Gaussova kvadratická suma

V teorii čísel je gaussovský kvadratický součet určitým konečným součtem kořenů jednoty . Gaussovský kvadratický součet lze interpretovat jako lineární kombinaci hodnot komplexní exponenciální funkce s koeficienty danými kvadratickým znakem; pro obecný znak získáme obecnější Gaussovu sumu . Tyto objekty jsou pojmenovány po Carlu Friedrichovi Gaussovi , který je podrobně studoval a aplikoval je na kvadratické zákony vzájemnosti , kubické a bikvadratické (in) .

Definice

Nechť $p být$ liché prvočíslo a $mají$ o celé číslo . Potom je Gaussův součet $mod p$ , $g ( a ; p )$ , součet $p$ -tých kořenů následující jednotky:

{\ displaystyle g (a; p) = \ součet _ {n = 0} ^ {p-1} \ operatorname {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} an ^ {2} / p} = \ součet _ {n = 0} ^ {p-1} \ zeta _ {p} ^ {an ^ {2}}, \ quad \ zeta _ {p} = \ operatorname {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i } / p}}

Pokud $a$ není dělitelné $p$ , ekvivalentní výraz pro tento součet (který zjistíme hodnocením dvěma různými způsoby) je ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {p-1} \ left (1+ \ left ({\ frac {n} {p}} \ right) \ right) \ zeta _ {p} ^ {an }}$

{\ displaystyle G (a, \ chi) = \ součet _ {n = 0} ^ {p-1} \ chi (n) \ operatorname {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} an / p}}

Zde je symbol Legendre , což je kvadratický znakový $mód$ $str$ . Analogický vzorec s obecným znakem $χ$ místo symbolu Legendre definuje Gaussův součet $G$ $($ $χ$ $)$ . ${\ displaystyle \ chi (n) = \ vlevo ({\ frac {n} {p}} \ vpravo)}$

Vlastnosti

Hodnota Gaussova součtu je algebraický celé číslo v p- th cyclotomic prodloužení Q ( ζ p ).
Vyhodnocení Gaussova součtu lze snížit na případ $a = 1$ : ${\ displaystyle g (a; p) = \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) g (1; p)}$ .
Přesná hodnota Gaussova součtu vypočítaná Gaussem je dána vzorcem ${\ displaystyle g (1; p) = \ součet _ {n = 0} ^ {p-1} \ operatorname {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} n ^ {2} / p} = {\ start {cases} {\ sqrt {p}} & p \ equiv 1 \ mod 4 \\\ mathrm {i} {\ sqrt {p}} & p \ equiv 3 \ mod 4. \ end {cases}}}$

Rovnost bylo snadné prokázat a vedlo Gaussa k jednomu z jeho důkazů zákona kvadratické vzájemnosti. Určení znaménka Gaussovy sumy se však ukázalo být mnohem obtížnější: Gauss mohl tento výsledek stanovit až po několika letech práce. Později Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Leopold Kronecker , Issai Schur a další matematici o tom podali různé důkazy.

{\ displaystyle g (a; p) ^ {2} = \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right) p}

Zobecněné Gaussovy kvadratické částky

Buď , $b$ a $c$ z přirozených čísel . Zobecněné Gaussian součet $G$ $($ $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ je definován

{\ displaystyle G (a, b, c) = \ součet _ {n = 0} ^ {c-1} \ exp \ left (2 \ pi \ mathrm {i} {\ frac {an ^ {2} + bn } {c}} \ vpravo)}

Klasický Gaussův součet je součet . ${\ displaystyle G (a, c) = G (a, 0, c)}$

Vlastnosti

Gaussovský součet G ( a , b , c ) závisí pouze na třídách a a b modulo c .
Gaussova částky jsou multiplikativní v následujícím smyslu: vzhledem k tomu, přirozená čísla , b , c a d tak, že gcd ( c , d ) = 1, máme G ( a , b , cd ) = G ( ac , b , d ) G ( ad , b , c ). To je přímý důsledek čínské věty o zbytku .
Máme $G ( a , b , c ) = 0,$ pokud $pgcd ( a , c )> 1$ s výjimkou případů, kdy $pgcd ( a , c )$ dělí $b$ , v tom případě máme

{\ displaystyle G (a, b, c) = \ operatorname {pgcd} (a, c) \ cdot G \ left ({\ frac {a} {\ operatorname {pgcd} (a, c)}}, {\ frac {b} {\ operatorname {pgcd} (a, c)}}, {\ frac {c} {\ operatorname {pgcd} (a, c)}} \ vpravo)}

Při hodnocení Gaussových kvadratických součtů tedy můžeme vždy předpokládat pgcd ( a , c ) = 1.

