Pravidlo produktu
V matematické analýze se pravidlo produkt , také nazývaný Leibniz pravidlo , je vzorec použitý najít derivátů z produktů z funkcí . Ve své nejjednodušší podobě zní takto:
Dovolit a být dvě skutečné funkce skutečné proměnné , diferencovatelné v bodě . Pak je jejich produkt také odvoditelný v a .F{\ displaystyle f}
G{\ displaystyle g}
X{\ displaystyle x}
FG{\ displaystyle fg}
X{\ displaystyle x}
(FG)′(X)=F′(X)G(X)+F(X)G′(X){\ displaystyle (fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x)}![{\ displaystyle (fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bea0896500ca06a06fc1b53c412cdbf9bf399c6)
V Leibnizově zápisu je tento vzorec napsán:
ddX(FG)=dFdXG+FdGdX.{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ nad \ mathrm {d} x} (f \, g) = {\ mathrm {d} f \ nad \ mathrm {d} x} \, g + f \, {\ mathrm {d} g \ over \ mathrm {d} x}.}![{\ displaystyle {\ mathrm {d} \ nad \ mathrm {d} x} (f \, g) = {\ mathrm {d} f \ nad \ mathrm {d} x} \, g + f \, {\ mathrm {d} g \ over \ mathrm {d} x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c31f9058328ffaed866ad57d606b8c9bef8011)
Důležitou aplikací pravidla produktu je metoda integrace součásti .
Příklad
Nechť je funkce definovaná:
h:R→R{\ displaystyle h: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}![{\ displaystyle h: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb5f2930140e70b564317c8da328fbf917cf8fb)
h(X)=(X+1)(X2+1){\ displaystyle h \ left (x \ right) = (x + 1) (x ^ {2} +1)}![h \ left (x \ right) = (x + 1) (x ^ {2} +1)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465d4c1b0f82a8b86a1c236428d090573296db96)
Abychom našli jeho derivát s pravidlem produktu, nastavili jsme a . Funkce , a jsou všude differentiable, protože jsou polynom .
h′{\ displaystyle h '}
F(X)=X+1{\ displaystyle f (x) = x + 1}
G(X)=X2+1{\ displaystyle g (x) = x ^ {2} +1}
h{\ displaystyle h}
F{\ displaystyle f}
G{\ displaystyle g}![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
Zjistili jsme tedy:
∀X∈Rh′(X)=F′(X)G(X)+F(X)G′(X)=(X2+1)+(X+1)(2X)=3X2+2X+1.{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad h '(x) & = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) \\ & = (x ^ {2} +1) + (x + 1) (2x) \\ & = 3x ^ {2} + 2x + 1. \ end {zarovnáno}}}![{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ forall x \ in \ mathbb {R} \ quad h '(x) & = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) \\ & = (x ^ {2} +1) + (x + 1) (2x) \\ & = 3x ^ {2} + 2x + 1. \ end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632c2ae1f1fbe3c21f6fb8345460b186bc963abd)
Můžeme to ověřit tak, že nejprve vytvoříme výraz h : h ( x ) = x 3 + x 2 + x + 1 , potom odvozením tohoto součtu člen po členu: najdeme h ' ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 1 .
Ukázka pravidel produktu
Analytická demonstrace
Důkaz pravidla produktu lze prokázat pomocí vlastností limitů a definice derivátu jako limitu míry zvýšení .
Zjednodušená demonstrace a geometricky znázorněno
Dovolit a být dvě funkce rozlišitelné . Definování a představuje oblast obdélníku (viz obr. 1) .
F{\ displaystyle f}
G{\ displaystyle g}
X{\ displaystyle x}
u=F(X){\ displaystyle u = f (x)}
proti=G(X){\ displaystyle v = g (x)}
uproti{\ displaystyle uv}
F(X)G(X){\ displaystyle f (x) g (x)}![f (x) g (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd6600ae4068154e981749ac85dae380570269f)
Pokud se liší o množství , odpovídající variace v a jsou označeny a .
