Lévyho proces

V teorii pravděpodobnosti je Lévyho proces , pojmenovaný podle francouzského matematika Paula Lévyho , stochastický proces v kontinuálním čase , kontinuálně omezený zprava doleva ( cadlag ), počínaje od 0, přírůstky jsou stacionární a nezávislé (tento pojem je vysvětlen níže) . Nejznámějšími příklady jsou Wienerův proces a Poissonův proces .

Definice

Stochastický proces se nazývá proces Levy, pokud X={Xt:t≥0}{\ displaystyle X = \ {X_ {t}: t \ geq 0 \}}

1. X0=0{\ displaystyle X_ {0} = 0 \,} téměř jistě
2. Nezávislá zvýšení  : Všichni jsou nezávislí0≤t1<t2<⋯<tne<∞,{\ displaystyle 0 \ leq t_ {1} <t_ {2} <\ cdots <t_ {n} <\ infty,} Xt2-Xt1,Xt3-Xt2,...,Xtne-Xtne-1{\ displaystyle X_ {t_ {2}} - X_ {t_ {1}}, X_ {t_ {3}} - X_ {t_ {2}}, \ dots, X_ {t_ {n}} - X_ {t_ { n-1}}}
3. Stacionární zvyšuje  : Pro všechny , se rovná v právus<t{\ displaystyle s <t \,}Xt-Xs{\ displaystyle X_ {t} -X_ {s} \,}Xt-s{\ displaystyle X_ {ts} \,}
4. t↦Xt{\ displaystyle t \ mapsto X_ {t}}je téměř jistě souvislý vpravo a omezený doleva ( Càdlàg ).

Vlastnosti

Nezávislé zvýšení

Stochastický proces spojitého času spojuje náhodnou proměnnou X t kdykoli t ≥ 0. Jde tedy o náhodnou funkci t . Přírůstky takového procesu jsou rozdíly X s - X t mezi jeho hodnotami v různých časech t < s . Říci, že zvýšení procesu jsou nezávislá, znamená, že zvýšení X s - X t a X u - X v jsou nezávislé náhodné proměnné od okamžiku, kdy se časové intervaly nepřekrývají, a obecněji jakýkoli počet konečných přírůstků nad ne - překrývající se časové intervaly jsou vzájemně nezávislé (a ne jen dva po druhém nezávislé).

Stacionární zvýšení

Říci, že přírůstky jsou stacionární, znamená, že zákon každého přírůstku X s - X t závisí pouze na délce s  -  t časového intervalu.

Například pro proces Wiener , zákon X je  -  X t je normální zákon s očekáváním 0 a rozptyl s  -  t .

Pro homogenní Poissonův proces , zákon X je  -  X t je Poissonův zákon očekávání lambda ( s  -  t ), kde λ> 0 je „intenzita“ nebo „rychlost“ procesu.

Dělitelnost

Lévyho proces souvisí s nekonečně dělitelnými zákony  :

• Zákony přírůstků Lévyho procesu jsou nekonečně dělitelné, přírůstky délky t jsou součtem n přírůstků délky t / n, které jsou iid (nezávislé identicky rozložené) hypotézou.
• Naopak každému nekonečně dělitelnému zákonu odpovídá Lévyho proces: takový zákon D, který je dán, definujeme stochastický proces pro jakýkoli pozitivní racionální čas vynásobením a dělením, definujeme jeho zákon v 0 z Diracova rozdělení v 0, nakonec jsme přejděte na limit pro jakýkoli pozitivní reálný čas. Nezávislost přírůstků a stacionarita vycházejí z vlastnosti dělitelnosti, i když je nutné kontrolovat kontinuitu a skutečnost, že přechod k limitu dává v iracionálních dobách dobře definovanou funkci.

Okamžiky

N -tý moment z dávka procesu, pokud je konečný, je polynom funkce v t , který ověřuje identitu binomické typu: μne(t)=E(Xtne){\ displaystyle \ mu _ {n} (t) = E (X_ {t} ^ {n})}

μne(t+s)=∑k=0ne(nek)μk(t)μne-k(s).{\ displaystyle \ mu _ {n} (t + s) = \ součet _ {k = 0} ^ {n} {n \ zvolit k} \ mu _ {k} (t) \ mu _ {nk} (s ).}

Příklady

Zde je neúplný seznam příkladů Lévyho procesů.