Podívejme $se$ , $b$ a $c být$ celá čísla taková, že a $ac + b$ i. Máme následující analogii kvadratického zákona vzájemnosti pro Gaussovy sumy (ještě zobecněnější) ${\ displaystyle ac \ neq 0}$

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {| c | -1} \ operatorname {e} ^ {\ pi \ mathrm {i} (an ^ {2} + bn) / c} = | c / a | ^ {1/2} \ operatorname {e} ^ {\ pi \ mathrm {i} (| ac | -b ^ {2}) / (4ac)} \ sum _ {n = 0} ^ {| a | -1} \ operatorname {e} ^ {- \ pi \ mathrm {i} (cn ^ {2} + bn) / a}}

Nechť $m je$ liché pro jakékoli celé číslo . ${\ displaystyle \ varepsilon _ {m}: = {\ začátek {případů} 1 & m \ equiv 1 \ mod 4 \\\ mathrm {i} & m \ equiv 3 \ mod 4 \ end {případů}}}$

Hodnoty Gaussových součtů pro $b = 0$ a $pgcd ( a , c ) = 1$ jsou výslovně dány slavným Gaussovým vzorcem:

{\ displaystyle G (a, c) = G (a, 0, c) = {\ začátek {případů} 0 & c \ ekviv 2 \ mod 4 \\\ varepsilon _ {c} {\ sqrt {c}} \ left ({\ frac {a} {c}} \ right) & c \ {\ text {odd}} \\ (1 + i) \ varepsilon _ {a} ^ {- 1} {\ sqrt {c}} \ left ({\ frac {c} {a}} \ right) a \ {\ text {odd}}, 4 \ mid c. \ end {cases}}}

kde je Jacobiho symbol . ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {c}} \ right)}$

Pro $b > 0$ můžeme ve většině případů snadno vypočítat Gaussovy sumy vyplněním čtverce . To se však v některých případech nezdaří (například když je $c$ sudé a $b$ liché), které lze relativně snadno vypočítat jinými prostředky. Například pokud je $c$ liché a $gcd ( a , c ) = 1$ , máme

{\ displaystyle G (a, b, c) = \ varepsilon _ {c} {\ sqrt {c}} \ cdot \ left ({\ frac {a} {c}} \ right) \ operatorname {e} ^ { -2 \ pi \ mathrm {i} \ psi (a) b ^ {2} / c}}

kde je číslo takové, že . Jako další příklad, pokud 4 rozděluje $c$ a pokud $b$ je liché a $gcd ($ $a$ $,$ $c$ $) = 1$ , pak $G$ $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $) = 0$ . Můžeme to dokázat například takto: vzhledem k multiplikativní vlastnosti gaussovských součtů stačí ukázat, že pokud $n$ $> 1$ a $a$ $,$ $b$ jsou lichá a $gcd ($ $a$ $,$ $c$ $) = 1$ . Pokud je $b$ liché, pak je sudé pro všechno . Podle Henselova lematu má rovnice pro všechna $q$ nanejvýš dvě řešení . U argumentu počet vezme každou sudou hodnotu přesně dvakrát. Vzorec geometrického součtu to pak ukazuje . ${\ displaystyle \ psi (a)}$ ${\ displaystyle 4 \ psi (a) a \ equiv 1 {\ bmod {c}}}$ ${\ displaystyle G (a, b, 2 ^ {n}) = 0}$ ${\ displaystyle an ^ {2} + miliard}$ ${\ displaystyle 0 \ leq n <c-1}$ ${\ displaystyle an ^ {2} + bn + q = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 ^ {n} \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle an ^ {2} + bn {\ bmod {c}}}$ ${\ displaystyle G (a, b, 2 ^ {n}) = 0}$

Pokud je $c$ liché a bez čtvercového faktoru a $gcd ( a , c ) = 1$ , pak

{\ displaystyle G (a, 0, c) = \ součet _ {n = 0} ^ {c-1} \ levý ({\ frac {n} {c}} \ pravý) \ operatorname {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} an / c}}

Pokud $c$ není na druhou, pak pravá strana zmizí, ale levá nikoli. Správný součet se často nazývá také kvadratická Gaussova suma.

Další užitečný vzorec je

G ( n , p k ) = pG ( n , p k -2 )

pokud k ≥ 2 ap je liché prvočíslo nebo pokud k ≥ 4 ap = 2.

Poznámky a odkazy

Věta 1.2.2 in BC Berndt, RJ Evans, KS Williams, Gauss a Jacobi Sums , John Wiley and Sons, (1998).

Podívejte se také

Související články

Bibliografie

(en) Kenneth Ireland a Michael Rosen , A Classical Introduction to Modern Number Theory , Springer-Verlag ,1990, 389 s. ( ISBN 978-0-387-97329-6 , číst online )
(en) Bruce C. Berndt , Ronald J. Evans a Kenneth S. Williams, Gauss a Jacobi Sums , New York / Chichester / Weinheim atd., John Wiley & Sons ,1998, 583 s. ( ISBN 0-471-12807-4 )
(en) Henryk Iwaniec a Emmanuel Kowalski (de) , teorie analytického čísla , AMS ,2004( ISBN 0-8218-3633-1 )

Externí odkaz

(en) Eric W. Weisstein , „ Gaussian Sum “ , na MathWorld