X{\ displaystyle x}
ΔX{\ displaystyle \ Delta x}
u{\ displaystyle u}
proti{\ displaystyle v}
Δu{\ displaystyle \ Delta u}
Δproti{\ displaystyle \ Delta v}![\ Delta v](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18b43e4225eeaafeeb25aefc4ee90bd86f004dc)
Variace oblasti obdélníku je pak:
Δ(uproti)=(u+Δu)(proti+Δproti)-uproti=(Δu)proti+u(Δproti)+(Δu)(Δproti),{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ Delta (uv) & = (u + \ Delta u) (v + \ Delta v) -uv \\ & = (\ Delta u) v + u (\ Delta v) + (\ Delta u) (\ Delta v), \ end {zarovnáno}}}![{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ Delta (uv) & = (u + \ Delta u) (v + \ Delta v) -uv \\ & = (\ Delta u) v + u (\ Delta v) + (\ Delta u) (\ Delta v), \ end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31a6e035fc9bbfaade72bd2acb31061fc983950)
to znamená součet tří stínovaných oblastí na obrázku 1 naproti.
Vydělením :
ΔX{\ displaystyle \ Delta x}![\ Delta x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3890eb866b6258d7a304fc34c70ee3fb3a81a70)
Δ(uproti)ΔX=(ΔuΔX)proti+u(ΔprotiΔX)+(ΔuΔX)(ΔprotiΔX)ΔX.{\ displaystyle {\ frac {\ Delta (uv)} {\ Delta x}} = \ left ({\ frac {\ Delta u} {\ Delta x}} \ right) v + u \ left ({\ frac { \ Delta v} {\ Delta x}} \ right) + \ left ({\ frac {\ Delta u} {\ Delta x}} \ right) \ left ({\ frac {\ Delta v} {\ Delta x} } \ vpravo) \ Delta x.}![{\ displaystyle {\ frac {\ Delta (uv)} {\ Delta x}} = \ left ({\ frac {\ Delta u} {\ Delta x}} \ right) v + u \ left ({\ frac { \ Delta v} {\ Delta x}} \ right) + \ left ({\ frac {\ Delta u} {\ Delta x}} \ right) \ left ({\ frac {\ Delta v} {\ Delta x} } \ vpravo) \ Delta x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa78a3a3ca6f1bd2ecd864f8cfa0121a6440f249)
Když vezmeme limit kdy , dostaneme:
ΔX→0{\ displaystyle \ Delta x \ rightarrow 0}![\ Delta x \ rightarrow 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4ee20df4739428156289950dddfd3d4234f0c9)
ddX(uproti)=(dudX)proti+u(dprotidX).{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} (uv) = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} \ vpravo) v + u \ vlevo ({\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} x}} \ vpravo).}![{\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} x}} (uv) = \ left ({\ frac {{{{\ mathrm d} u} {{\ mathrm d} x}} \ right) v + u \ left ({\ frac {{\ mathrm d} v} {{\ mathrm d} x}} \ right).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f802647103c7ad903896994e1776ccd17f0ff1)
Zobecnění
Produkt několika funkcí
Nechť jsou funkce diferencovatelné , pak máme:
F1,...,Fne{\ displaystyle f_ {1}, \ tečky, f_ {n}}
X{\ displaystyle x}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
ddX∏i=1neFi(X)=∑i=1ne(ddXFi(X)∏j≠iFj(X)){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} f_ {i} (x) = \ součet _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f_ {i} (x) \ prod _ {j \ neq i} f_ {j} (x) \ že jo)}
Tento vztah lze prokázat indukcí .
Demonstrace
Protože vztah je triviálně pravdivý.
ne=1{\ displaystyle n = 1}![n = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425)
Nyní musíme ukázat, že pokud vzorec platí pro , pak platí také pro .
ne=k≥1{\ displaystyle n = k \ geq 1}
ne=k+1{\ displaystyle n = k + 1}![n = k + 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a27ec53b870485ae4eda0335db05ecdfd933e1)
Zvažte funkci definovanou:
h{\ displaystyle h}![h](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
h(X)=∏i=1kFi(X){\ displaystyle h (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x)}
S nespecifikovanými funkcemi odvozitelnými v .
