V geometrii je sinus z úhlu v pravoúhlého trojúhelníku je poměr délky straně protilehlé ke straně úhlu k délce přepony . Pojem se vztahuje také na jakýkoli geometrický úhel (mezi 0 a 180 °). V tomto smyslu je sinus číslo mezi 0 a 1. Pokud zavedeme pojem orientace, úhly mohou nabývat jakékoli kladné nebo záporné hodnoty a sinus je číslo mezi −1 a +1. Sinus úhlu α se označuje sin ( α ) nebo jednoduše sin α .
V analýze je funkce sinus je funkcí reálné proměnné, která s každou skutečnou a, sdružuje sinus orientovaného úhlu měření alfa radiánech . Je to zvláštní a periodická funkce . Tyto goniometrické funkce mohou být definovány jako geometricky, ale většina moderních definice vyznačuje výkonových řad , nebo jako řešení diferenciálních rovnic speciality, což umožňuje jejich rozšíření na libovolných hodnot a komplexních čísel .
Funkce sinus je běžně používán pro modelování na periodické jevy , jako jsou zvukové vlny nebo světlo nebo změn teploty v průběhu roku.
Slovo sinus je latinské slovo označující mimo jiné dutinu nebo kapsu. Je to chyba překladu, která byla přičítána délce jedné ze stran pravého trojúhelníku. Matematická představa má svůj původ v pojmech jyā a koṭi-jyā (en) , používaných v indické astronomii během období Gupta (v pojednání Surya Siddhanta ). Na rozdíl od řecké geometry, jako Claudius Ptolemaios , který se sestavou trigonometrických tabulek výpočtu délky řetězce subtended obloukem, indičtí matematici rozhodnout o použití half-string, ardha-jyās nebo ardha-Jiva v sanskrtu. , Brzy zkrácena na jya nebo jiva , který také v závislosti na kontextu označuje celý akord.
V VIII -tého století, Arabové přeložil indické texty. Přeložili slovo jiva pro celý řetězec do wataru , ale ponechali indické slovo jiva, aby označili poloviční řetězec, arabizovaný jako جِيبٌ jib nebo jaib . K XII th století, arabské díla byla přeložena do latiny, a latinských překladatelů, přičemž slovo جيب Jaib pro jmenovec arabského slova pro dutiny nebo zaniknout v oděvu, přeložil do latinského slova, která má největší smysl, blízký, dutin .
Sinus neorientovaného ostrého úhlu měření α (ve stupních mezi 0 a 90 °, v radiánech mezi 0 aπ2, ve stupních mezi 0 a 100 gr) je kladné reálné číslo mezi 0 a 1. Může být definováno v libovolném pravém trojúhelníku, z nichž jeden z jiných než pravého úhlu má míru α .
Boky pravého trojúhelníku se nazývají:
Poznamenáme:
h : délka přepony; o : délka opačné strany.Tak :
.Tento poměr nezávisí na konkrétním pravém trojúhelníku zvoleném s úhlem měření α , protože všechny tyto pravé trojúhelníky jsou podobné .
V libovolném trojúhelníkuV libovolném trojúhelníku se sinus úhlu ABC rovná poměru výšky od A k délce BA. Rovná se také poměru výšky vyplývající z C délkou BC: .
Sinus tupého úhlu se tedy rovná sinu dodatečného úhlu.
Znát sinus úhlu umožňuje vypočítat plochu trojúhelníku: .
Naopak sinus úhlu lze vypočítat, jakmile známe strany a plochu trojúhelníku ( plochu trojúhelníku lze vypočítat podle Heronova vzorce nebo díky součinnému součinu ): .
Sinusy tří úhlů trojúhelníku jsou spojeny podle zákona sinusů . Označíme-li se , b a c na stranách protilehlých vrcholů A, B a C, a R poloměr kruhu vymezen na trojúhelník, máme: .
Historické památkyTrigonometrické tabulky se používají ve starověku, Mezopotámii , v Řecké říši a na Indickém poloostrově , ve sférické trigonometrii pro astronomické výpočty. Pro ně jde o délky spojené s oblouky kruhů, jejichž poloměr je dán. První tabulky používají akord oblouku kruhu. Jeden z tabulek byla vypočítána Hipparchus v II -tého století před naším letopočtem. AD , ale žádná kopie se k nám nedostala. To Claude Ptolémée se objeví v jeho Almagest a jeho zpracování by mohlo být inspirován Hipparchos. Indové také začínají prací na řetězcových stolech, které nazývají jya nebo jiva . Poté dávají přednost práci na nové veličině, která je pro výpočty jednodušší a která odpovídá půlkordu dvojitého luku. Nazývají tuto veličinu ardha-jya neboli poloviční strunu, poté se pro poloviční strunu dvojitého luku postupně vyžaduje termín jya . Termín pak přijali Arabové, kteří jej přepsali na džibu, z níž se vyvinul džib . Během překladu arabských spisů Gérarda de Cremona prochází tento termín finální úpravou: Gérard de Cremona jej zaměňuje s arabským výrazem stejné konsonance, který má význam „prsa“, „rukojeť“ nebo „dutina“, a proto jej překládá odpovídajícím latinským slovem sinus .
