Bolzano-Weierstrassova věta

V topologii z metrických prostorů se Bolzano-Weierstrassova věta poskytuje sekvenční charakteristiku z kompaktních prostorů . Název je odvozen od matematiků Bernarda Bolzana a Karla Weierstrassa .

Výrok věty

Metrizable prostor $X$ je kompaktní (ve smyslu na Borel-Lebesgue axiomu ), pokud (a pouze pokud) jakékoliv sekvence prvků $X$ připouští hodnotu adheze v $X$ , nebo ekvivalentním způsobem, připouští subsekvenci , která konverguje k A člen $X$ .

Toto prohlášení lze rozdělit na:

Dvě školy, které zaručují „pouze pokud“:
- V prostoru (ne nutně měřitelném) kompaktním nebo dokonce jen spočetně kompaktním, každá sekvence připouští hodnotu adheze:viz článek „ Spočitatelně kompaktní prostor “.
- V jakémkoli měřitelném prostoru nebo dokonce jen s počitatelnými základnami sousedství jsou hodnoty adherence sekvence limity jejích konvergentních podsekvencí:viz článek „ Hodnota adheze “.
Samotné prohlášení, „pokud“:

Jakýkoli postupně kompaktní měřitelný prostor je kompaktní.

(Sekvenčně kompaktní prostor je prostor, ve kterém každá sekvence připouští konvergentní subsekvenci.)

Demonstrace

Jakýkoli postupně kompaktní metrický prostor X je zjevně prekompaktní , tj . X připouští překrytí konečným počtem koulí o poloměru r , skutečně, postupná kompaktnost znamená nemožnost existence nekonečna bodů vzdálených dva dva o více než r . ${\ displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}$

Odvodit, že je kompaktní, postačí použít obecné vazby mezi různými pojmy kompaktnosti : od X prekompaktní, to je tedy oddělitelný na spočetnou základě proto z Lindelöf , to znamená, že všechny otevřené krytina z X připouští počitatelných nedostatečný nápoj . Pak opět pomocí postupné kompaktnosti má konečný podvýkon (pokud ne, lze si vybrat pro všechna n bod a pokračování by nemělo hodnotu adheze). $\ left (U_ {i} \ right) _ {{i \ in I}}$ ${\ displaystyle \ left (V_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ left (V_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle x_ {n} \ notin \ cup _ {k <n} V_ {k}}$ $(x_ {n})$

Dalším konkrétnějším přístupem je použití následujícího lemmatu, které je ekvivalentní existenci Lebesgueových čísel (de) překrytí.

Lemma - Pokud je otevřený kryt sekvenčně kompaktního metrického prostoru X , pak $\ left (U_ {i} \ right) _ {{i \ in I}}$

{\ displaystyle \ existuje r \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ forall x \ in X \ quad \ existuje i (x) \ v I \ quad B \ left (x, r \ vpravo) \ podmnožina U_ {i (x)}}

to znamená, že existuje $r > 0$ , takže jakákoli otevřená koule o poloměru $r$ je zahrnuta v alespoň jedné z otevřených kuliček překrytí.

Demonstrace

Podle absurdity: Předpokládejme, že neexistuje přísně pozitivní reálné r uspokojující vlastnost, pak pro všechna r existuje otevřená koule o poloměru r, která není zahrnuta v jednom z . Zejména pak můžeme uvažovat o existenci sekvence , takže by . Prostor je postupně kompaktní, má sekvence neprázdná přilnavost, existuje posloupnost konvergující k prvku x o X . Tam nutně existuje prvek přesahu tak, že je toto otevřené být sousedství x , proto existuje takové, že . S vědomím, že posloupnost konverguje k x a tedy, že pro všechna n z určité hodnosti a že navíc posloupnost konverguje k 0, očekáváme, že pro všechna n z určité hodnosti v rozporu s definicí z toho, co vyplývá, a tedy hypotéza, která umožňovala postulovat jeho existenci. ${\ displaystyle U_ {i}}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ neg \ existuje i \ v I, B \ left (x_ {n}, {\ frac {1} {n}} \ right) \ podmnožina U_ {i }}$ ${\ displaystyle (x _ {\ phi (n)}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle U_ {i}}$ ${\ displaystyle x \ v U_ {i}}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}$ ${\ displaystyle B (x, r) \ podmnožina U_ {i}}$ ${\ displaystyle x _ {\ phi (n)}}$ ${\ displaystyle d (x, x _ {\ phi (n)}) <r}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ phi (n)}}}$ ${\ displaystyle B \ left (x _ {\ phi (n)}, {\ frac {1} {\ phi (n)}} \ right) \ podmnožina B (x, r) \ podmnožina U_ {i}}$ $x_ {n}$

Nechť $X$ je postupně kompaktní metrický prostor, dokážme, že je kompaktní. Nechť $X$ je otevřený obal a nechť $r je dáno$ lemmatem. Předkompaktností existuje konečná část $Y$ z $X$ taková . Odvodíme pak, že konečná podčeleď pokrývá $X$ . $\ left (U_ {i} \ right) _ {{i \ in I}}$ ${\ displaystyle X = \ bigcup _ {x \ v Y} B \ vlevo (x, r \ vpravo)}$ ${\ displaystyle \ left (U_ {i \ left (x \ right)} \ right) _ {x \ in Y}}$

Prohlášení ve skutečném případě

Z jakékoli ohraničené reálné sekvence můžeme extrahovat konvergentní subsekvenci.

Tato vlastnost je pouze snadnou částí věty („pouze pokud“), aplikovanou na ohraničené uzavřené intervaly ℝ, které jsou kompaktní podle věty Borel-Lebesgue . Stejným způsobem se vztahuje na složité ohraničené sekvence nebo obecněji na ohraničené sekvence vektorů v normovaném vektorovém prostoru konečné dimenze, ale ve skutečném případě můžeme dát další dva přímé důkazy:

extrakcí monotónní subsekvence : každá skutečná sekvence x má monotónní subsekvenci y ( srov. vlastnosti subsekvencí ). Pokud je x omezeno, potom je subsekvence y také y konvergentní, podle monotónní limitní věty ;
od dichotomie .

Poznámky a odkazy

Pro demonstraci viz například Jean-Michel Bony, Kurz analýzy: teorie distribuce a Fourierova analýza , Éditions Ecole Polytechnique,2001( ISBN 978-2-73020775-1 , číst online ) , s. 36nebo Nawfal El Hage Hassan, Obecná topologie a standardizované prostory , Dunod,2018, 2 nd ed. ( ISBN 978-2-10078120-1 , číst online ) , s. 165nebo postupujte podle níže uvedeného odkazu na Wikiversity .
D. Guinin a B. Joppin, MPSI analýza , Bréal ,2003( číst online ) , s. 126-127.
F. Denizet, MPSI analýza , Nathan ,2008( číst online ) , s. 108.
Důkaz této slabé verze Bolzano-Weierstrassovy věty na Wikiversity .

Podívejte se také

Související článek

Bratrancovo lemma

Bibliografie

Georges Skandalis , topologie a analýza 3 rd rok , Dunod Sb. "Sciences Sup", 2001
Claude Wagschal, Topologie a funkční analýza , Hermann , kol. "Metody", 1995