F1,...,Fk{\ displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {k}}
X{\ displaystyle x}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
Nechť je funkce , která je sama diferencovatelná , derivace je pak dána pravidlem produktu:
Fk+1{\ displaystyle f_ {k + 1}}
X{\ displaystyle x}
(h⋅Fk+1){\ displaystyle (h \ cdot f_ {k + 1})}![(h \ cdot f _ {{k + 1}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5701d1ede2b4769b58763b1a26166f7205ec0aa1)
ddX(h(X)Fk+1(X))=Fk+1′(X)h(X)+Fk+1(X)h′(X).{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ vlevo (h (x) f_ {k + 1} (x) \ vpravo) = f_ {k + 1} '( x) h (x) + f_ {k + 1} (x) h '(x).}![{\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} x}} \ left (h (x) f _ {{k + 1}} (x) \ right) = f _ {{k + 1}} '(x) h (x) + f _ {{k + 1}} (x) h' (x).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a78456133dd8af3eba13742ad95798413933160)
To se rovná psaní s hypotézou opakování:
ddX∏i=1k+1Fi(X)=ddXFk+1(X)∏i=1kFi(X)+Fk+1(X)∑i=1k(ddXFi(X)∏j≠iFj(X)).{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ prod _ {i = 1} ^ {k + 1} f_ {i} (x) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f_ {k + 1} (x) \ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) + f_ {k + 1} (x ) \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f_ {i} (x) \ prod _ {j \ neq i } f_ {j} (x) \ vpravo).}![{\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} x}} \ prod _ {{i = 1}} ^ {{k + 1}} f_ {i} (x) = {\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} x}} f _ {{k + 1}} (x) \ prod _ {{i = 1}} ^ {k} f_ {i} (x ) + f _ {{k + 1}} (x) \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} \ left ({\ frac {{\ mathrm d}} {{mathrm d} x }} f_ {i} (x) \ prod _ {{j \ neq i}} f_ {j} (x) \ right).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5dbfc83ca84cada482024dfa4bd4516e71e4e3)
Zjednodušením tohoto posledního výrazu konečně získáme:
ddX∏i=1k+1Fi(X)=∑i=1k+1(ddXFi(X)∏j≠iFj(X)).{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ prod _ {i = 1} ^ {k + 1} f_ {i} (x) = \ součet _ {i = 1} ^ {k + 1} \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f_ {i} (x) \ prod _ {j \ neq i} f_ {j} (x) \ vpravo).}![{\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} x}} \ prod _ {{i = 1}} ^ {{k + 1}} f_ {i} (x) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{k + 1}} \ left ({\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} x}} f_ {i} (x) \ prod _ { {j \ neq i}} f_ {j} (x) \ vpravo).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2415467b540564ecca1f51eebce5df92cca11ed6)
Vzorec tedy platí i pro . Indukcí tedy vzorec platí pro všechna celá čísla .
