Integrální exponenciál

V matematice je integrální exponenciální funkce , obvykle označovaná Ei , definována:

Ei:{R∗→RX↦Ei(X)=-∫-X∞E-ttdt=∫-∞XEttdt.{\ displaystyle {\ mbox {Ei}}: {\ begin {cases} \ mathbb {R} ^ {*} \ to \ mathbb {R} \\ x \ mapsto {\ mbox {Ei}} (x) = - \ int _ {- x} ^ {\ infty} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- t}} {t}} \, \ mathrm {d} t \, = \ int _ {- \ infty} ^ {x} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {t}} {t}} \, \ mathrm {d} t. \ end {cases}}}

Vzhledem k tomu, integrál z inverzní funkce ( ) diverguje při 0 ° C, tato definice je třeba chápat, pokud je x > 0 , jako hlavní hodnota Cauchy . t↦1t{\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {1} {t}}}

Spojení s integrálním logaritmem

Funkce Ei souvisí s funkcí li ( integrální logaritmus ) podle:

Ei(X)=li⁡(EX).{\ displaystyle {\ rm {Ei}} (x) = \ operatorname {li} \ left (\ mathrm {e} ^ {x} \ right).}

Sériový vývoj Ei

Integrální exponenciál má pro sériový vývoj  :

Ei(X)=y+ln⁡|X|+∑k=1∞Xkk⋅k!,{\ displaystyle {\ mbox {Ei}} (x) = \ gamma + \ ln | x | + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {k \ cdot k!}},}

kde γ je Euler-Mascheroniho konstanta .

Funkce E n

Integrální exponenciál souvisí s jinou funkcí označenou E 1 definovanou pro x > 0 pomocí:

E1(X)=∫X∞E-ttdt=-∫-∞-XEttdt.{\ displaystyle {\ rm {E}} _ {1} (x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {{{\ rm {e}} ^ {- t}} {t} } \, \ mathrm {d} t = - \ int _ {- \ infty} ^ {- x} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {t}} {t}} \, \ mathrm {d } t.}

Pak máme vztah pro x > 0  :

Ei(-X)=-E1(X).{\ displaystyle {\ rm {Ei}} (- x) = - {\ rm {E}} _ {1} (x).}

Tyto dvě funkce jsou vyjádřeny z hlediska celé funkce definované:

Eine(X)=∫0X(1-E-t)dtt=∑k=1∞(-1)k+1Xkkk!.{\ displaystyle {\ rm {Ein}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} (1 - {\ rm {e}} ^ {- t}) \, {\ frac {\ mathrm {d } t} {t}} = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k + 1} x ^ {k}} {k \; k!}}. }

Ve skutečnosti můžeme ukázat, že pro x > 0:

E1(X)=-y-ln⁡(X)+Eine(X){\ displaystyle {\ rm {E}} _ {1} (x) = - \ gamma - \ ln (x) + {\ rm {Ein}} (x)}

a

Ei(-X)=y+ln⁡X-Eine(X).{\ displaystyle {\ rm {Ei}} (- x) = \ gamma + \ ln x - {\ rm {Ein}} (x).}

Vztah uvedený pro E 1 umožňuje rozšířit tuto funkci na jakoukoli jednoduše připojenou otevřenou funkci komplexní roviny neobsahující 0, a to stanovením logaritmu v této rovině. Obecně bereme jako otevřenou soukromou komplexní rovinu přísně negativních skutečností.

Obecněji definujeme pro každé striktně kladné celé číslo n funkci E n pomocí:

Ene(X)=∫1∞E-Xttnedt=E-XX∫0∞E-t(1+tX)nedt=E-X∫0∞E-Xt(1+t)nedt{\ displaystyle {\ rm {E}} _ {n} (x) = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {{{\ rm {e}} ^ {- xt}} {t ^ {n}}} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- x}} {x}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac { {\ rm {e}} ^ {- t}} {\ left (1 + {\ frac {t} {x}} \ right) ^ {n}}} \, \ mathrm {d} t = {\ rm {e}} ^ {- x} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- xt}} {(1 + t) ^ {n}}} \ , \ mathrm {d} t}

Tyto funkce souvisí s relací:

Ene(X)=E-XX-neXEne+1(X){\ displaystyle \ mathrm {E} _ {n} (x) = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- x}} {x}} - {\ frac {n} {x}} \ mathrm {E} _ {n + 1} (x)}

Výpočet E 1

Funkce E 1 nemá výraz používající obvyklé elementární funkce, podle věty způsobené Liouvilleem . Pro výpočet E 1 ( x ) s dvojnásobnou přesností lze použít různé metody .

Pro x mezi 0 a 2,5

My máme :

E1(z)=-y-ln⁡z+∑k=1∞(-1)k+1zkkk!(|arg⁡z|<π).{\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}} \ vlevo (z \ vpravo) = - \ gamma - \ ln z + \ součet _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ { k +1} z ^ {k}} {k \; k!}} \ Qquad \ left (\ left | \ arg z \ right | <\ pi \ right).}

Tuto konvergentní řadu lze teoreticky použít k výpočtu E 1 ( x ) pro libovolné reálné x > 0, ale při operacích s plovoucí desetinnou čárkou je výsledek nepřesný pro x > 2,5 kvůli ztrátě relativní přesnosti při odečítání čísel různých řádů.

Pro x > 40

Existuje divergentní řada umožňující přiblížit E 1 pro velké hodnoty Re ( z ) , získané integrací po částech , což dává následující asymptotický vývoj :

E1(z)=exp⁡(-z)z∑ne=0NE-1ne!(-z)ne+NE!(-z)NEENE+1(z){\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}} (z) = {\ frac {\ exp (-z)} {z}} \ součet _ {n = 0} ^ {N-1} {\ frac {n! } {(- z) ^ {n}}} + {\ frac {N!} {(- z) ^ {N}}} \ mathrm {E} _ {N + 1} (z)}

s kdy z přístupů . ENE+1(z)=Ó(E-z){\ displaystyle \ mathrm {E} _ {N + 1} (z) = o ({\ rm {e}} ^ {- z})}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Aby byla zajištěna 64bitová přesnost (dvojitá přesnost), musí být použita hodnota N = 40 .

Reference

1. (in) Norman Bleistein a Richard A. Handelsman , Asymptotic Expansions of Integrals , Dover ,1975, 425  s. ( ISBN  978-0-486-65082-1 , číst online ) , s.  3.

(en) Milton Abramowitz a Irene Stegun , Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami [ podrobnosti vydání ] ( číst online ), str. 228-230

Podívejte se také

• Integrální kosinus
• Integrální sinus
• Neúplná funkce gama
• Funkce Bickley-Naylor