V matematice se členství je vztah není symetrický mezi sadami nebo obecněji mezi objekty a třídami . Píšeme tak, že objekt patří do třídy .
V obvyklé teorii množin : axiom roztažnosti určuje, že každá množina je charakterizována prvky, které k ní patří; axiom založení uvádí, že vztah členství je opodstatněný , která zejména zakazuje, že celek může být jedním z prvků sám o sobě ( antireflexivity ); příslušnost není přechodná , na rozdíl od inkluzního vztahu .
Symbol zavedl Giuseppe Peano v roce 1889 v Arithmetices principia, nova methodo exposita (en) (strana X):
"Signum významný význam." Ita a legit b legitur a je quoddam b; ... “
Je to epsilon , první písmeno třetí osoby singulárního ἐστί slovesa „být“ ve starořečtině. Jeho hláskování odpovídá pravopisu převládajícímu v kontinentální Evropě v době Peana. Peano však také použije symbol ε.
Relace původně zněla „ je jedna “. Tato formulace přetrvává dodnes do určité míry, například když se překládá jako „ je přirozené číslo “.
V obecném případě dnes zní „ patří k “, „ je prvek “ nebo „ je v “.
Reciproční vztah , méně používaný, zní „ obsahuje “, „ rozumí “ nebo „ má “. Termín obsahuje má tu nevýhodu, že nejednoznačný, které mohou také představovat začlenění . Používání vlastních , jak doporučuje Gérard Debreu , zdůrazňuje, že zdůraznění, že vlastní je přirozenou symetrií patřící , se tomuto problému vyhne. Jiní autoři, například Paul Halmos nebo George Boolos , doporučují místo toho vždy k překladu použít „ obsahuje “ a pro „ obsahuje “ . A konečně, většina autorů, například Nicolas Bourbaki , jednoduše nepoužívá tento vzájemný vztah a systematicky obrací své věty tak, aby mohli používat „ patří k “ nebo „ je prvek “.
V latex : je psáno pomocí příkazu "\ in", což znamená v anglicky; je psán pomocí jednoho z ekvivalentních příkazů „\ ni“ a „\ owns“, respektive obráceně „\ in“ a má v angličtině.
V programovacím jazyce Haskell, který připouští definici seznamů s porozuměním, je uvedeno členství <-.
Historická definice daná Cantorem v roce 1895 byla následující:
"Sada je sbírka M předmětů vyplývající z naší intuice nebo naší myšlenky (kterou budeme nazývat prvky M ), považovaná za celek." "
Tato poněkud nejasná definice nám již umožňuje představit intuitivní verzi teorie množin . Viz články Ensemble and Naive Set Theory .
Například, je-li M = {1,2,3}, 1, 2 a 3 jsou prvky M .
Je třeba dbát na to, aby nedošlo k záměně pojmu „prvek“ a „ podmnožina “; v předchozím příkladu jsou {1,2} a {3} mimo jiné podmnožinami M, ale nejsou jejich prvky.
Současné prezentace teorie množin ji popisují jako rovnostářskou teorii prvního řádu zahrnující kromě rovnosti = jediný binární predikát , členství . V tomto přístupu je věta „ x je prvek z M “ je pouze verbalizace podle vzorce .
Nejvíce obecně přijímaným formalismem je formálnost Zermelo-Fraenkel .
Felix Hausdorff poznamenává, že tento přístup nepředstavuje definici z dřívějšího konceptu, ale je výchozím bodem pro formalizaci velké části matematiky:
"Můžeme vznést námitku, že jsme definovali idem per idem nebo dokonce temnotu per obscurius ." Musíme vzít v úvahu, že zde neexistuje definice, ale proces výstavy, odkaz na primitivní koncept známý všem […]. "
Ve výrazu
písmeno M často označuje sadu . To předpokládá zejména výše uvedená formální prezentace.
Příliš naivní teorie množin vedoucích ke slavným paradoxům je někdy užitečné uvažovat o vztahu příslušnosti prvku x k objektu M, který není množinou, ale třídou . To je například případ teorie kategorií ; v této souvislosti se však x nazývá spíše „objektem“ než „prvkem“.
Ve třídním formalismu nejběžněji používané teorie, Zermelo-Fraenkelova teorie množin , se třídy ztotožňují s unárními predikáty jazyka. Říct, že x je prvek třídy M odpovídající predikátu P, je prostě jiný způsob, jak říci: „ P (x) “.
[není jasné]Symbol členství „∈“ je matematický symbol zavedený Giuseppe Peano pro členství v teorii množin . Jeho pravopis odpovídá v té době řeckému písmenu epsilon v kontinentální Evropě.
Existuje malá verze a přeškrtnutá verze a tyto tři znaky mají také kódování Unicode obrácené zprava doleva.
Příjmení | Unicode | Html | Latex | ||
---|---|---|---|---|---|
patří | ∈ | 2208 | & isin; | \in | |
nepatří | ∉ | 2209 | & ne v; | \notin | |
malý patří | ∊ | 220A | |||
obsahuje jako prvek | ∋ | 220B | &nebo; | \ni nebo \owns | |
neobsahuje jako prvek | ∌ | 220 ° C | \not\ni nebo \not\owns | ||
malý obsahuje podobný prvek | ∍ | 220D |
Tento symbol se používá jako název sbírky poezie vydané Jacquesem Roubaudem v roce 1967 . Pro autora je to také „rozšířením, symbol sounáležitosti se světem„ bytí ve světě “. "