Pořadí (lineární algebra)

V lineární algebře  :

• hodnost rodiny vektorů je rozměr tohoto vektoru podprostoru generovaného této rodiny. Například pro rodinu lineárně nezávislých vektorů je její pořadí počet vektorů;
• hodnost lineárního mapy z inu je rozměr jejího obrazu , což je vektorový podprostor . Rank věta se týká rozměru , rozměru jádra města a hodnosti  ;F{\ displaystyle f}E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}F{\ displaystyle F}E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle f}F{\ displaystyle f}
• hodnost matice je hodnost lineárního mapy, který představuje , nebo v řadě, z čeledi jeho sloupcové vektory;
• hodnost systému lineárních rovnic je počet rovnic v jakékoli ekvivalentní kalibrovaném systému . Rovná se hodnosti matice koeficientů systému.

Pořadí matice

Hodnost matice (jejíž koeficienty patří do komutativní pole o skaláry , ), označený , je: NA{\ displaystyle A}K.{\ displaystyle \ mathbb {K}}rg(NA){\ displaystyle {\ text {rg}} (A)}

• maximální počet lineárně nezávislých vektorů řádků (nebo sloupců);
• rozměr vektorového podprostoru generovaný vektory řádků (nebo sloupců)  ;NA{\ displaystyle A}
• největší z řádů invertibilních čtvercových matic extrahovaných z  ;NA{\ displaystyle A}
• největší z objednávek nenulových nezletilých  ;NA{\ displaystyle A}
• nejmenší z velikostí matic a jehož součin se rovná , všechna tato čísla jsou stejná.B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}NA{\ displaystyle A}

Pořadí lze určit provedením eliminace metodou Gauss-Jordan a zkoumáním takto získaného tvaru kroku .

Příklad

Zvažte následující matici:

NA=(1023204602201243){\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\\ end { pmatrix}}}

Říkáme vektory tvořené čtyřmi řádky . l1,l2,l3,l4{\ displaystyle l_ {1}, l_ {2}, l_ {3}, l_ {4}}NA{\ displaystyle A}

Vidíme, že 2 nd  řádek double první řádek, takže hodnost je rovna že rodiny . NA{\ displaystyle A}(l1,l3,l4){\ displaystyle (l_ {1}, l_ {3}, l_ {4})}

Všimněte si také, že 4 th  linie může být vytvořena jako součet linie 1 a 3 (to znamená, že ). Pořadí se tedy rovná hodnosti . l4=l1+l3{\ displaystyle l_ {4} = l_ {1} + l_ {3}}(l1,l3,l4){\ displaystyle (l_ {1}, l_ {3}, l_ {4})}(l1,l3){\ displaystyle (l_ {1}, l_ {3})}

Řádky 1 a 3 jsou lineárně nezávislé (tj. Neproporcionální). Stejně tak je na 2. místě. (l1,l3){\ displaystyle (l_ {1}, l_ {3})}

Nakonec je hodnost 2. NA{\ displaystyle A}

Dalším způsobem je výpočet zmenšené formy této matice. Tato nová matice má stejnou hodnost jako původní matice a hodnost odpovídá počtu jejích řádků, které jsou nenulové. V tomto případě máme dva řádky, které odpovídají tomuto kritériu.

NA′=(1023011000000000){\ displaystyle A '= {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ konec {pmatrix}}}

Všimněte si, že hodnost dané matice se rovná hodnosti její transpozice . Například si vezmeme transpozici matice A výše:

tNA=(1201002224243603){\ displaystyle ^ {\ text {t}} A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 a 3 \\\ end {pmatrix}}}

Je patrné, že 4 th  linka je třikrát první, a že třetí řádek je druhý alespoň dvakrát první.

Po změně měřítka tedy získáme:

(1201001100000000){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix} }}

a hodnost této matice je skutečně 2.

Hodnost kvadratické formy

Hodnost kvadratické formy je hodnost přidružené matice.

