Exotická sféra

V matematiky , a přesněji v diferenciální topologii , An exotické koule je rozdíl potrubí M , který je homeomorphic , ale ne diffeomorphic , na standardní Euclidean n -sphere . Jinými slovy, M je koule z hlediska jejích topologických vlastností, ale její diferenciální struktura (která definuje například pojem tečného vektoru ) není obvyklá struktura, proto adjektivum „exotické“.

Úvod

N- jednotka koule , S n , je množina všech n + 1-tic ( x 1 , x 2 , ... x n + 1 ) reálných čísel takové, že x 1 2 + x 2 2 +. .. + x n + 1 2 = 1. ( S 1 je kruh; S 2 je (obvyklá) koule se středem počátku a poloměrem 1). Z topologického hlediska , prostor X je n -sphere případě, že je kontinuální bijection mezi X a n koule jednotky.

V diferenciální topologii je vyžadována přísnější podmínka: bijekce musí být „plynulá“, to znamená, že musí mít ve všech bodech derivace jakéhokoli řádu. Přesný pojem derivát, v této souvislosti je třeba definici struktury diferenciálního potrubí , které poskytují X s lokální mapy , to znamená, že s (místní) souřadnicových systémů, který by splňoval podmínky slučitelnosti mezi nimi; pak dokážeme, že existence spojitých derivátů prvního řádu je dostatečná pro to, abychom mohli vytvořit hladkou bijekci v předchozím smyslu.

V roce 1956 John Milnor ukázal, na rozdíl od toho, co se do té doby předpokládalo, že na 7-sféře mohou existovat různé souřadnicové systémy, ekvivalentní ve smyslu kontinuity, ale nikoli diferencovatelnosti. Následně byly učiněny pokusy objasnit otázku existence a počtu těchto „exotických“ struktur, ale získané výsledky jsou stále dílčí. Na sférách dimenze 1, 2, 3, 5, 6, 12 nebo 61 tedy neexistuje žádná exotická struktura; v ostatních případech (například pro n = 8 nebo 14) existuje pouze jedna struktura odlišná od obvyklé struktury, zatímco pro další dimenze (například n = 15) je známo několik tisíc. Nakonec zůstává otázka existence exotických struktur ve 4 sféře v roce 2017 důležitým otevřeným problémem.

Monoid diferenciálních struktur

Monoid S n diferenciálních struktur z n -sphere je sada ekvivalence tříd diferenciálních potrubí homeomorphic k n -sphere, považovány až difeomorfismus (udržování orientace); zákon složení mezi (třídami ekvivalence) odrůd je spojeným součtem . Pokud n ≠ 4, tento monoid S n je konečná skupina abelian , izomorfní do skupiny Θ n o h -cobordism tříd n -homotopy kuliček (en) . O monoidu S 4 není známo téměř nic , kromě toho, že je konečný nebo spočetný (i když se předpokládá, že je nekonečný) , a že je to abelian; na toto téma viz část „Exotické koule dimenze 4…“ . Ve skutečnosti jsou všechny homotopické n- koule homeomorfní k n- sféře: jedná se o zobecněný Poincarého dohad , který předvedl Stephen Smale v dimenzích větších než 4, Michael Freedman v dimenzi 4 a Grigori Perelman v dimenzi 3. Na druhou stranu v dimenzi 3 Edwin E. Moise (en) prokázal, že jakákoli topologická odrůda má v podstatě jedinečnou diferenciální strukturu , takže monoid S 3 je triviální .

Skupina Θ n má cyklickou podskupinu bP n +1 , představovanou n- hraničními sférami paralelizovatelných variet . Struktury bP n +1 a kvocientu Θ n / bP n +1 jsou popsány v článku Kervairea a Milnora, který hrál důležitou roli ve vývoji teorie chirurgie . Ve skutečnosti lze nyní tyto výpočty formulovat pomocí přesné sekvence chirurgického zákroku (in) .

