Asymptotický vývoj
V matematice je asymptotická expanze dané funkce f v pevném sousedství konečný součet referenčních funkcí, který poskytuje dobrou aproximaci chování funkce f v uvažovaném sousedství. Pojem asymptotické rozvoje byl představen Poincaré v souvislosti se studiem problému N-tělo z nebeské mechaniky od teorie perturbace .
Jelikož je součet konečný, otázka konvergence nevzniká. Někdy mluvíme zneužíváním jazyka „asymptotické řady“ pro součet obsahující nekonečno pojmů. Tento nekonečný součet je nejčastěji formální , protože řada se obecně liší .
Asymptotická analýza: ekvivalentní chování
Úvod
Asymptotické analýza je metoda analýzy , která klasifikuje chování funkcí v dané části, zaměřených na určité „charakteristické tendence.“ Obecně se vyjadřuje pomocí vztahu ekvivalence . Řekněme například dvě komplexní funkce f a g reálné proměnné, jejíž chování chceme studovat v sousedství bodu x 0 . Napíšeme:
F ∼X0 G{\ displaystyle f \ \ {\ podnastaveno {\ nadměrně {x_ {0}} {}} {\ sim}} \ \ g}
přeložit skutečnost, že:
limX0FG=1{\ displaystyle \ lim _ {x_ {0}} {\ frac {f} {g}} = 1}.
To definuje vztah ekvivalence mezi funkcemi a třída ekvivalence funkce f se skládá ze všech funkcí, které mají „podobné chování“ jako f v sousedství x 0 . Jsme tak vedeni k definování sady „jednoduchých“ funkcí, které budou sloužit jako reference pro stanovení srovnání. Nejprve si všimněte, že se vždy můžeme dostat ke studiu sousedství + ∞ . Studium chování f v sousedství x 0 je ve skutečnosti ekvivalentní studiu chování:
F(X)=F(X0+1X)aG(X)=F(X0-1X){\ displaystyle F (x) = f \ left (x_ {0} + {\ frac {1} {x}} \ right) \ quad {\ text {et}} \ quad G (x) = f \ left ( x_ {0} - {\ frac {1} {x}} \ vpravo)}
v sousedství + ∞ . Můžeme se tedy omezit na množinu srovnávacích funkcí v sousedství + ∞ .
Porovnávací funkce
Definice
Považujeme za známé v sousedství + ∞ funkce jednoho z následujících typů:
- konstantní funkce 1;
-
Xα{\ displaystyle x ^ {\ alpha}}, kde ;α∈R∗{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} ^ {*}}
-
(lnX)β{\ displaystyle (\ ln x) ^ {\ beta}}kde ;β∈R{\ displaystyle \ beta \ in \ mathbb {R}}
-
exp(vs.Xy){\ displaystyle \ exp (c \, x ^ {\ gamma})}, kde ;vs.∈R∗,y∈R+∗{\ displaystyle c \ in \ mathbb {R} ^ {*}, \ gamma \ in \ mathbb {R} ^ {+ *}}
stejně jako jejich produkty, to znamená jakoukoli funkci formuláře:
F(X) = Xα (lnX)β exp[P(X)]{\ displaystyle f (x) \ = \ x ^ {\ alpha} \ (\ ln x) ^ {\ beta} \ \ exp [P (x)]}
kde P ( x ) má tvar:
P(X) = ∑i=1ne vs.i Xyi(y1>y2>⋯>yne>0){\ displaystyle P (x) \ = \ \ součet _ {i = 1} ^ {n} \ c_ {i} \ x ^ {\ gamma _ {i}} \ qquad (\ gamma _ {1}> \ gamma _ {2}> \ tečky> \ gamma _ {n}> 0)}
Vlastnosti
Označíme-li E množinu těchto srovnávacích funkcí, máme následující vlastnosti:
- Jakákoli funkce E je kladná v sousedství + ∞ ;
- Kromě konstantní funkce 1 má jakákoli funkce E tendenci buď k nule, nebo k + ∞, když x má sklon k + ∞ ;
- Každý součin funkcí E patří E ;
- Pokud f patří E , pak f λ patří E pro všechna reálná λ ;
Poslední dvě vlastnosti zejména ukazují, že kvocient dvou funkcí E patří E .
Pokud je g funkcí E , uvažujeme také o známé jakékoli komplexní funkci f tvaru f = cg, kde c je komplexní číslo.
Hlavní část funkce
Nechť f je funkce, jejíž chování má být analyzováno v sousedství + ∞ . Pokud se nám podaří najít funkce g 1 o E tak, že f / g 1 má nenulový konečný mez c 1 , můžeme říci, že c 1 g 1 je hlavní část z f vzhledem k E , a my jsme psát:
F ∼∞ vs.1 G1ÓuF = vs.1 G1 + Ó(G1){\ displaystyle f \ {\ underset {\ overset {\ infty} {}} {\ sim}} \ c_ {1} \ g_ {1} \ qquad \ mathrm {or} \ qquad f \ = \ c_ {1} \ g_ {1} \ + \ o (g_ {1})}
pomocí Landauových notací . Zejména jakákoli funkce E se rovná její vlastní hlavní části.