V níže uvedených příkladech je X Lévyho proces. Všimněte si, že deterministický drift ( ) je Lévyho proces. Xt=bt{\ displaystyle X_ {t} = bt}

Wienerův proces

Definice

X je Wienerův proces (nebo standardní Brownův pohyb), právě když

1. za všechno, co je náhodná veličina má normální rozdělení ,t≥0{\ displaystyle t \ geq 0}Xt{\ displaystyle X_ {t}} NE(0,t){\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0, t)}
2. jeho trajektorie jsou téměř jistě spojité; to znamená, že téměř pro všechno je aplikace nepřetržitá.ω{\ displaystyle \ omega}t↦Xt(ω){\ displaystyle t \ mapsto X_ {t} (\ omega)}

Vlastnosti

• Jeho Fourierova transformace je dána vztahem:

E[EiθXt]=exp⁡(-12tθ2){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} t \ theta ^ {2} \ vpravo)}

viz Brownova pohybová stránka .

Složený Poissonův proces

Definice

X je Poisson proces složený z parametrů reálné číslo a opatření na právě tehdy, když její Fourierova transformace je dána vztahem vs.≥0{\ displaystyle c \ geq 0} ν{\ displaystyle \ nu}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

E[EiθXt]=exp⁡(vs.t(∫REiθXν(dX)-1)){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp \ left (ct \ left (\ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {i \ theta x} \ nu (dx) -1 \ vpravo) \ vpravo)}.

Vlastnosti

• Poissonův proces složený z parametrů a jako míra Diracova míra v 1 ( ) je Poissonův proces .vs.≥0{\ displaystyle c \ geq 0}ν=δ1{\ displaystyle \ nu = \ delta _ {1}}
• Nechť N být Poissonovo proces s parametrem a na náhodné procházky , jehož právo z kroků (právo ), proces je definován je sloučenina Poissonův proces.vs.≥0{\ displaystyle c \ geq 0}Sne=∑k=0neYk{\ displaystyle S_ {n} = \ součet _ {k = 0} ^ {n} Y_ {k}}ν{\ displaystyle \ nu}Y1{\ displaystyle Y_ {1}}Xt=SNEt{\ displaystyle X_ {t} = S_ {N_ {t}}}

Sub-počítače

Definice

X je dílčí počítač právě tehdy, když X je rostoucí proces.

Vlastnosti

• X má ohraničené variace .
• X je přechodné.
• Jeho Fourierova transformace má formu:

E[EiθXt]=exp⁡(-itθ+t∫0∞(1-EiθX)ν(dX)){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp \ left (-it \ theta + t \ int _ {0} ^ {\ infty} (1-e ^ {i \ theta x}) \ nu (dx) \ right)}.

• Sub-počítač umožňuje změnit počasí, toto se nazývá podřízenost. Pokud Z je Lévyho proces a X je nezávislý dílčí počítač, pak je proces Lévyho proces.(ZXt)t≥0{\ displaystyle (Z_ {X_ {t}}) _ {t \ geq 0}}

Stabilní Lévyho procesy

Definice

X je stabilní Lévy proces parametru (nebo dávka -stable proces ) tehdy, když tyto dva procesy a mají stejné právo na všech reálných čísel . α∈]0,2]{\ displaystyle \ alpha \ in \,] 0,2]}α{\ displaystyle \ alpha}(Xvs.αt)t≥0{\ displaystyle (X_ {c ^ {\ alpha} t}) _ {t \ geq 0}}(vs.Xt)t≥0{\ displaystyle (cX_ {t}) _ {t \ geq 0}}vs.>0{\ displaystyle c> 0}

Tato vlastnost se nazývá vlastnost stability (nebo změna měřítka).