První sinusové stoly známé jsou ty Siddhantas včetně Surya Siddhanta (konec IV th století brzy V th století) a ti Aryabhata VI th století . Aryabhata předpokládá, že pro 24 -tého části kvadrantu, můžeme zaměnit délku oblouku a dutin. Třetí ze čtvrtiny kruhu odpovídá úhlu 30 ° , jehož sinus je zřejmý: poloměr. Chcete-li pak dostanete 24 th v kvadrantu, jednoduše rozdělit o 2 až 3 násobek původního úhlu. Aryabhata je díky Pythagorově větě schopna vypočítat sinus poloviny úhlu. Trvá kruh o poloměru 3 438, který vede, s hodnotou π použitou v té době (3,141 6) na kruh obvodu 21 600 (všimneme si, že plný úhel odpovídá 360 ° nebo 21 600 minutám). Dává pro tuto hodnotu poloměru 24 hodnot sinusů oblouků o délkách n × 225 . Indové také poskytují sinusové tabulky pro kruhy s poloměrem 60, 150, 120 ... Tento zvyk konstrukce sinusových tabulek odpovídajících kruhu, jehož poloměr, libovolně fixovaný, se nazývá „celkový sinus“, pokračuje v Evropě. Dokonce až do konce XVIII th století.
Sinus orientovaného úhlu měření α je reálné číslo mezi -1 a 1. Zde je rovina orientována v trigonometrickém směru .
Jednotka kruh je kruh o poloměru 1, u původu (0, 0) z souřadnicového systému karteziánské .
Vezměme si průsečík mezi půl přímkou pocházející z počátku, která vytváří úhel měření α s poloosou (O x ) , a jednotkovou kružnicí. Pak se vertikální složka tohoto průsečíku rovná sin ( α ) . Tato definice se shoduje s předchozí, když α je míra výběžného úhlu orientovaného v kladném směru, a odvozujeme to z předchozího tím, že si všimneme, že změna orientace úhlu vyvolá změnu znaménkového sinu.
Je možné přímo určit pomocí determinantu sinus orientovaného úhlu mezi dvěma vektory, jejichž souřadnice známe: pro a , máme: . Takovou rovnost lze prokázat, vezmeme-li jako samozřejmost trigonometrický vzorec sinusu rozdílu. Jen se ptám a všimněte si toho .
Pokud jsou orientované úhly měřeny v radiánech, funkce, která ke skutečnému α spojuje sinus orientovaného úhlu měření α radiánů, se nazývá sinusová funkce.
Pozorování geometrických vlastností orientovaných úhlů nám umožňuje odvodit identity sin (- α ) = −sin ( α ) (sinusová funkce je proto lichá ), sin ( α + π) = −sin ( α ) a sin ( α + 2π) = sin ( α ) (funkce sinus je proto periodická s periodou 2π).
Z celé sérieV analýze funkce sin je definována na množině ℝ z reálných čísel byla provedena série , které jsme ukázat, že konverguje na všech ℝ:
;ukážeme také, že tato definice se shoduje s předchozí definicí když jsou úhly měřeny v radiánech.
Periodicita, derivovatelnost a kontinuita jsou pak stanoveny teorií řad , stejně jako Eulerovy vzorce v komplexní analýze spojující trigonometrické funkce s exponenciální funkcí , stejně jako Eulerova identita . Tato definice se často používá jako výchozí bod v pečlivých pojednáních o analýze a umožňuje definici čísla π .
Definice pomocí řady umožňuje rozšířit sinusovou funkci na analytickou funkci v celé komplexní rovině .
Jako řešení diferenciální rovnicePředchozí celá řada je jedinečným řešením Cauchyova problému :
,což tedy představuje ekvivalentní definici sinusové funkce.
Goniometrické funkce nejsou bijektivní (ani injektivní , protože jsou periodické ); nepřipouštějí proto vzájemné výpovědi . V omezujících určitých intervalech od odjezdu a příjezdu , goniometrické funkce může realizovat bijekce. Reciproční aplikace arcsin je definována:
pro všechna reálná x a y :
kdyby a jen kdyby
.Funkce arcsin je tedy bijekce z [–1, 1] na [–π / 2, π / 2] a splňuje
a
. DerivátDerivát z funkce sinus je kosinus funkce :
.