ne=k+1{\ displaystyle n = k + 1}
ne≥1{\ displaystyle n \ geq 1}![n \ geq 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ce9ce38d06f6bf5a3fe063118c09c2b6202bfe)
Příklad:
Se třemi funkcemi , a , diferencovatelný inu , my máme:
F{\ displaystyle f}
G{\ displaystyle g}
h{\ displaystyle h}
X{\ displaystyle x}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
ddX(FGh)=dFdXGh+FdGdXh+FGdhdX.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} (f \, g \, h) = {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x }} \, g \, h + f \, {\ frac {\ mathrm {d} g} {\ mathrm {d} x}} \, h + f \, g \, {\ frac {\ mathrm {d } h} {\ mathrm {d} x}}.}![{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} (f \, g \, h) = {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x }} \, g \, h + f \, {\ frac {\ mathrm {d} g} {\ mathrm {d} x}} \, h + f \, g \, {\ frac {\ mathrm {d } h} {\ mathrm {d} x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1ea861e9fd53a2829504b3561fbd0a7b4677bf)
Například najít derivát :
(X+1)(X2+1)(X-2){\ displaystyle (x + 1) (x ^ {2} +1) ({\ sqrt {x}} - 2)}![(x + 1) (x ^ {2} +1) ({\ sqrt x} -2)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d708b3befa2d44be8864ea015c3a3bf96c9b84)
ddX[(X+1)(X2+1)(X-2)]=(X2+1)(X-2)+(X+1)(2X)(X-2)+(X+1)(X2+1)(12X).{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [(x + 1) (x ^ {2} +1) ({\ sqrt {x}} - 2) \ right] = (x ^ {2} +1) ({\ sqrt {x}} - 2) + (x + 1) (2x) ({\ sqrt {x}} - 2) + (x + 1) (x ^ {2} +1) \ left ({\ frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}} \ right).}
Deriváty vyššího řádu (Leibnizovo pravidlo)
Pravidlo součinu lze také zobecnit na Leibnizovo pravidlo pro odvození vyššího řádu součinu dvou funkcí reálné proměnné.
Dovolit být celé číslo větší nebo rovné 1 a dvě funkce krát diferencovatelné v určitém bodě , pak je jejich součin také krát diferencovatelné v bodě a derivace řádu je dána vztahem:
ne{\ displaystyle n}
F{\ displaystyle f}
G{\ displaystyle g}
ne{\ displaystyle n}
X{\ displaystyle x}
FG{\ displaystyle fg}
ne{\ displaystyle n}
X{\ displaystyle x}
ne{\ displaystyle n}![ne](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
(FG)(ne)(X)=∑k=0ne(nek) F(ne-k)(X) G(k)(X){\ displaystyle (fg) ^ {(n)} (x) = \ součet _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} \ f ^ {(nk)} (x) \ g ^ {(k)} (x)}
kde celá čísla jsou binomické koeficienty a kde je dohodnuto, že „nultý derivát“ , označený , je samotná funkce .(nek){\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}
F{\ displaystyle f}
F(0){\ displaystyle f ^ {(0)}}
F{\ displaystyle f}![F](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
Tento vzorec je prokázán indukcí dne . Důkaz je srovnatelný s důkazem Newtonova binomického vzorce . To lze navíc odvodit z Leibnizova vzorce, aplikovaného na a . ne{\ displaystyle n}
F(X)=exp(naX){\ displaystyle f (x) = \ exp (sekera)}
G(X)=exp(bX){\ displaystyle g (x) = \ exp (bx)}![g (x) = \ exp (bx)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/040f5901272d45730a0f36a4630e8378ff49c6da)
Můžeme také dokázat Leibnizův vzorec pomocí Taylor-Youngovy expanze .
Deriváty vyššího řádu produktu několika funkcí
Následující vzorec současně zobecňuje předchozí dva:
(∏i=1mFi)(ne)=∑k1+⋯+km=ne(nek1,...,km)∏i=1mFi(ki){\ displaystyle \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} \ right) ^ {(n)} = \ sum _ {k_ {1} + \ dots + k_ {m} = n } {n \ vyberte k_ {1}, \ dots, k_ {m}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} ^ {(k_ {i})}}![{\ displaystyle \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} \ right) ^ {(n)} = \ sum _ {k_ {1} + \ dots + k_ {m} = n } {n \ vyberte k_ {1}, \ dots, k_ {m}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} ^ {(k_ {i})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d8d2fbe0d74e41d23f6e325405e0371f0f364d)
,
kde celá čísla
(nek1,...,km)=ne!∏i=1mki!{\ displaystyle {n \ zvolit k_ {1}, \ tečky, k_ {m}} = {\ frac {n!} {\ prod _ {i = 1} ^ {m} k_ {i}!}}}![{\ displaystyle {n \ zvolit k_ {1}, \ tečky, k_ {m}} = {\ frac {n!} {\ prod _ {i = 1} ^ {m} k_ {i}!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8243033f43a48d6077524c7f97e1dcf165a4a00)
jsou multinomiální koeficienty . Důkaz lze provést indukcí na m , počtu uvažovaných funkcí, pomocí vzorce (který se redukuje na Leibnizův vzorec) v hodnosti m = 2.