Vlastnosti

• Ano , Lévyho proces je deterministický drift nebo Cauchyův proces .α=1{\ displaystyle \ alpha = 1}
• Pokud , proces Levy je Brownův pohyb.α=2{\ displaystyle \ alpha = 2}
• Pro její Fourierova transformace je ve tvaru:α∈]0,1[∪]1,2[{\ displaystyle \ alpha \ in] 0,1 [\ cup] 1,2 [}

E[EiθXt]=exp⁡(vs.|θ|α(1-iksgn⁡(θ)opálení⁡(πα2))){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp \ left (c | \ theta | ^ {\ alpha} \ left (1- ik \, \ operatorname {sgn} (\ theta) \ tan \ left ({\ frac {\ pi \ alpha} {2}} \ right) \ right) \ right)}.

Zastoupení Lévy - Khintchine

Libovolná náhodná proměnná může být charakterizována její charakteristickou funkcí . V případě Lévyho procesu tato charakteristika pro celou dobu t dává reprezentaci Lévy-Khintchina (pojmenovaného po ruském matematikovi Alexandrovi Khintchinovi ): Xt{\ displaystyle X_ {t}}

E[EiθXt]=exp⁡(naitθ-12σ2tθ2+t∫R∖{0}(EiθX-1-iθXJá|X|<1)Ž(dX)){\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = \ exp {\ Bigg (} ait \ theta - {\ frac {1} {2} } \ sigma ^ {2} t \ theta ^ {2} + t \ int _ {\ mathbb {R} \ zpětné lomítko \ {0 \}} {\ big (} e ^ {i \ theta x} -1-i \ theta x \ mathbf {I} _ {| x | <1} {\ big)} \, W (dx) {\ Bigg)}}

kde , a je funkční ukazatel . Opatření Lévyho musí být ověřeno na∈R{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}σ≥0{\ displaystyle \ sigma \ geq 0}Já{\ displaystyle \ mathbf {I}}Ž{\ displaystyle W}

∫R∖{0}min{X2,1}Ž(dX)<∞.{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} \ zpětné lomítko \ {0 \}} \ min \ {x ^ {2}, 1 \} W (dx) <\ infty.}

Lévyho proces je proto charakterizován třemi složkami: drift, difúzní koeficient a skoková složka. Tyto tři složky, a tedy Lévyho-Khintchinova reprezentace procesu, jsou zcela určeny tripletem . Kontinuální Levyho proces je zejména Brownův pohyb s driftem. (na,σ2,Ž){\ displaystyle (a, \ sigma ^ {2}, W)}

Lévy - rozklad Itō

Naopak lze zkonstruovat Lévyho proces z charakteristické funkce dané pod jeho zastoupením Lévy-Khintchine. Tato konstrukce odpovídá rozkladu míry podle Lebesgueovy věty o rozkladu  : drift a difúze tvoří absolutně spojitou část, zatímco míra W je singulární částí.

Vzhledem k tomu, Lévy triplet existují tři nezávislé Lévy procesy , na stejném pravděpodobnostním prostoru, jako například: (na,σ2,Ž){\ displaystyle (a, \ sigma ^ {2}, W)}X(1){\ displaystyle X ^ {(1)}} X(2){\ displaystyle X ^ {(2)}}X(3){\ displaystyle X ^ {(3)}}

• X(1){\ displaystyle X ^ {(1)}}je Brownův pohyb s driftem, což odpovídá zcela spojité části měření, jejíž koeficienty se pro drift a pro šíření;σ2{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}
• X(2){\ displaystyle X ^ {(2)}}je složený Poissonův proces , odpovídající čisté bodové části singulární míry W  ;
• X(3){\ displaystyle X ^ {(3)}}je skok proces, martingalu čtverec integrovatelná který téměř jistě spočetná počet směrování na nějakou konečnou intervalu, který odpovídá kontinuální části singulární měření W .

Proces definovaný jako je triplet Lévyho proces . X=X(1)+X(2)+X(3){\ displaystyle X = X ^ {(1)} + X ^ {(2)} + X ^ {(3)}}(na,σ2,Ž){\ displaystyle (a, \ sigma ^ {2}, W)}

Korespondence v živém světě

V živém světě (a v dalších vědeckých oborech) je pozorováno několik fraktálových vzorů spojených s Levyho procesy . Zdá se, že jsou například přítomni v oblastech tak rozmanitých, jako jsou pohyby očí lidí (přinejmenším za určitých okolností) a v pohybu zvířat.

