Příklady | |
V matematiky , je geometrická sekvence je sekvence z čísel , ve které každý termín umožňuje odvodit další prostřednictvím násobení konstantním faktorem názvem důvod . Geometrická posloupnost má tedy následující tvar:
Definici lze zapsat formou relace opakování , tj. Pro každé přirozené číslo n :
.Tento vztah je charakteristický pro geometrický postup, který se nachází například ve vývoji bankovního účtu se složeným úrokem nebo ve složení hudebních intervalů . Umožňuje také modelovat exponenciální růst (ve kterém je změna úměrná množství) procesem v diskrétním čase .
Geometrické sekvence splňují obecný vzorec pro výpočet termínů i pro související řady . Mohou být také použity k výpočtu konkrétních řešení pro vztahy lineární rekurence .
Geometrická posloupnost je privilegovaným nástrojem pro studium jevů s exponenciálním růstem nebo poklesem (jedná se o diskrétní ekvivalent exponenciální funkce ) nebo pro studium populací, jejichž velikost se zdvojnásobuje nebo snižuje na polovinu v intervalu. Konstantního času (období).
Příklad:Uhlík 14 14 C je atom radioaktivní jehož období nebo poločas T = 5730 let (asi 40 let). To znamená, že v případě odstavení systému (ukončení obchodu s vnějším světem) se množství uhlíku-14 snižuje o polovinu každých 5 730 let.
Pokud N je množství 14 C v systému, po T letech (T = 5 730 let) zbývají pouze N / 2 jádra 14 C. Na konci 2T zbývají pouze N / 4 jádra. Na konci 3T zůstalo pouze N / 8 jader. Pokud N n nazýváme množstvím jader 14 C na konci n period, posloupnost ( N n ) je geometrická s poměrem 1/2.Pozorujeme geometrické posloupnosti v přírodě. Například planetární systém HD 158259 má čtyři až šest planet, jejichž orbitální období téměř tvoří geometrickou posloupnost rozumu32.
Našli jsme geometrické sady v bankovním systému s výpočtem složeného úroku .
Příklad:Kapitál C 0 investovaný s 5% přináší po jednom roce úrok 0,05 × C 0 . Tyto úroky přidané ke kapitálu dávají nový kapitál C 1 = 1,05 × C 0 . Opakováním procesu každý rok vytvoříme geometrickou posloupnost poměru 1,05, protože C n + 1 = 1,05 × C n .
Vyskytují se také v muzikologii . Počínaje určitou počáteční frekvencí odpovídá posloupnost oktáv geometrickému postupu poměru 2 (směrem k výškám), posloupnosti čistých pětin (ty z Pythagorovy akordu ) geometrickému postupu poměru 3/2, posloupnosti půltónů temperované stupnice při geometrickém postupu rozumu dvanáctý kořen 2. Temperovaná stupnice používá pouze dvanáct čistých pětin, (3/2) 12 ≈ 129 746, které mají hodnotu „téměř“ 7 oktáv, 2 7 = 128, to znamená, že dvě geometrické sekvence stejné počáteční hodnoty, jedna z poměru 3/2 druhá z poměru 2, které se nemohou přesně shodovat v žádném bodě, se shodují přibližně pro tyto hodnoty.
Pokud K je komutativní pole - například ℝ (pole reálných čísel ) nebo ℂ (pole komplexů ) - a pokud je geometrická posloupnost K poměru q ∈ K, pak pro každé přirozené celé číslo n :
(včetně případů, kdy q a n jsou nula, s konvencí 0 0 = 1 ).
Geometrická posloupnost je tedy zcela určena údaji jeho prvního členu a jeho důvodem q .
Geometrickou posloupnost lze také definovat z libovolné pozice n 0 , tj. Pro všechna n ≥ n 0 , pomocí:
který sleduje stejný vztah opakování. Tento případ se přenese zpět na předchozí případ nastavením v n = u n 0 + n, které je geometrické se stejným důvodem jako u n z v 0 = u n 0 .
Budeme předpokládat, že u 0 není nula.
Tento odstavec se týká geometrických posloupností s hodnotami v ℝ.
V ℝ
Předpokládejme, bez újmy na obecnosti , u 0 = 1 .
Pokud q ≤ 0 redukuje na případ q ≥ 0 zkoumáním dvou podsekvencí sudých indexů a lichých indexů. Případy q = 0 a q = 1 jsou okamžité.
Poznámka: přechodem na druhou stranu můžeme odvodit každý z těchto dvou případů z druhého nebo upravit způsob jednoho tak, aby se druhý restartoval přímo.
V ℂ
Uvažujeme zde sekvence s hodnotami v ℝ.
Ukazuje se ( binomickým vzorcem nebo nerovností Bernoulli ), že pro každé celé číslo n a jakékoli skutečné t kladné . Tato nerovnost umožňuje potvrdit, že geometrická posloupnost důvodu 1 + t a prvního členu a roste rychleji než aritmetická posloupnost důvodu a × t . Nicméně, v praxi, pro malé hodnoty T a přiměřené hodnoty pro n , tyto dvě sekvence jsou téměř stejné. Tato aproximace je matematicky ospravedlněna omezeným vývojem řádu 1, když t má tendenci k 0: což poskytuje aproximaci .
Ilustrace s a = 1000 at = 0,004, tj. Důvod a × t = 4:
ne | aritmetický postup | geometrická posloupnost |
0 | 1000 | 1000 |
1 | 1004 | 1004 |
2 | 1008 | 1,008,016 |
3 | 1012 | 1012 048 |
4 | 1016 | 1016 096 |
5 | 1020 | 1020161 |
6 | 1024 | 1024,241 |
7 | 1028 | 1028 338 |
8 | 1032 | 1032452 |
9 | 1036 | 1036 581 |
10 | 1040 | 1040,728 |
11 | 1044 | 1 044 891 |
12 | 1048 | 1049 070 |
Tato aproximace umožňuje finanční využití jako měsíční úroková sazba na 12 -tého meziroční tempo t , místo braní přesnou hodnotu ; čím nižší rychlost, tím lepší.
Součtu první n + 1 Podmínky geometrické posloupnosti ( u k ), k ∈ ℕ o poměr q ≠ 1 ověří: ( pro důkazy viz článek Geometrická řada , část Obecný termín ).
Když q = 1, posloupnost je konstantní a u 0 +… + u n = ( n +1) u 0 .
Vzorec lze zobecnit z libovolného pořadí m , přičemž posloupnost ( u m + k ) k ∈ ℕ je také geometrická. Obecněji, pokud posloupnost ( u k ) sleduje geometrický postup mezi m a n , který má tedy délku n - m + 1, máme následující vzorec, když se důvod q liší od 1:
Hodnota součtu podmínek geometrickou řadou je demonstrována knihy IX z prvků z Euclida , Věta 33 Proposition XXXV, pro celá čísla větší než 1 (ale obecnou metodou). Tvrzení uvádí, že při geometrickém postupu jsou rozdíly mezi prvním a druhým členem na jedné straně a prvním a posledním členem na druhé straně úměrné prvnímu členu a součtu všech předchozích výrazů poslední. Buď v algebraickém jazyce