Vynikající rozměry
Pravidlo produktu se vztahuje na funkce několika reálných proměnných (definovaných na ℝ n ) nebo obecněji na funkce, jejichž proměnnou je vektor :
Nechť E je vektorový normovaných prostor a f , g : E → ℝ dvě funkce diferencovatelné v bodě x o e . Pak je produkt fg diferencovatelný v x a jeho rozdíl v tomto bodě je spojitý lineární tvar
DX(FG):E→R,h↦DXF(h)G(X)+F(X)DXG(h).{\ displaystyle D_ {x} (fg): E \ až \ mathbb {R}, \ quad h \ mapsto D_ {x} f (h) \, g (x) + f (x) \, D_ {x} g (h).}
Podobné výsledky jsou k dispozici pro směrové derivace a parciální derivace .
Holomorfní funkce
Stejným výpočtem jako výše, ale nahrazením skutečné proměnné složitou proměnnou dokazujeme následující pravidlo pro produkt holomorfních funkcí .
Nechť U je otevřená množina ℂ a f , g : U → ℂ holomorfní funkce. Potom je produkt fg holomorfní a:
(FG)′=F′G+FG′.{\ displaystyle (fg) '= f'g + fg'.}
Lze jej také odvodit z předchozí podsekce (pro E = ℂ) a z Cauchy-Riemannových rovnic .
Další funkce, další produkty
Podíváme-li se podrobně na důkaz pravidla produktu, uvědomíme si, že hlavní složkou je kromě derivovatelnosti funkcí distribučnost násobení s ohledem na sčítání (skutečnost, že a ( b + c ) = ab + ac ). Matematici si ale zvykli nazývat pouze operace produktů, které těží z této vlastnosti. Na druhou stranu, všechny produkty nejsou komutativní ( ab = ba, když a a b jsou čísla, ale u jiných produktů to neplatí). Můžeme tedy s jistotou použít pravidlo produktu na jiné produkty, než je násobení numerických funkcí, ale dbáme na to, abychom udrželi pořadí faktorů, když produkt není komutativní.
Dotový produkt :
Dovolit a být dva vektory, které jsou funkcemi času t (a diferencovatelné). Tak :
u→(t){\ displaystyle {\ vec {u}} (t)}
proti→(t){\ displaystyle {\ vec {v}} (t)}![{\ displaystyle {\ vec {v}} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4550679b673f2c3ce8d8041e6b6e17a85a69ec3a)
ddt[u→(t)⋅proti→(t)]=du→dt⋅proti→+u→⋅dproti→dt.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} [{\ vec {u}} (t) \ cdot {\ vec {v}} (t)] = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {u}}} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ vec {v}} + {\ vec {u}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d } {\ vec {vb}}} {\ mathrm {d} t}}.}
Křížový produkt :
Dovolit a být dva vektory, které jsou funkcemi času t (a diferencovatelné). Tak :
u→(t){\ displaystyle {\ vec {u}} (t)}
proti→(t){\ displaystyle {\ vec {v}} (t)}![{\ displaystyle {\ vec {v}} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4550679b673f2c3ce8d8041e6b6e17a85a69ec3a)
ddt[u→(t)∧proti→(t)]=du→dt∧proti→+u→∧dproti→dt.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} [{\ vec {u}} (t) \ klín {\ vec {v}} (t)] = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {u}}} {\ mathrm {d} t}} \ klín {\ vec {v}} + {\ vec {u}} \ klín {\ frac {\ mathrm {d } {\ vec {vb}}} {\ mathrm {d} t}}.}
Smíšený produkt :
Dovolit , a být tři vektory, které jsou funkcemi času t (a diferencovatelné). Tak :
u→(t){\ displaystyle {\ vec {u}} (t)}
