Monochromatická vlna

Monochromatické vlny , nebo harmonické vlny, je vlna , která může být popsána sinusové funkce času. Jeho spektrální hustota energie má pouze jednu frekvenci , pouze jednu vlnovou délku . Jeden také hovoří o sinusové vlně , a pokud jde o elektromagnetickou vlnu , o vlnové délce monoenergetické .

Studium sinusových vln má velký význam v různých oborech studia vln a jejich šíření z důvodu jednoduchosti matematického přístupu a proto, že jakoukoli vlnu lze harmonickou analýzou rozložit na součet sinusových vln .

Termín monochromatický pochází z oblasti optiky: v případě monochromatického elektromagnetického záření ve viditelném rozsahu mluvíme o čisté barvě . Termín harmonická pochází z oblasti akustiky  : v případě sinusové zvukové tlakové vlny mluvíme o čistém zvuku ; periodický zvuk se vyznačuje svými harmonickými . Rozšířením se tyto výrazy používají také v oblasti elektřiny a mechaniky.

V praxi neexistuje nic jako dokonale jednobarevná vlna, už jen proto, že žádný zdroj nikdy nevyzařuje trvale: vždy existuje rozptyl kolem frekvence nebo vlnové délky. Můžeme tedy přinejlepším měřit, produkovat a používat kvazi-monochromatické vlny: jejich spektra zaujímají pouze velmi úzké frekvenční pásmo ( Dic. Phys. ).

Analytické modelování

Sinusové vibrace

Harmonická vibrace je změna fyzické veličiny kolem průměrné hodnoty po sinusové funkci času. Tato představa je zvláště vhodná pro studium mechanických oscilátorů (pro které nedochází k šíření) a elektrických obvodů (pro které je šíření považováno za okamžité s přihlédnutím k rozměrům obvodu a zapojeným frekvencím). Můžeme psát : ψ{\ displaystyle \ psi}

ψ(t)=NA⋅cos⁡(ωt+ϕ){\ displaystyle \ psi (t) = A \ cdot \ cos (\ omega t + \ phi)}.

• NA{\ displaystyle A}je amplituda a odpovídá maximální hodnotě ,ψ{\ displaystyle \ psi}
• ω{\ displaystyle \ omega}je pulzace v radiánech za sekundu ( rad s -1 ),
• ϕ{\ displaystyle \ phi}je fázové zpoždění v radiánech .

Pulz souvisí s frekvencí nebo časovým úsekem podle . F{\ displaystyle f}T{\ displaystyle T}ω=2πF=2πT{\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f = {\ frac {2 \ pi} {T}}}

Složitá reprezentace, známá také jako analytická reprezentace, může často zjednodušit výpočty. Podle použitých konvencí si povšimneme:

• buď ,ψ_(t)=NA⋅Ej(ωt+ϕ)=NA⋅Ejϕ⋅Ejωt{\ displaystyle {\ underline {\ psi}} (t) = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j (\ omega t + \ phi)} = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ omega t}}
• buď .ψ_(t)=NA⋅E-j(ωt+ϕ)=NA⋅E-jϕ⋅E-jωt{\ displaystyle {\ underline {\ psi}} (t) = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j (\ omega t + \ phi)} = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j \ phi} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j \ omega t}}

Ve všech případech: . ψ(t)=RE(ψ_(t)){\ displaystyle \ psi (t) = \ mathrm {Re} ({\ podtržení {\ psi}} (t))}

Putovní sinusová vlna

V případě progresivní sinusové vlny se vibrace šíří rychlostí , můžeme napsat: vs.{\ displaystyle c}

ψ(r→,t)=NA(r→)⋅cos⁡(ωt-k→⋅r→+φ){\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}, t) = A ({\ vec {r}}) \ cdot \ cos (\ omega t - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r }} + \ varphi)}.

• r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} je polohový vektor studovaného bodu.
• Amplituda závisí na poloze v důsledku útlumu, směrovosti zdroje atd.NA(r→){\ displaystyle A ({\ vec {r}})}
• φ{\ displaystyle \ varphi}je fáze v počátku (pro a nula).t{\ displaystyle t}X{\ displaystyle x}
• Vektor je vlnový vektor . Jeho norma se nazývá číslo vlny a je vyjádřena v rad m −1  ; to souvisí s vlnovou délkou (prostorovou periodou) o .k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}k{\ displaystyle k}k=‖k→‖=2πλ{\ displaystyle k = \ | {\ vec {k}} \ | = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

Rychlost (rychlost šíření) vlny umožňuje vzájemné propojení časových a prostorových veličin:

vs.=λT=ωk{\ displaystyle c = {\ frac {\ lambda} {T}} = {\ frac {\ omega} {k}}}.