Skupina bP n +1 je triviální, pokud n je sudé. Pokud n má tvar 4 m +1, je řádu 1 nebo 2; zejména je řádu 1, pokud n je 1, 5, 13, 29 nebo 61, a Browder prokázal, že je řádu 2, pokud m nemá tvar 2 k –1. Nakonec je pořadí bP 4 n (pro n ≥ 2)

2 ^ {{2n-2}} (2 ^ {{2n-1}} - 1) B ~

kde B je čitatel | 4 B 2 n / n |, B 2 n je Bernoulliho číslo .

Skupinu kvocientů Θ n / bP n +1 lze popsat pomocí stabilních homotopy skupin koulí modulo obraz J-homomorfismu (en) . Konkrétně jde o injekci

{\ displaystyle \ Theta _ {n} / bP_ {n + 1} \ to \ pi _ {n} ^ {S} / J \,}

kde π n S je n -tá stabilní homotopická skupina a J je obrazem J- homomorfismu. Browder ukázal, že tato injekce je ve skutečnosti izomorfismem, pokud n není ve formě 2 k - 2, a že pokud n je této formy, obraz této injekce je celá skupina nebo podskupina indexu 2; ve skutečnosti jde o podskupinu indexu 2 v případě prvních hodnot této formy, kde n je 2, 6, 14, 30 nebo 62. Použití invariantu Kervaire (en) povoleno Mike Hill, Michael Hopkins a Doug Ravenel, aby ukázali, že předchozí seznam byl úplný (a tedy že pro ostatní hodnoty n byla injekce izomorfismem) s možnou výjimkou případu n = 126.

Pořadí skupiny Θ n je uvedeno v této tabulce pocházející z ( Kervaire a Milnor 1963 ); to odpovídá A001676 sady na OEIS

Rozměr č	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
řád Θ n	1	1	1	1	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16	523264	24
bP n +1	1	1	1	1	1	1	28	1	2	1	992	1	1	1	8128	1	2	1	261632	1
Θ n / bP n +1	1	1	1	1	1	1	1	2	2 × 2	6	1	1	3	2	2	2	2 × 2 × 2	8 × 2	2	24
π n S / J	1	2	1	1	1	2	1	2	2 × 2	6	1	1	3	2 × 2	2	2	2 × 2 × 2	8 × 2	2	24

Další vstupy lze vypočítat pomocí předchozích výsledků a tabulky homotopy skupin koulí .

Výslovné příklady exotických sfér

Jeden z prvních příkladů exotické koule objevený Milnorem pochází z následující konstrukce: pořízením dvou kopií B 4 × S 3 , které mají pro hranici S 3 × S 3 , je slepíme identifikací bodu ( a , b ) jedné z hranic s bodem ( a , a 2 ba −1 ) na druhé straně (kde je každý S 3 identifikován se skupinou jednotkových čtveřic ). Výsledné potrubí má přirozenou diferenciální strukturu a je homeomorfní k S 7 , ale není pro něj difeomorfní: Milnor ukázal, že to není hranice diferenciálního potrubí dimenze 8, jejíž čtvrté číslo Betti by bylo nula, a nemá difeomorfismus k sobě obrácení orientace, dvě vlastnosti ukazující, že se nejedná o standardní 7-kouli; také ukázal, že má Morseovu funkci, která připouští pouze dva nedegenerované kritické body, což je charakteristické pro topologickou sféru.

Následně Brieskorn ukázaly, že průsečík komplexu potrubí tvořena body C, 5 tak, že

a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {3} + e ^ {{6k-1}} = 0 \

s malou koulí kolem počátku, pro k = 1, 2, ..., 28, dává 28 možných diferenciálních struktur na orientované 7 kouli.

Zkroucené koule

Vzhledem k difeomorfismu f : S n −1 → S n −1 , zachování orientace, identifikace hranic dvou kopií standardního disku D n pomocí f konstruuje potrubí zvané zkroucená koule ( torze f ). Je homotopický k n-standardní sféře, protože f je homotopický k identitě (je 1. stupně), ale není obecně odlišný od standardní sféry.

Poznamenat, $y n$ skupinu n- zakroucených koulí (na připojené součet operace ), máme přesný sled

\ pi _ {0} \, {\ text {Diff}} ^ {+} (D ^ {n}) \ to \ pi _ {0} \, {\ text {Diff}} ^ {+} (S ^ {{n-1}}) \ to \ Gamma _ {n} \ na 0. \, \!