Pořadí lineární mapy

Vzhledem k tomu, dva -vector prostory , kde je komutativní těleso, a lineární mapování ze v řadě z je velikost obrazu z . K.{\ displaystyle K}E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}K.{\ displaystyle K}F{\ displaystyle f}E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}F{\ displaystyle f}F{\ displaystyle f}

Pokud a jsou konečnými rozměry, to je také hodnost matrice spojené s dvěma bázemi o a . Zejména pořadí matice spojené s nezávisí na bázích vybraných k reprezentaci . Ve skutečnosti, násobení doprava nebo doleva pomocí regulární matice nemění hodnost, což vede , kde je matrice představující v prvním párem bází, a , z nezměněné matrice . E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}F{\ displaystyle f}E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}F{\ displaystyle f}F{\ displaystyle f}rg(P-1NAQ)=rg(NA){\ displaystyle {\ text {rg}} \ left (P ^ {- 1} AQ \ right) = {\ text {rg}} (A)}NA{\ displaystyle A}F{\ displaystyle f}P{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}

Pořadí rodiny vektorů

• U rodiny odpovídá její pozice maximálnímu počtu vektorů, které může obsahovat volná podrodina této rodiny.
• Pořadí lze také definovat rodinu jako: .u{\ displaystyle u}rg(u)=slunce⁡(Vect(u)){\ displaystyle {\ text {rg}} (u) = \ dim ({\ text {Vect}} (u))}

Poznámka: je-li rodina vektorů indexovaných celými čísly od 1 do , pak je hodnost hodnost lineární mapy(u1,...,une){\ displaystyle (u_ {1}, \ tečky, u_ {n})}ne{\ displaystyle n}u{\ displaystyle u}

K.ne→E:(r1,...,rne)↦∑riui{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n} \ rightarrow E: (r_ {1}, \ dots, r_ {n}) \ mapsto \ sum r_ {i} u_ {i}} kde je pole skalárů. Důvod je: je obraz této lineární aplikace. K.{\ displaystyle \ mathbb {K}}Vect(u){\ displaystyle {\ text {Vect}} (u)}

Vlastnosti

Nechť A, B a C jsou matice.

• Frobeniova nerovnost  :rg(NAB)+rg(BVS)≤rg(NABVS)+rg(B){\ displaystyle {\ text {rg}} (AB) + {\ text {rg}} (BC) \ leq {\ text {rg}} (ABC) + {\ text {rg}} (B)}

Demonstrace

Obecněji, v případě tří lineárních map (mezi vektorovými prostory, jejichž rozměry nejsou nutně konečných) , a , máme protože kanonické morfismus z v vyvolané je surjektivní . vs.:E→F{\ displaystyle c: E \ rightarrow F}b:F→G{\ displaystyle b: F \ rightarrow G}na:G→H{\ displaystyle a: G \ rightarrow H}rg(na∘b)+rg(b∘vs.)≤rg(na∘b∘vs.)+rg(b){\ displaystyle {\ text {rg}} (a \ circ b) + {\ text {rg}} (b \ circ c) \ leq {\ text {rg}} (a \ circ b \ circ c) + { \ text {rg}} (b)} im(b)im(b∘vs.){\ displaystyle {\ frac {{\ text {im}} (b)} {{\ text {im}} (b \ circ c)}}}im(na∘b)im(na∘b∘vs.){\ displaystyle {\ frac {{\ text {im}} (a \ circ b)} {{\ text {im}} (a \ circ b \ circ c)}}} na{\ displaystyle a}

• (Zvláštní případ) Sylvesterova nerovnost  : pokud má sloupce a má řádky, pakNA{\ displaystyle A}ne{\ displaystyle n}B{\ displaystyle B}ne{\ displaystyle n}rg(NA)+rg(B)-ne≤rg(NAB){\ displaystyle {\ text {rg}} (A) + {\ text {rg}} (B) -n \ leq {\ text {rg}} (AB)}