Jejich původ je v ekologických systémech stále špatně chápán . Byly interpretovány jako naléhavá vlastnost, která může pocházet z různých univerzálních principů složitých systémů nebo může mít adaptivní hodnotu.

Z Lévy procesy například byly objeveny v pohybech průzkumném z inteligentních agentů , když pracují v heterogenním prostředí, a zdá se, že struktura cestování a pohybu zvířat (včetně mořských ptáků) až „ve velkém měřítku“ ( „Levy Flight“  ; "Lévy Procházka " ). Podle Alexe Jamese, Michaela J. Planka a Andrewa M. Edwardsa by pozorování těchto Lévyho procesů bylo způsobeno vnějšími faktory (jako je distribuce zdrojů, metoda vzorkování zvolená pro pozorování nebo stále koexistence několika pohybů strategie), spíše než explicitní strategická volba. Jinými slovy, zdánlivý Levyho proces se může objevit z mnoha jiných faktorů, než je strategie průzkumu agenta.

Někteří autoři předpokládají, že by také mohli být spojeni s mechanismy stochastické optimalizace  (in) , procesy jako hledání potravy nebo hledání sexuálního partnera nebo migrační útěk u zvířat (jednotlivců nebo skupin), v „ oceánu , v atmosféře a nad oceánem pro ptáci nebo například v rozlehlém lese , když vnímací schopnosti nejsou dostatečné k tomu, aby zvíře snadno našlo to, co hledá (jídlo, kořist, úkryt, sexuální partner atd.).

Pokud by Lévyho proces měl takto jednat na individuální úrovni, pak by tyto adaptační mechanismy mohly mít také účinky na vyšších úrovních organizace a dynamiky, dokonce i na úrovni ekosystémů nebo dokonce biosféry, a proto Frederic Bartumeus, jeden z odborníci v těchto otázkách navrhují - v kontextu studia pohybu zvířat - nadále společně a již samostatně uvažovat o invariantnosti rozsahu, fenoménu přerušovanosti a náhody, které by mohly v koherentním ekologickém a evoluční rámec.

Dodatky

Bibliografie

• D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus , druhé vydání, Cambridge University Press, 2009
• J. Bertoin, Lévy Processes , Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ( ISBN  0-52164-632-4 )
• AE Kyprianou, Úvodní přednášky o fluktuacích Lévyho procesů s aplikacemi , Springer, Berlín, 2006.
• KI Sato, Lévy procesy a nekonečně dělitelné distribuce , Cambridge Univsersity Press, 1999. ( ISBN  0-521-55302-4 )