Sinusová stojatá vlna

Harmonická stojatá vlna je důsledkem interference nejméně dvou harmonických cestujících vln. Je to zvláštní harmonická vibrace. Tento typ jevu je studován zejména v mechanice, akustice nebo v oblasti převodů.

Nejjednodušší příklad dvou rovinných vln šířících se v opačném směru:

ψ1(X,t)=NAcos⁡(ωt-kX){\ displaystyle \ psi _ {1} (x, t) = A \ cos (\ omega t-kx)}

ψ2(X,t)=NAcos⁡(ωt+kX){\ displaystyle \ psi _ {2} (x, t) = A \ cos (\ omega t + kx)}

ψ(X,t)=ψ1(X,t)+ψ2(X,t)=2NA⋅cos⁡(ωt)⋅cos⁡(kX){\ displaystyle \ psi (x, t) = \ psi _ {1} (x, t) + \ psi _ {2} (x, t) = 2A \ cdot \ cos {(\ omega t)} \ cdot \ cos (kx)}

Fyzická veličina vibruje sinusově v každém bodě pulzace . Jeho amplituda závisí na jeho poloze: vytvářejí se uzly a břicha. ω{\ displaystyle \ omega}

Kvazi-sinusové vibrace

Můžeme považovat vibraci nebo vlnu za kvazi-sinusovou, pokud její výkonová spektrální hustota zaujímá velmi úzké pásmo frekvencí.

Příklad zkráceného sinusového signálu:

{ψ_(t)=NA⋅Ejϕ0⋅Ej.2π.F0.t -li t∈[0;τ]ψ_(t)=0 Pokud ne{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ underline {\ psi}} (t) = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. 2 \ pi .f_ {0} .t} \ {\ text {si}} \ t \ in \ left [0; \ tau \ right] \\ {\ underline {\ psi}} (t) = 0 \ { \ text {jinak}} \ end {případy}}}

Musíme určit jeho Fourierovu transformaci:

ψ^_(F)=∫-∞+∞ψ_(t)⋅E-j.2π.F.t⋅dt{\ displaystyle {\ podtržení {\ hat {\ psi}}} (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ podtržení {\ psi}} (t) \ cdot \ mathrm {e } ^ {- j.2 \ pi .ft} \ cdot \ mathrm {d} t},

znát jeho spektrální hustotu energie:

|ψ^_(F)|2=τ2⋅NA2⋅(hřích⁡(π.(F-F0).τ)π.(F-F0).τ)2{\ displaystyle \ left | {\ underline {\ hat {\ psi}}} (f) \ right | ^ {2} = \ tau ^ {2} \ cdot A ^ {2} \ cdot \ left ({\ frac {\ sin (\ pi. (f-f_ {0}). \ tau)} {\ pi. (f-f_ {0}). \ tau}} \ vpravo) ^ {2}}

Vibraci můžeme považovat za kvazi monochromatickou, pokud to znamená periodu sinusového signálu, pokud1τ≪F0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau}} \ ll f_ {0}}T0{\ displaystyle T_ {0}}τ≫T0{\ displaystyle \ tau \ gg T_ {0}}

