Ohraničené apartmá

V matematiky , je sekvencí se říká, že omezená v případě, že soubor jeho hodnot je omezená část .

Příklady

Skutečná sekvence ( u n ), je omezená, pokud zůstává mezi dva pevné hodnoty m a M :

{\ displaystyle \ existuje (m, M) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad m \ leq u_ {n} \ leq M}

(jinými slovy, v případě, že horní hranice a dolní mez množiny její podmínky jsou omezené), nebo v ekvivalentním způsobem, je-li jeho absolutní hodnota je zvýšena o konstantní M :

{\ displaystyle \ existuje M \ in \ mathbb {R} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad | u_ {n} | \ leq M.}

Aby byla posloupnost ohraničena, stačí, aby byla „od určité hodnosti“. Ve skutečnosti, pokud | x n | ≤ K pro všechna n > N pak | x n | ≤ M pro všechna n , nastavením M = max (| x 0 |, | x 1 |,…, | x N |, K ).

Jakákoli konvergentní posloupnost je následně ohraničena (například posloupnost u n = (–1) n / ( n + 1), která konverguje k 0, zůstává mezi u 1 = –1/2 a u 0 = 1).
Jakákoli skutečná posloupnost, která má tendenci k $\pm \infty,$ je neomezená (například: u n = 2 n , která má tendenci k $+ \infty$ ).
Pro non- monotónní sekvenci jsou převrácené hodnoty nepravdivé:
- ohraničená posloupnost nemusí být nutně konvergentní ( protiklad : u n = (–1) n je ohraničená - zvětšena o 1 a zmenšena o –1 - nepřipouští limit);
- aby posloupnost měla sklon k $\pm \infty$ , nestačí, aby byla neomezená (protipříklad: posloupnost, která má hodnotu 0 pro n sudých a n pro n lichých).

Posloupnost komplexních čísel u n = x n + $i$ y n je omezena, pokud je její modul omezen konstantou nebo ekvivalentním způsobem, pokud jsou dvě reálné posloupnosti ( x n ) a ( y n ) tvořené její skutečnou částí a jeho imaginární část jsou ohraničené.

Hodnoty adheze pro skutečně ohraničenou sekvenci

Jeden z velkých zájmů ohraničených sekvencí spočívá ve skutečnosti, že z jakékoli ohraničené skutečné sekvence můžeme extrahovat konvergentní subsekvenci . Tato nemovitost, úzce spojená s nemovitostí Borel-Lebesgue , se někdy nazývá „vlastnost Bolzano-Weierstrass“. Různé důkazy lze nalézt v článku Bolzano-Weierstrassova věta .

Příklady :

je-li x n = (–1) n , potom subsekvence ( x 2 n ) členů sudého pořadí konverguje k 1 a subsekce ( x 2 n +1 ) členů lichého pořadí konverguje k –1;
jeden nemusí být schopen vysvětlit takovou posloupnost. Například existují striktně rostoucí celá čísla n 1 , n 2 , ..., n k , ... taková, že sin ( n k ) konverguje, ale nemáme výraz .
nejjednodušší situace je ta, kde je omezená posloupnost více monotónní: v tomto případě je již konvergentní , podle monotónní limitní věty

Související článek

Vesmír ℓ ∞