ right [}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} \ vlevo \ {f (x) \ vpravo \}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, \ mathrm {d} x}

Dostatečná podmínka pro existenci transformace je dána následujícím výsledkem:

Věta - Předpokládáme, že:

$f$ je spojité zapnuto ; ${\ displaystyle \ left] 0, + \ infty \ right [}$
pro skutečné číslo, když ; ${\ displaystyle \ alpha, \ qquad f (x) = O (x ^ {- \ alpha})}$ ${\ displaystyle x \ až 0}$
${\ displaystyle \ forall \ beta \ in \ mathbb {R} _ {+} \, f (x) = O (x ^ {- \ beta})}$ když ( $f se blíží$ 0 rychleji než jakákoli (záporná) síla $x,$ když ). ${\ displaystyle x \ až + \ infty}$ ${\ displaystyle x \ až + \ infty}$

Potom zobecněný integrál absolutně konverguje pro $Re ($ $s$ $)> α$ a definuje holomorfní funkci na polorovině $Re ($ $s$ $)> α$ . ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, \ mathrm {d} x}$

Obecněji, pokud

$f$ je spojité zapnuto ; ${\ displaystyle \ left] 0, + \ infty \ right [}$
pro reálná čísla α <β ,
- ${\ displaystyle f (x) = O (x ^ {- \ alpha})}$ kdy a ${\ displaystyle x \ až 0}$
- ${\ displaystyle f (x) = O (x ^ {- \ beta})}$ když , ${\ displaystyle x \ až + \ infty}$

potom zobecněný integrál absolutně konverguje pro $α <Re ($ $s$ $) <β$ a definuje holomorfní funkci v pásmu $α <Re ($ $s$ $) <β$ . ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} f (x) \, \ mathrm {d} x}$

Příklady

Transformace z Diracovu distribuci , s > 0, je exponenciální funkce . ${\ displaystyle \ delta (xa)}$ ${\ displaystyle s \ mapsto a ^ {s-1}}$
Mellinova transformace funkce s $a$ $> 0$ je funkce na polorovině $Re ($ $s$ $)> 0$ (kde $H$ je funkce Heaviside , $f$ $($ $x$ $) = 1,$ pokud $0 <$ $x$ $<$ $a$ a $f$ $($ $x$ $) = 0,$ pokud $x$ $>$ $a$ ). ${\ displaystyle f \ ,: \, x \ mapsto \ mathrm {H} (sekera)}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {a ^ {s}} {s}}}$
Mellinova transformace funkce s $a$ $> 0$ je funkcí na polorovině $Re ($ $s$ $)> 0$ ( je Eulerova gama funkce ). ${\ displaystyle x \ mapsto \ mathrm {e} ^ {- sekera}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ gama (y)} {a ^ {s}}}}$
$\ Gama$
Mellinova transformace funkce je funkce na polorovině $Re ($ $s$ $)> 0$ . ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ Gamma (s / 2)} {2}}}$
Mellinova transformace funkce je funkce v pásmu $-1 <Re ($ $s$ $) <1$ (zobecněný integrál je semi-konvergentní, pokud $Re ($ $s$ $) \geq 0$ ). $\ hřích$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ Gamma (y)} \ sin \ vlevo ({\ frac {\ pi s} {2}} \ vpravo)}$
Mellinova transformace funkce je funkce v pásmu $0 <Re ($ $s$ $) <1$ (zobecněný integrál je semi-konvergentní). $\ cos$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ Gamma (s)} \ cos \ vlevo ({\ frac {\ pi s} {2}} \ vpravo)}$
Mellinova transformace funkce je funkce v pásmu $0 <Re ($ $s$ $) <1$ . ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {1 + x}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi s)}}}$
Obecněji řečeno , Mellinova transformace funkce je funkce v pásmu $0 <Re ($ $s$ $) <Re ($ $a$ $)$ ( je funkce beta ). ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {(1 + x) ^ {a}}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto \ mathrm {B} (s, as)}$
${\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ gama (x) \, \ gama (y)} {\ gama (x + y)}}}$
Mellinova transformace funkce je funkce v pásmu $0 <Re ($ $s$ $) <2$ . ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ pi / 2} {\ sin (\ pi s / 2)}}}$
Mellinova transformace funkce je funkce v pásmu $-1 <Re ($ $s$ $) <0$ . ${\ displaystyle x \ mapsto \ ln (1 + x)}$ ${\ displaystyle s \ mapsto {\ frac {\ pi} {s \ sin (\ pi s)}}}$
Mellinova transformace funkce je funkce na polorovině $Re ($ $s$ $)> 1$ ( je Riemannova zeta funkce ). ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {x} -1}}}$ ${\ displaystyle s \ mapsto \ gama (s) \ zeta (s)}$
$\ zeta$

Inverzní Mellinova transformace

Zpětná transformace je

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} ^ {- 1} \ left \ {\ varphi \ right \} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ { c- \ mathrm {i} \ infty} ^ {c + \ mathrm {i} \ infty} x ^ {- s} \ varphi (s) \, \ mathrm {d} s}

Zápis předpokládá, že se jedná o křivočarý integrál aplikovaný na svislou čáru v komplexní rovině.