• Věta o umístění  : lineární mapa in ,F{\ displaystyle f}E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}slunce⁡(E)=rg(F)+slunce⁡(Ker(F)){\ displaystyle \ dim (E) = {\ text {rg}} (f) + \ dim ({\ text {Ker}} (f))}
• Transponovaná matice a transponovaná mapa  : arg(tNA)=rg(NA){\ displaystyle {\ text {rg}} (^ {\ mathrm {t}} A) = {\ text {rg}} (A)}rg(tF)=rg(F){\ displaystyle {\ text {rg}} (^ {\ mathrm {t}} f) = {\ text {rg}} (f)}
• Produkt matic a složení lineárních aplikací  : a  ; zejména - podle složení vlevo nebo vpravo podle identity - pořadí lineární mapy v je menší nebo rovno arg(BNA)≤min(rg(B),rg(NA)){\ displaystyle {\ text {rg}} (BA) \ leq \ min ({\ text {rg}} (B), {\ text {rg}} (A))}rg(G∘F)≤min(rg(G),rg(F)){\ displaystyle {\ text {rg}} (g \ circ f) \ leq \ min ({\ text {rg}} (g), {\ text {rg}} (f))}E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}slunce⁡(E){\ displaystyle \ dim (E)}slunce⁡(F){\ displaystyle \ dim (F)}
• Sčítání :, s rovností tehdy a jen tehdy, když se obrazy a protínají pouze na nule a obrázky transponované a protínají se pouze na nule.rg(NA+B)≤rg(NA)+rg(B){\ displaystyle {\ text {rg}} (A + B) \ leq {\ text {rg}} (A) + {\ text {rg}} (B)}NA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}tNA{\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} A}tB{\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} B}
• Hodnost rodiny vektorů je neměnná elementární operací .
• Dvě matice jsou ekvivalentní, právě když mají stejnou hodnost.
• Žádost o hodnocení, od v , je níže polokontinuální .Mm,ne(R){\ displaystyle M_ {m, n} (\ mathbb {R})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
• Největší uzavřenou konvexní funkce , která snižuje hodnost na míč , kde (jsme zaznamenali vektor singulárních hodnot z ) je omezení na tuto kouli v jaderné normy . Přesněji řečeno, pokud budeme definovat tím , kde je indikatrix of , pak jeho biconjugate je napsán . Bez omezení hodnosti na množinu získáme identitu malého použití.B: ={NA∈Rm×ne∣‖NA‖≤1}{\ displaystyle {\ mathcal {B}}: = \ {A \ in \ mathbb {R} ^ {m \ krát n} \ střední \ levá \ | A \ pravá \ | \ leq 1 \}}‖NA‖: =max{‖NAX‖2∣‖X‖2≤1}=‖σ(NA)‖∞{\ displaystyle \ left \ | A \ right \ |: = \ max \ {\ left \ | Axe \ right \ | _ {2} \ mid \ left \ | x \ right \ | _ {2} \ leq 1 \ } = \ | \ sigma (A) \ | _ {\ infty}}σ(NA){\ displaystyle \ sigma (A)}NA{\ displaystyle A} ‖⋅‖∗{\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {*}}F:Rm×ne→R¯{\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m \ krát n} \ do {\ overline {\ mathbb {R}}}}F=rg+JáB{\ displaystyle f = {\ operatorname {rg}} + {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}JáB{\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}F∗∗=‖⋅‖∗+JáB{\ displaystyle f ^ {**} = \ left \ | \ cdot \ right \ | _ {*} + {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}rg∗∗=0{\ displaystyle \ operatorname {rg} ^ {**} = 0}

Případ, kdy pole skalárů není komutativní

Ve výše uvedeném případě jsme předpokládali, že pole skalárů je komutativní. Můžeme rozšířit pojem hodnosti matice na případ, kdy pole skalárů nemusí být nutně komutativní, ale definice je trochu delikátnější.