proti→(t){\ displaystyle {\ vec {v}} (t)}
w→(t){\ displaystyle {\ vec {w}} (t)}![{\ displaystyle {\ vec {w}} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8fb558e1b3d862b4a156af1c78771f3368b8b0)
ddt{u→(t)⋅[proti→(t)∧w→(t)]}=du→dt⋅[proti→∧w→]+u→⋅[dproti→dt∧w→]+u→⋅[proti→∧dw→dt].{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ {{\ vec {u}} (t) \ cdot [{\ vec {v}} (t) \ klín { \ vec {w}} (t)] \} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {u}}} {\ mathrm {d} t}} \ cdot [{\ vec {v}} \ klín {\ vec {w}}] + {\ vec {u}} \ cdot \ doleva [{\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} \ klín {\ vec {w}} \ vpravo] + {\ vec {u}} \ cdot \ doleva [{\ vec {v}} \ klín {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {w}}} { \ mathrm {d} t}} \ vpravo].}
Produkt Matrix :
Nechť A ( t ) a B ( t ) jsou dvě matice, které jsou funkcemi času t (a diferencovatelné) a dimenzí tak, že existuje součin AB . Tak :
ddt[NA(t)B(t)]=dNAdtB+NAdBdt,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} [A (t) B (t)] = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} B + A {\ frac {\ mathrm {d} B} {\ mathrm {d} t}},}![{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} [A (t) B (t)] = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} B + A {\ frac {\ mathrm {d} B} {\ mathrm {d} t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7255372c3fddf600cb044759452288d0bb57e99b)
a stejným způsobem nahrazením všude obyčejného maticového produktu produktem Hadamard nebo produktem Kronecker .
Stejně jako v § „Vyšší dimenze“ můžeme ve všech těchto příkladech nahradit skutečnou proměnnou („čas“) vektorovou proměnnou.
Pravidlo produktu v normalizovaných vektorových prostorech
Nechť X , Y a Z jsou normalizované vektorové prostory a B : X × Y → Z je spojitá bilineární mapa . Poté, B je diferencovatelná a jeho rozdíl v bodě ( x , y ) z X x Y je kontinuální lineární mapa :
D(X,y)B:X×Y→Z,(h,k)↦B(h,y)+B(X,k).{\ displaystyle D _ {(x, y)} B: X \ krát Y \ rightarrow Z, \ quad (h, k) \ mapsto B \ left (h, y \ right) + B \ left (x, k \ vpravo).}
Tím, kompozice s několika funkcí ( u , v ): T → X x Y definovány na normalizované vektorového prostoru T , odvodíme obecný tvar výše uvedených příkladech:
Pokud se u a v jsou diferencovatelná v bodě t 0 z T pak kompozitu
B∘(u,proti):T→Z,t↦B(u(t),proti(t)){\ Displaystyle B \ Circ (u, v): T \ až Z, \ quad t \ mapsto B (u (t), v (t))}![{\ Displaystyle B \ Circ (u, v): T \ až Z, \ quad t \ mapsto B (u (t), v (t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f058d7cb8f69f3ce3c5c3ffc852445e95e512ad)
je také a jeho rozdíl v tomto bodě je:
Dt0(B∘(u,proti)):T→Z,ℓ↦B(Dt0u(ℓ),proti(t0))+B(u(t0),Dt0proti(ℓ)).{\ displaystyle D_ {t_ {0}} \ vlevo (B \ circ (u, v) \ right): T \ až Z, \ quad \ ell \ mapsto B \ left (D_ {t_ {0}} u (\ ell), v (t_ {0}) \ right) + B \ left (u (t_ {0}), D_ {t_ {0}} v (\ ell) \ right).}
Poznámky a odkazy
-
Viz Deriváty a operace na Wikiversity .
-
Viz Deriváty vyšších řádů na Wikiversity .
Podívejte se také
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">