Popis
Definice
Předpokládejme, že funkce f má pro svou hlavní část c 1 g 1 . Můžeme se pak pokusit lépe specifikovat chování f zjišťováním, zda rozdíl f - c 1 g 1 nemá zase hlavní část c 2 g 2 . Pokud ano, napíšeme:
F ∼∞ vs.1 G1 + vs.2 G2⟺F = vs.1 G1 + vs.2 G2 + Ó(G2){\ displaystyle f \ {\ underset {\ overset {\ infty} {}} {\ sim}} \ c_ {1} \ g_ {1} \ + \ c_ {2} \ g_ {2} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad f \ = \ c_ {1} \ g_ {1} \ + \ c_ {2} \ g_ {2} \ + \ o (g_ {2})}
Někdy můžeme tímto způsobem pokračovat ve vývoji. Takzvaná asymptotická expanze na n slov (nebo řádu n ) funkce f vzhledem k E výrazu:
F ∼∞ ∑i=1ne vs.i Gi⟺F = ∑i=1ne vs.i Gi + Ó(Gne){\ displaystyle f \ {\ underset {\ overset {\ infty} {}} {\ sim}} \ \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ c_ {i} \ g_ {i} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad f \ = \ \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ c_ {i} \ g_ {i} \ + \ o (g_ {n})}
Pokud takový vývoj existuje, je jedinečný. Termín o ( g n ) se nazývá zbytek expanze.
Příklady
F(X) = F(X0) + F′(X0)1! (X-X0) + ⋯ + F(ne)(X0)ne! (X-X0)ne + Ó((X-X0)ne){\ displaystyle f (x) \ = \ f (x_ {0}) \ + \ {\ frac {f '(x_ {0})} {1!}} \ (x-x_ {0}) \ + \ \ cdots \ + \ {\ frac {f ^ {(n)} (x_ {0})} {n!}} \ (x-x_ {0}) ^ {n} \ + \ o ((x-x_ {0}) ^ {n})}
- Ale funkce může velmi dobře mít asymptotickou expanzi v sousedství, kde není Taylorová expanze (nebo dokonce omezená expanze); například funkce f ( x ) níže připouští následující asymptotickou expanzi v okolí nuly:
F(X) = X ln|X|1+expX = X ln|X|2 - X2 ln|X|4 + Ó(X2ln|X|){\ displaystyle f (x) \ = \ {\ frac {x \ \ ln | x |} {1+ \ exp x}} \ = \ {\ frac {x \ \ ln | x |} {2}} \ - \ {\ frac {x ^ {2} \ \ ln | x |} {4}} \ + \ o (x ^ {2} \ ln | x |)}
vzhledem k tomu, že nepřipouští omezenou expanzi (na objednávku větší nebo rovnou 1) v nule.
- Velmi zvláštním případem je existence asymptotické expanze s libovolně velkým počtem termínů. Například funkce f ( x ) níže má asymptotickou expanzi v sousedství nekonečna pouze v jednom členu:
F(X) = X2 + X hříchX = X2 + Ó(X2){\ displaystyle f (x) \ = \ x ^ {2} \ + \ x \ \ sin x \ = \ x ^ {2} \ + \ o (x ^ {2})}
- Někdy je dokonce získání prvního období vývoje velmi obtížné. Například nechť π ( x ) je počet prvočísel p menší nebo roven x . Gauss se domníval, že v sousedství nekonečna:
π(X) ∼X→∞ ∫2Xdtlnt{\ displaystyle \ pi (x) \ {\ podnastavení {\ nadměrné {x \ rightarrow \ infty} {}} {\ sim}} \ \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ ln t}}}
Trvalo století, než v roce 1896 předvedli demonstraci
Hadamard a
La Vallée-Poussin .
- Funkce gama Euler připouští následující asymptotické expanzi u nekonečna:
EXXX2πX Γ(X+1) =X→∞ 1 + 112X + 1288X2 - 13951840X3 - ⋯{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x}} {x ^ {x} \, {\ sqrt {2 \ pi x}}}}} \ \ Gamma (x + 1) \ {\ podmnožina { \ overset {x \ rightarrow \ infty} {}} {=}} \ 1 \ + \ {\ frac {1} {12 \, x}} \ + \ {\ frac {1} {288 \, x ^ { 2}}} \ - \ {\ frac {139} {51840 \, x ^ {3}}} \ - \ \ cdots}
Asymptotická série
Úvod
U vývoje zahrnujícího nekonečno termínů se někdy mluví zneužíváním jazyka „ asymptotické série “. Tento nekonečný součet je nejčastěji formální, protože řada se obecně liší .