Dovolit být nutně komutativní pole a matice s m řádky an sloupců s koeficienty v . Říkáme hodnost z (vzhledem k ) rozměru subspace generovaného sloupce v opatřena svou strukturou -vector prostoru na pravé straně . Dokazujeme, že pořadí je také rovno dimenzi podprostoru generovaného řádky v, jehož struktura K-vektorového prostoru je vlevo . K.{\ displaystyle K}M{\ displaystyle M}K.{\ displaystyle \ mathbb {K}}M{\ displaystyle M}K.{\ displaystyle K}M{\ displaystyle M}K.m{\ displaystyle K ^ {m}}K.{\ displaystyle K}M{\ displaystyle M}M{\ displaystyle M}K.ne{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}

Vezměme si například nekomutativní pole K a matici , kde a jsou dva prvky, které nedojíždí (tyto prvky proto nejsou nulové). NA: =(na1vs.navs.){\ displaystyle A: = {\ begin {pmatrix} a & 1 \\ ca & c \\\ end {pmatrix}}}na{\ displaystyle a}vs.{\ displaystyle c}K.{\ displaystyle K}

Dvě čáry této matice jsou lineárně příbuzné ve vektorovém prostoru vlevo , protože . Podobně jsou dva sloupce spojené ve vektorovém prostoru vpravo , protože . Hodnost matice je tedy rovna 1. K.2{\ displaystyle K ^ {2}}vs.(na,1)-(vs.na,vs.)=(0,0){\ displaystyle c (a, 1) - (ca, c) = (0,0)} K.2{\ displaystyle K ^ {2}}(na,vs.na)-(1,vs.)na=(0,0){\ displaystyle (a, ca) - (1, c) a = (0,0)}

Na druhou stranu dva sloupce nejsou propojeny ve vektorovém prostoru vlevo . Skutečně, buďme a buďte skaláři takoví . Pak (první komponenty) , tedy (druhé komponenty) . Protože a předpokládá se, že se nepřepne, výsledkem bude (vynásobte, abychom získali rozpor) a náš výsledek je . Dokázali jsme tedy, že dva sloupce matice jsou ve vektorovém prostoru vlevo lineárně nezávislé . K.2{\ displaystyle K ^ {2}}d{\ displaystyle d}E{\ displaystyle e}d(na,vs.na)+E(1,vs.)=(0,0){\ displaystyle d (a, ca) + e (1, c) = (0,0)}E=-dna{\ displaystyle e = -da}dvs.na-dnavs.=0{\ displaystyle dca-dac = 0}na{\ displaystyle a}vs.{\ displaystyle c}d=0{\ displaystyle d = 0}d-1{\ displaystyle d ^ {- 1}}E=-dna{\ displaystyle e = -da}E=0{\ displaystyle e = 0} K.2{\ displaystyle K ^ {2}}

Poznámky a odkazy

1. (in) G. Marsaglia a GPH Styan, „  Kdy je hodnocení ( A + B ) = hodnocení ( A ) + hodnocení ( B )?  ” , Canadian Mathematical Bulletin , sv.  15,1972, str.  451-452 ( číst online ).
2. (in) Mr. Fazel, Matrix minimization with applications PhD Thesis. Katedra elektrotechniky , Stanford University ,2002.
3. Tato vlastnost zasahuje do problémů, kde se člověk snaží získat šetrné objekty minimalizací pořadí (například při kompresi obrázků). Hodnost, která je funkcí s celočíselnými hodnotami, a proto je obtížné ji minimalizovat, někdy dává přednost konvexní aproximaci problému, který spočívá v minimalizaci jaderné normy.
4. Definice odpovídá N. Bourbaki, Algebra , část I, Paříž, Hermann, 1970, s. II.59, definice 7.
5. Viz N. Bourbaki, Algebra , část I, Paříž, Hermann, 1970, s. II.59, prop. 10 a odstavec následující po předvedení tohoto návrhu.

Související články

• Pořadí skupiny
• Pořadí abelianské skupiny  (v)
• Pořadí bezplatného modulu