Stephen Smale prokázal, že pro n > 4 je jakákoli exotická koule odlišná od zkroucené koule. Skupina $Γ n$ zkroucených koulí je tedy v tomto případě izomorfní se skupinou Θ n . Je tomu tak také pro n = 3, protože je celkem snadné ukázat, že $Γ 3$ je triviální, nebo podle nyní vyřešeného Poincarého dohadu je také Θ 3 . Je tomu tak také pro n = 4, protože (srov. Výše) Θ 4 je triviální nebo - podle obtížné věty Jeana Cerfa - také $Γ 4$ . Upozorňujeme však, že to neposkytuje žádné informace o možné trivialitě monoidu $S 4$ .

V roce 1970, John Hart prokázaly teorém pseudo-isotopy (v) , což znamená, že je triviální skupina, pokud $n$ je větší než nebo rovno 6, tak, že pro takové $n$ , . $\ pi _ {0} \, {\ text {Diff}} ^ {+} (D ^ {n})$ $\ Gamma _ {n} \ simeq \ pi _ {0} \, {\ text {Diff}} ^ {+} (S ^ {{n-1}})$

4-dimenzionální exotické koule a Gluckovy zvraty

Není známo, zda je na 4-kouli exotická hladká struktura. Hypotéza, že neexistuje, je známá jako „Poincarého diferenciální domněnka“ ( Poincarého domněnka ); diskutuje o něm Michael Freedman a další autoři, kteří to považují za nepravdivé.

Tyto Gluck nitě umožňují stavět žádné exotické 4-sfér: se získají odstraněním trubicové sousedství 2-koule S z S 4 , a lepením to s difeomorfismus své hranice S x S 1 . Výsledek je vždy homeomorfní k S 4 , ale často se ignoruje, zda je pro něj difeomorfní (to je skutečně případ, když S není svázané nebo je výsledkem rotace uzlu 3-sféry, ale existuje mnoho další způsoby, jak spojit 2 sféru v S 4 , u nichž častěji není známo, zda je výsledkem exotická sféra nebo ne).

V roce 2009 Abkulut prokázal, že určitá rodina kandidátů na exotické 4 sféry, kterou vytvořili Cappell (in) a Shaneson, byla ve skutečnosti vytvořena jako standardní sféra.

Historický

První exotické koule byly postaveny v roce 1956 Johnem Milnorem v dimenzi 7 jako vlákna z vlákna S 3 a základny S 4 . Ukázal, že na 7 sféře je nejméně 7 odlišných rozlišitelných struktur. V roce 1959 Milnor ukázal, že soubor tříd difeomorfismů exotických (orientovaných) sfér je netriviálními prvky abelianského monoidu (pro spojenou částku ) a že tento monoid je konečnou skupinou v jakékoli jiné dimenzi než 4. V roce 1963 úplnější klasifikace exotických sfér způsobená Kervairem a Milnorem ukázala, že v případě orientovaných 7 sfér je tato skupina cyklickou skupinou řádu 28. Obecně nevíme, pro které hodnoty rozměr exotických sfér (ani a fortiori kolik jich je); tedy v dimenzi 12 není žádný; zejména v případě dimenze 4 je v roce 2017 otevřeným problémem.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Exotic sphere “ ( viz seznam autorů ) .

Poznámky

Kervaire a Milnor 1963
Browder 1969
Milnor 1956 , oddíl 3
Brieskorn 1966b (viz také Hirzebruch a Mayer 1968 )
Milnor 1959b
Milnor 2011 .
Freedman a kol. 2010
Gluck 1962
Akbulut 2009
Milnor 1956
Milnor 1959