Demonstrace

ψ^_(F)=∫-∞+∞ψ_(t)⋅E-j.2π.F.t⋅dt =NA⋅Ejϕ0⋅∫0τEj.2π.F0.t⋅E-j.2π.F.t⋅dt =NA⋅Ejϕ0⋅∫0τEj.2π.(F0-F).t⋅dt =NA⋅Ejϕ0⋅[Ej.2π.(F0-F).tj.2π.(F0-F)]0τ =NA⋅Ejϕ0⋅Ej.2π.(F0-F).τ-1j.2π.(F0-F) =NA⋅Ejϕ0⋅Ej.π.(F0-F).τ⋅Ej.π.(F0-F).τ-E-j.π.(F0-F).τj.2π.(F0-F) =NA⋅Ejϕ0⋅Ej.π.(F0-F).τ⋅2.j.hřích⁡(π.(F0-F).τ)j.2π.(F0-F) =τ⋅NA⋅Ejϕ0⋅Ej.π.(F0-F).τ⋅hřích⁡(π.(F0-F).τ)π.(F0-F).τ =τ⋅NA⋅hřích⁡(π.(F-F0).τ)π.(F-F0).τ⋅Ej.(π.(F0-F).τ+ϕ0){\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ underline {\ hat {\ psi}}} (f) & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ underline {\ psi}} (t ) \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j.2 \ pi .ft} \ cdot \ mathrm {d} t \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ int _ {0} ^ {\ tau} \ mathrm {e} ^ {j.2 \ pi .f_ {0} .t} \ cdot \ mathrm {e} ^ {- j.2 \ pi .ft } \ cdot \ mathrm {d} t \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ int _ {0} ^ {\ tau} \ mathrm {e} ^ {j.2 \ pi. (f_ {0} -f) .t} \ cdot \ mathrm {d} t \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ left [{\ frac {\ mathrm {e} ^ {j.2 \ pi. (f_ {0} -f) .t}} {j.2 \ pi. (f_ {0} -f)} } \ right] _ {0} ^ {\ tau} \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {e} ^ {j .2 \ pi. (F_ {0} -f). \ Tau} -1} {j.2 \ pi. (F_ {0} -f)}} \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. \ pi. (f_ {0} -f). \ tau} \ cdot {\ frac {\ mathrm {e} ^ {j . \ pi. (f_ {0} -f). \ tau} - \ mathrm {e} ^ {- j. \ pi. (f_ {0} -f). \ tau}} {j.2 \ pi. (f_ {0} -f)}} \\\ & = A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. \ pi. (f_ { 0} -f). \ Tau} \ cdot {\ frac {2.j. \ sin (\ pi. (F_ {0} -f). \ Tau)} {j.2 \ pi. (F_ {0} -F )}} \\\ & = \ tau \ cdot A \ cdot \ mathrm {e} ^ {j \ phi _ {0}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. \ pi. (f_ {0} - f). \ tau} \ cdot {\ frac {\ sin (\ pi. (f_ {0} -f). \ tau)} {\ pi. (f_ {0} -f). \ tau}} \\ \ & = \ tau \ cdot A \ cdot {\ frac {\ sin (\ pi. (f-f_ {0}). \ tau)} {\ pi. (f-f_ {0}). \ tau}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {j. \ left (\ pi. \ left (f_ {0} -f \ right). \ tau + \ phi _ {0} \ right)} \ end {zarovnáno}}}

|ψ^_(F)|=τ⋅NA⋅(hřích⁡(π.(F-F0).τ)π.(F-F0).τ){\ displaystyle \ left | {\ underline {\ hat {\ psi}}} (f) \ right | = \ tau \ cdot A \ cdot \ left ({\ frac {\ sin (\ pi. (f-f_ { 0}). \ Tau)} {\ pi. (F-f_ {0}). \ Tau}} \ vpravo)}

narG(ψ^_(F))=π.(F0-F).τ+ϕ0{\ displaystyle \ mathrm {arg} \ left ({\ underline {\ hat {\ psi}}} (f) \ right) = \ pi. \ left (f_ {0} -f \ right). \ tau + \ phi _ {0}}

Oblasti použití

Optický

Optika se zabývá šířením elektromagnetických vln . V této souvislosti monochromatická vlna označuje elektromagnetickou vlnu, jejíž elektrické pole a magnetické pole se mění podle sinusové funkce času. Tento název lze stejně dobře použít pro záření viditelné domény i neviditelných domén, zejména infračervených a ultrafialových .

V oblasti fotometrie a kolorimetrie , která je omezena na viditelnou část elektromagnetického spektra, je čistá nebo spektrální barva senzace vytvářená na lidském vizuálním systému monochromatickou elektromagnetickou vlnou viditelné domény. Vnímané barvy jsou ty, které lze pozorovat během rozptylu světla hranolem nebo difrakční mřížkou v temné místnosti , to znamená barvy duhy. Pro experimentální získání kvazi-monochromatických vln se obvykle používá monochromátor .