Například pro hladkou funkci f v sousedství bodu x 0 můžeme posunout naši Taylorovu expanzi tak daleko, jak chceme. My pak může představovat problém konvergence z Taylorovy řady získané, a vztahu mezi její součet a výchozí funkce f . Tento problém nesouvisí s asymptotickým chováním funkce f v sousedství x 0 .
Příklad
Nechť je funkce f ( x ) definována konvergentní řadou pro | x | <1 :
F(X) = ∑ne=0∞ Xne = 11-X{\ displaystyle f (x) \ = \ \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} \ x ^ {n} \ = \ {\ frac {1} {1-x}}}
Poslední výraz f umožňuje rozšířit jeho definici na celou komplexní rovinu zbavenou x = 1 , zejména tam, kde je původní řada divergentní. Potom se vynásobíme e - x / t a integrujeme; formálně získáváme:
∫0∞ E-X/t1-XdX = ∑ne=0∞ tne+1 ∫0∞ E-u une du = ∑ne=0∞ tne+1 Γ(ne+1){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ {\ frac {\ mathrm {e} ^ {- x / t}} {1-x}} \ mathrm {d} x \ = \ \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} \ t ^ {n + 1} \ \ int _ {0} ^ {\ infty} \ \ mathrm {e} ^ {- u} \ u ^ {n} \ du \ = \ \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ t ^ {n + 1} \ \ Gamma (n + 1)}
kde Γ ( z ) je Eulerova gama funkce. Integrál na levé straně je vyjádřen jako funkce exponenciálního integrálu Ei ( x ) a poté získáme asymptotickou expanzi této funkce v okolí t = 0 :
E-1/t Ei(1t) ∼t→0 ∑ne=0∞ ne! tne+1{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- 1 / t} \ \ operatorname {Ei} \ left ({\ frac {1} {t}} \ right) \ {\ underset {\ overset {t \ rightarrow 0} {}} {\ sim}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ n! \ t ^ {n + 1}}
Pro nenulovou hodnotu t se pravá strana nesbližuje. Na druhou stranu pro „malé“ nenulové t získáme zkrácením součtu na konečný počet členů dobrou reprezentaci funkce Ei (1 / t ) . Změna proměnné x = 1 / ta funkčního vztahu: Ei ( x ) = - E 1 (- x ) vede k asymptotickému vývoji:
X EX E1(X) ∼X→∞ ∑ne=0∞ (-1)nene!Xne{\ displaystyle x \ \ mathrm {e} ^ {x} \ E_ {1} (x) \ {\ podmnožina {\ přesahující {x \ rightarrow \ infty} {}} {\ sim}} \ \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} \ {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {X ^ {n}}}}
Poznámky a odkazy
-
Obecněji nazýváme srovnávací stupnicí jakoukoli sadu funkcí se stejnými vlastnostmi; může být nezbytné zejména pro použití stupnice jemnější (to znamená, že obsahuje více funkcí), jak je zde definováno, například, také obsahují funkce , atd.X↦ln(lnX){\ Displaystyle x \ mapsto \ ln (\ ln x)}X↦exp(expX){\ Displaystyle x \ mapsto \ exp (\ exp x)}
-
Tato aproximace je ve skutečnosti přesnější než ta, která odpovídá definici uvedené dříve :; stále neznáme pořadí velikosti chyby této aproximace, která je spojena s Riemannovou hypotézouπ(X) ∼X→∞X/lnX{\ displaystyle \ pi (x) \ {\ podskupina {\ nadměrné {x \ rightarrow \ infty} {}} {\ sim}} x / \ ln x}
Dodatky
Související články
Bibliografie
-
Jean Dieudonné , kalkul nekonečně , Hermann , 2 nd edition, 1980 ( ISBN 978-2705659073 )
-
(en) RB Dingle, Asymptotic Expansions: their derivation and interpreter , Academic Press , 1973, ( ISBN 978-0122165504 )
-
(en) Arthur Erdélyi (en) , Asymptotic Expansions , Dover Publications , 1987, ( ISBN 978-0486603186 )
-
(v), E. T. Whittaker a G. N. Watson , Kurz moderní analýza , Cambridge University Press , 4 th edition, 1963.
-
(en) RB Paris a D. Kaminsky, Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals , Cambridge University Press, 2001.
-
(en) Nicolaas Govert de Bruijn , Asymptotic Methods in Analysis , Dover Publications, 2010, ( ISBN 978-0486642215 )
-
(en) Norman Bleistein a Richard A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals , Dover Publications, 1987, ( ISBN 978-0486650821 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">