Tato vlastnost je bezprostřední u definic z celočíselných řad funkcí sinus a kosinus. Dedukujeme zejména to .
Naopak lze tuto hranici odvodit z geometrické definice (viz § „Limity“ ) a poté ji použít k výpočtu derivace.
IntegrálníPrimitivní z hříchu je -cos , který je psáno: Jinými slovy : pro všechny x 0 ,
,kde je „integrační konstanta“.
LimityHodnoty uvedené v tabulce níže odpovídají úhlům, pro které je možný výraz s druhou odmocninou, a přesněji pro které platí Wantzelova věta ; Další informace najdete v článku Minimální polynom speciálních trigonometrických hodnot .
x (úhel) | hřích x | y (další úhel) | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Stupně | Radiány | Hodnosti | Přesný | Desetinný | Stupně | Radiány | Hodnosti |
0 ° | 0 | 0 g | 0 | 0 | 180 ° | 200 g | |
15 ° | 16 2 / 3 g | 0,258819045102521 | 165 ° | 183 1 / 3 g | |||
18 ° | 20 g | 0,309016994374947 | 162 ° | 180 g | |||
30 ° | 33 1 / 3 g | 0,5 | 150 ° | 166 2 / 3 g | |||
36 ° | 40 g | 0,5877852523 | 144 ° | 160 g | |||
45 ° | 50 g | 0,707106781186548 | 135 ° | 150 g | |||
54 ° | 60 g | 0,809016994374947 | 126 ° | 140 g | |||
60 ° | 66 2 / 3 g | 0,866025403784439 | 120 ° | 133 1 / 3 g | |||
75 ° | 83 1 / 3 g | 0,965925826289068 | 105 ° | 116 2 / 3 g | |||
90 ° | 100 g | 1 | 1 |
Sine se používá k určení imaginární část o komplexního čísla z, uvedené v polárních souřadnicích , jeho modul r a jeho argumentu cp :
kde i označuje imaginární jednotku .
Pomyslná část z je
Zejména
Sinusy se složitým argumentemDefinice funkce sinus jako celé číslo série rozšiřuje, jak to je na komplexní argumenty Z a poskytuje funkci celé číslo :
nebo:
,kde sinh označuje hyperbolickou sinusovou funkci .
Někdy je užitečné vyjádřit to ve smyslu skutečné a imaginární části argumentu: pro x a y real,
Částečný zlomek a sériový vývoj komplexního sinusuZa použití techniky vyvíjet jednoduché součásti (v) v meromorfní funkce , je možné najít na nekonečnou řadu :
.Také jsme našli
.Pomocí techniky vývoje produktu můžeme odvodit
.Použití komplexního sinususin z se nachází v funkční rovnice pro funkci gamma , tzv komplement vzorec ,
který se zase nachází ve funkční rovnici pro Riemannovu funkci zeta ,
.Jako každá funkce holomorphic , sin z je harmonické , tj. Roztok dvourozměrného Laplaceovy rovnice :
.Složitá grafika
![]() |
![]() |
![]() |
skutečná část | imaginární část | modul |
![]() |
![]() |
![]() |
skutečná část | imaginární část | modul |
Neexistuje žádný standardní algoritmus pro výpočet sinu nebo kosinu; standard IEEE 754-2008 zejména žádné neposkytuje. Volba algoritmu je kompromisem mezi rychlostí, přesností a rozsahem vstupů, zejména možností výpočtu hodnoty pro velká čísla (velká před 2π radiány nebo 360 stupňů). Sériový vývoj se používá velmi málo, protože nefunguje dobře.
Jedna běžná metoda je předpočítat hodnoty a uložit je do vyhledávací tabulky ; hodnota vrácená funkcí je pak hodnota odpovídající nejbližšímu vstupu do pole, nebo lineární interpolace dvou hodnot obklopujících uvažovaný úhel. Tato metoda je široce používána pro generování 3D syntetických obrazů .
Vědecké kalkulačky obecně používají metodu CORDIC .
V určitém počtu případů implementované funkce vyjadřují vstupní úhel ve formě počtu půl otáček spíše než v radiánech (jedna půl otáčka je rovna π radiánům). Ve skutečnosti je π iracionální číslo , jeho hodnota proto představuje chyby zaokrouhlování bez ohledu na základnu; dopustíme se tedy menší vstupní chyby, když mluvíme o 0,25 polootáčce, než když mluvíme o π / 4 radiánech.