Věta - Předpokládáme, že:

$f$ je spojité zapnuto ; ${\ displaystyle \ left] 0, + \ infty \ right [}$
pro skutečné číslo, když ; ${\ displaystyle \ alpha, \ qquad f (x) = O (x ^ {- \ alpha})}$ ${\ displaystyle x \ až 0}$
${\ displaystyle \ forall \ beta \ in \ mathbb {R} _ {+} \, f (x) = O (x ^ {- \ beta})}$ když ( $f se blíží$ 0 rychleji než jakákoli (záporná) síla $x,$ když ). ${\ displaystyle x \ až + \ infty}$ ${\ displaystyle x \ až + \ infty}$

Máme Mellinův inverzní vzorec platný pro všechny a všechny $x$ $> 0$ : ${\ displaystyle c> \ alpha}$

{\ displaystyle f (x) = {\ mathcal {M}} ^ {- 1} \ left \ {{\ mathcal {M}} _ {f} \ right \} (x) = {\ frac {1} { 2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {c- \ mathrm {i} \ infty} ^ {c + \ mathrm {i} \ infty} x ^ {- s} {\ mathcal {M}} _ {f} (s) \, \ mathrm {d} s}

Vztahy s jinými transformacemi

S oboustrannou Laplaceovou transformací

Dvoustranná Laplaceova transformace ( ) mohou být definovány, pokud jde o Mellin přetvářejí ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ {f \} (s) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e} ^ {- st} f (t) \, \ mathrm {d} t}$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ vlevo \ {f \ doprava \} (s) = {\ mathcal {M}} \ vlevo \ {f (- \ ln x) \ vpravo \} (s)}

Naopak můžeme Mellinovu transformaci získat z bilaterální Laplaceovy transformace pomocí

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (s) = {\ mathcal {B}} \ levý \ {f (\ mathrm {e} ^ {- x}) \ pravý \} (s)}

Na Mellinovu transformaci lze pohlížet jako na integraci pomocí jádra $x s,$ které respektuje multiplikativní Haarovu míru, která je při dilataci neměnná , tzn . ${\ frac {{\ mathrm d} x} x}$ ${\ displaystyle x \ mapsto sekera}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (sekera)} {ax}} = {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}}}$

Bilaterální Laplaceova transformace se integruje při respektování aditivní Haarovy míry , která je tedy translační invariantní . $\ mathrm {d} x$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} (x + a) = \ mathrm {d} x}$

S Fourierovou transformací

Můžeme také definovat Fourierovu transformaci z hlediska Mellinovy transformace a naopak; pokud definujeme Fourierovu transformaci, jak je uvedeno výše, pak

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} f (s) = {\ mathcal {B}} f (\ mathrm {i} s) = {\ mathcal {M}} \ vlevo \ {f (- \ ln x) \ right \} (\ mathrm {i} s)}

Můžeme také obrátit proces a získat

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (s) = {\ mathcal {B}} \ vlevo \ {f (\ mathrm {e} ^ {- x}) \ vpravo \} (s) = {\ mathcal {F}} \ vlevo \ {f (\ mathrm {e} ^ {- x}) \ vpravo \} (- \ mathrm {i} s)}

Transformace Mellin se také týká série Newton nebo binomické transformací s funkcí generátoru na práva Poissonova , a to prostřednictvím na Poisson-Mellin-Newton cyklu .

Dokončete Cahen-Mellin

U , a na hlavní větvi , musíme $c> 0$ ${\ displaystyle \ Re (y)> 0}$ ${\ displaystyle y ^ {- s}}$

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- y} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {c- \ mathrm {i} \ infty} ^ {c + \ mathrm {i} \ infty} \ Gamma (y) y ^ {- s} \; \ mathrm {d} s}

Tento integrál je znám jako Cahen -Mellinův integrál .

Aplikace

Perron vzorec popisuje inverzní Mellin převádí aplikovaný na sérii Dirichlet .
Mellinova transformace se používá v některých důkazech funkce počítání prvočísel a objevuje se v diskusích o Riemannově zeta funkci .
Inverzní Mellinova transformace se běžně objevuje v Rieszově průměru .
Mellinovy transformace se často používají pro analytický výpočet různých součtů mřížek, které jsou vyjádřeny jako různé speciální funkce, jako jsou Jacobiho theta funkce nebo Riemannova zeta funkce .

Poznámky a odkazy

(en) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Mellinova transformace “ ( viz seznam autorů ) .

(en) Henri Cohen , teorie čísel , sv. II: Analytické a moderní nástroje , Springer, kol. " GTM " ( n o 240)2007( číst online ) , s. 107.
Cohena 2007 , str. 150.
Cohen 2007 , s. 145.
(in) GH Hardy a JE Littlewood , „ Příspěvky k teorii funkce Riemanna Zeta a teorie distribuce bonusů “, Acta , sv. 41, 1916, str. 119-196 (viz poznámky v tomto článku pro více odkazů na práci Cahena a Mellina, včetně Cahenovy práce).
(in) ML Glasser, „ Posouzení mřížkových součtů. I. Analytické postupy “ , J. Math. Phys. , sv. 14, N O 3,1973, str. 409-413.

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

(en) RB Paris a D. Kaminsky, Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press ,2001( číst online )
(en) AD Polyanin (en) a AV Manzhirov, Handbook of Integral Equations , CRC Press ,2008, 2 nd ed. ( 1 st ed. , 1998) ( ISBN 978-0-2038-8105-7 , číst on-line )

externí odkazy

(en) „ Tabulky integrálních transformací “ , na EqWorld: Svět matematických rovnic
(en) Eric W. Weisstein , „ Mellin Transform “ , na MathWorld