Reference

(en) Selman Akbulut (en) , homotopické koule Cappell-Shaneson jsou standardní ,2009, arXiv : 0907.0136
(en) Egbert V. Brieskorn , „ Příklady singulárních normálních komplexních prostorů, které jsou topologickými varietami “ , PNAS , sv. 55, n O 6,1966, str. 1395–1397 ( DOI 10.1073 / pnas.55.6.1395 , matematické recenze 0198497 )
(de) Egbert Brieskorn , „ Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten “ , vynález. Matematika. , sv. 2, n o 1, 1966b, s. 1–14 ( DOI 10.1007 / BF01403388 , matematické recenze 0206972 )
(en) William Browder , „ Kervaireův invariant zarámovaných potrubí a jeho zobecnění “ , Ann. matematiky. , sv. 90, n o 1,1969, str. 157–186 ( DOI 10.2307 / 1970686 , JSTOR 1970686 , matematické recenze 0251736 )
(en) Michael Freedman , Robert Gompf , Scott Morrison a Kevin Walker , „ Člověk a stroj přemýšlející o plynulém 4-dimenzionálním Poincarém domněnce “ , Quantum Topology , sv. 1, n O 22010, str. 171–208, arXiv : 0906.5177
(en) Herman Gluck , „ Uložení dvou koulí do čtyř sféry “ , Trans. Hořký. Matematika. Soc. , sv. 104, n O 21962, str. 308–333 ( DOI 10.2307 / 1993581 , JSTOR 1993581 , matematické recenze 0146807 )
(de) Friedrich Hirzebruch a Karl Heinz Mayer , O (n) -Mannigfaligkeiten, Exotische Sphären und Singularitäten , sv. 57, Springer-Verlag ,1968( DOI 10.1007 / BFb0074355 , Math Reviews 0229251 )Tato kniha popisuje vztahy mezi exotickými sférami a singularity složitých variet.
(en) Michel A. Kervaire a John W. Milnor , „ Skupiny sfér homotopy: já “ , Ann. matematiky. , sv. 77, n o 3,1963, str. 504–537 ( číst online )Tento článek popisuje skupinu diferenciálních struktur n- koule pro n > 4. Následující článek, Groups of Homotopy Spheres: II , bohužel se nikdy neobjevil, ale Levine's Reading Notes obsahuje výsledky, které by tam musely být.
(en) JP Levine (en) , „Přednášky o skupinách homotopy sfér“ , v algebraické a geometrické topologii , Springer-Verlag,1985( DOI 10.1007 / BFb0074439 , Math Reviews 8757031 ) , s. 62–95
(In) John W. Milnor , „ We manifolds homeomorphic to the 7-sphere “ , Ann. matematiky. , sv. 64, n O 21956, str. 399–405 ( DOI 10.2307 / 1969983 , JSTOR 1969983 , matematické komentáře 0082103 )
John W. Milnor , „ Sumy diferencovatelných variet a diferencovatelných struktur sfér “, Bulletin Mathematical Society of France , sv. 87,1959, str. 439–444 ( Math Reviews 0117744 , číst online )
(en) John W. Milnor , „ Diferencovatelné struktury na sférách “ , Amer. J. Math. , sv. 81, n o 4, 1959b, str. 962–972 ( DOI 10.2307 / 2372998 , JSTOR 2372998 , matematické recenze 0110107 )
(en) John Milnor , „ Klasifikace (n-1) propojených 2n-dimenzionálních variet a objev exotických sfér “ , Annals of Mathematics Studies , sv. 145: Průzkumy o chirurgické teorii,2000, str. 25–30 ( Matematické recenze 1747528 ).
(en) John Milnor , „Před padesáti lety: topologie potrubí v 50. a 60. letech“ , v poznámkách k přednášce z 15. postgraduální letní školy Park City Mathematics Institute (PCMI) konané v Park City, UT, léto 2006 , Providence, RI , Amer. Matematika. Soc., Sb. "IAS / Park City Math." Ser. „( N O 15),2009( ISBN 978-0-8218-4766-4 , Math Reviews 2503491 , číst online ) , s. 9–20
(In) John W. Milnor , „ Diferenciální topologie o 46 let později “ , Notices Amer. Matematika. Soc. , sv. 58, n O 6,2011, str. 804-809 ( číst online )
(en) Yu. B. Rudyak , „ Milnorská sféra“ , Michiel Hazewinkel , Encyklopedie matematiky , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , číst online )

externí odkazy

(en) „ Exotické koule “ ( Archiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Co dělat? ) v atlasu odrůd ( výfuk Atlas )
(en) Domovská stránka exotické sféry na osobní stránce Andrewa Ranickiho