Poznámky a odkazy

1. Bartumeus F (2007) Lévyho procesy v pohybu zvířat: evoluční hypotéza , Fractals, 15, 151 (2007). DOI: 10.1142 / S0218348X07003460 ( shrnutí )
2. Damian Stephen, Daniel Mirman, James Magnuson, James Dixon. (2009) Lévyho difúze v pohybech očí během porozumění mluvené řeči . Physical Review E 79: 5, živě na 1. st května 2009 ( shrnutí )
3. F. Bartumeus. (2009) Behaviorální intermitence, Lévyho vzorce a náhodnost v pohybu zvířat . Oikos 118: 4, 488-494, které byly zveřejněny na 1. st dubna 2009 ( shrnutí )
4. Nicolas E. Humphries, Nuno Queiroz, Jennifer RM Dyer, Nicolas G. Pade, Michael K. Musyl, Kurt M. Schaefer, Daniel W. Fuller, Juerg M. Brunnschweiler, Thomas K. Doyle, Jonathan DR Houghton, Graeme C. Hays, Catherine S. Jones, Leslie R. Noble, Victoria J. Wearmouth, Emily J. Southall, David W. Sims. (2010) Environmentální kontext vysvětluje Lévyho a Brownovy pohybové vzorce mořských predátorů . Nature 465: 7301, 1066-1069. zveřejněno 24. června 2010 ( shrnutí )
5. Andrew JJ MacIntosh, Laure Pelletier, Andre Chiaradia, Akiko Kato, Yan Ropert-Coudert. (2013) Časové fraktály v chování mořských ptáků při hledání potravy: potápění v měřítku času. 3. Vědecké zprávy . Zveřejněno 24. května 2013 ( shrnutí )
6. Frederic Bartumeus, Luca Giuggioli, Maite Louzao, Vincent Bretagnolle, Daniel Oro, Simon A. Levin. (2010) Fishery Discards Impact on Seabird Movement Patterns at Regional Scales. Current Biology 20: 3, 215-222, zveřejněno 9. února 2010 ( abstrakt )
7. L. Seuront, HE Stanley. (2014) Anomální difúze a multifraktalita zvyšují párovací setkání v oceánu. Sborník Národní akademie věd 111: 6, 2206-2211. Datum online zveřejnění: 11. února 2014 ( shrnutí )
8. Dong Wang, Qian Zhuang, fanoušek Ying, Zeng-Ru Di. (2013) Druhová diverzita ve spojení hry kámen - papír - nůžky s Levyho letem. Čínský Physics B 22:12, 128702. Online na 1. st prosince 2013 ( shrnutí )
9. Deepika Janakiraman, K. Sebastian. (2012) Path-integrální formulace pro Lévyho lety: Vyhodnocení propagátoru pro volné, lineární a harmonické potenciály v mezích pod a pod tlumením . Fyzická recenze E 86: 6. byla spuštěna 1. st prosince 2012. ( shrnutí )
10. Sam Baron. (2014) Optimalizace a matematické vysvětlení: Lévy Walk. Synthesis 191: 3, 459-479. Online na 1. st února 2014 ( shrnutí )
11. Andy M. Reynolds, Patrick Schultheiss, Ken Cheng. (2013) Jsou letové vzorce Lévyho odvozeny ze zákona Weber - Fechner v odhadu vzdálenosti? . Behavioral Ecology and Sociobiology 67: 8, 1219-1226. . Datum online zveřejnění: 1. srpna 2013 Číst více: http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218348X07003460
12. AM Reynolds. (2012) Sekačky maximalizující zdatnost mohou pomocí informací o kvalitě náplastí rozhodnout, jak hledat a v rámci náplastí: optimální vzory procházení Levyho chůze z teorie optimálního hledání potravy . Journal of The Royal Society Interface 9:72, 1568-1575, zveřejněno 7. července 2012 ( abstrakt )
13. Reynolds AM (2009) Bezohledné pohybové vzorce zvířat: Lévy při scénářích náhodného hledání překonává zlomkové Brownovy pohyby a zlomkové Lévyho pohyby . Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 42:43, 434006 .. Datum online zveřejnění: 30. října 2009 ( shrnutí )
14. AM Reynolds. (2012) Očekávané procházky Levy se očekávají nad rámec rozsahu sběru dat, když korelované náhodné procházky ztělesňují pozorované pohybové vzorce . Journal of The Royal Society Interface 9:68, 528-534, publikováno 7. března 2012 ( abstrakt )
15. James Alex , Plank Michael J. a Edwards Andrew M. , „  Hodnocení Lévyho procházek jako modelů shánění zvířat  “, Journal of The Royal Society Interface , sv.  8, n o  62,7. září 2011, str.  1233–1247 ( PMID  21632609 , PMCID  PMC3140726 , DOI  10.1098 / rsif.2011.0200 , číst online , přistupováno 29. července 2019 )
16. MA Lomholt, K. Tal, R. Metzler, K. Joseph. (2008) Levy strategie v přerušovaných procesech vyhledávání jsou výhodné. Sborník Národní akademie věd 105: 32, 11055-11059, publikováno 12. srpna 2008 ( abstrakt )
17. Reynolds AM (2013) Efektivní vedení ve skupinách zvířat, když žádný jedinec nemá relevantní informace o umístění zdrojů: Jak mohou interakce mezi vůdci a následovníky vést k pohybovým vzorům chůze Lévyho . EPL (Europhysics Letters) 102: 1, 18001, on-line od 1. st dubna 2013 ( shrnutí )
18. Gleb Oshanin, Katja Lindenberg, Horacio S Wio, Sergei Burlatsky. (2009) Efektivní vyhledávání pomocí optimalizovaných občasných náhodných procházek . Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 42:43, 434008, zveřejněno 30. října 2009 ( abstrakt )

• (fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „  Lévyho proces  “ ( viz seznam autorů ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">