Viditelné spektrum a označení odstínů

Vnímaná barva		Vlnová délka ve vakuu ( nm ) λ{\ displaystyle \ lambda}	Frekvence ( THz ) F{\ displaystyle f}
infračervený		> 780	<385
Červené		622 - 780	482 - 385
Oranžová červená		605 - 622	482 - 496
oranžová červená		593 - 605	496 - 506
oranžový		588 - 593	506 - 510
oranžově žlutá		584 - 588	510 - 514
žlutá oranžová		579 - 584	514 - 518
žlutá		575 - 579	518 - 522
žluto zelená		573 - 575	522 - 524
Zelená žlutá		541 - 573	524 - 555
zelená		510 - 541	555 - 588
zeleno modrá		490 - 510	588 - 612
Modrá zelená		483 - 490	612 - 621
modrý		478 - 483	621 - 628
modro-fialová		466 - 478	628 - 644
fialovo-modrá		449 - 466	644 - 668
nachový		380 - 449	668 - 789
ultrafialový		<380	> 789

Termín jednobarevný by neměl být zaměňován s pojmem jednobarevný , což je termín, který znamená, že jedna barva a často obecněji jedno barevné pole je vnímáno na celém povrchu. Tato barva obecně neodpovídá monochromatické vlně.

Akustický

Akustické vlny jsou výsledkem kolísání akustického tlaku v důsledku zdroje. Čistý zvuk je sinusová variace akustického tlaku v oblasti slyšitelných frekvencí.

Příklad - Šíření čistého zvuku vyzařovaného všesměrovým bodovým zdrojem:

V případě sférické vlny, kterou je vzdálenost ke zdroji a efektivní akustický tlak ve vzdálenosti 1 m od zdroje, je pole akustického tlaku definováno: r{\ displaystyle r}P(1 m){\ displaystyle P (1 \ \ mathrm {m})}

p(r,t)=P(1 m).2r⋅cos⁡(ω.t-k.r+φ){\ displaystyle p (r, t) = {\ frac {P (1 \ \ mathrm {m}). {\ sqrt {2}}} {r}} \ cdot \ cos (\ omega .tk.r + \ varphi)}.

Dodatky

Bibliografie

• Eugène Hecht , Optique , Paříž, Pearson Education France,2005, 4 th  ed. , 724  s. ( ISBN  2-7440-7063-7 )
• José-Philippe Pérez , optika. Nadace a aplikace , Paříž, Dunod ,2004, 7 th  ed. [ detail vydání ] ( ISBN  2-10-048497-4 )
• Richard Taillet , Loïc Villain a Pascal Febvre , slovník fyziky , Brusel, De Boeck ,2013, str.  450 „monochromatických“

Související články

• Monochromátor
• Harmonická (hudba)
• Interferometrie
• Difrakce
• Polychromatické světlo

Poznámky a odkazy

1. Samotné elektromagnetické vlny jsou charakterizovány stejně frekvencí, vlnovou délkou nebo energií fotonu.
2. Ze starořeckého μόνος , mónos , „pouze“ a χρῶμα , khrôma , „barva“.
3. Názvy barev a limity intervalů vlnových délek jsou převzaty ze standardu AFNOR X 08-010 „Obecná metodická klasifikace barev“ (zrušen 30. srpna 2014). Názvy barevných rozsahů, které nemohou odpovídat monochromatickým vlnám (fialová čára), zde nejsou uvedeny.
4. obrazovka počítače nemůže produkovat monochromatické světlo, barevné rámečky poskytují hrubý odkaz. Kolorimetrické funkční tabulky CIE XYZ dávají trichromatickou polohu monochromatických světel. Jsou (1) převedeny do lineárních souřadnic (kladných a záporných) převodní maticí sRGB , (2) přivedeny zpět na kladné hodnoty přidáním právě dostatečného množství achromatického světla (šedá jasu stejná jako barva) , s výjimkou případu červeno-oranžové (3) vynásobené složky po složce koeficientem pro získání svítivosti úměrné indexu spektrální světelné účinnosti a (4) převedené do nelineárního kódu podle předpisů sRGB. Opravy vyžadovaly dvě barvy kvůli charakteristikám primárních sRGB. Maximální čistota červenooranžové, oblasti červené primární, je snížena v důsledku světelného stavu a dosáhne střední hodnoty mezi sousedními barvami. Čistota modrofialové byla snížena, aby byla nalezena jako u sousedních barev, aby nevypadala barevněji než tyto.

1. José-Philippe Pérez 2005 , str.  214-216
2. Eugène Hecht 2005 , str.  16-18
3. Mario Rossi , Audio , Lausanne, Presses polytechniques et universitaire romandes,2007, 1 st  ed. , 782  s. ( ISBN  978-2-88074-653-7 , číst online ) , s.  5-6
4. Robert Sève , Science of color: Physical and perceptual aspects , Marseille, Chalagam,2009, 374  s. ( ISBN  978-2-9519607-5-6 a 2-9519607-5-1 ) , s.  246-251

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">