Skupinové zpoždění a fázové zpoždění

Při zpracování signálu je skupinové zpoždění nebo skupinové zpoždění zpoždění způsobené filtrem amplitudové obálky pro úzkopásmový signál v sekundách . Fázové zpoždění je zpoždění (v sekundách) každé frekvenční složky vypočtené z fázové odezvy filtru. Skupinové zpoždění a fázové zpoždění jsou obecně závislé na frekvenci, s výjimkou lineárního fázového filtru, jehož skupinové a fázové zpoždění jsou konstantní a jsou si stejné.

Matematicky se skupinové zpoždění a fázové zpoždění počítají podle vzorců ${\ displaystyle \ tau _ {g} (\ omega)}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega)}$

{\ displaystyle \ tau _ {g} (\ omega) = - {\ frac {d \ phi} {d \ omega}} (\ omega) \}

{\ displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega) = - {\ frac {\ phi (\ omega)} {\ omega}} \}

kde označuje fázi přenosové funkce jako funkci pulzace . ${\ displaystyle \ phi (\ omega)}$

Nadace

Libovolný lineární systém zavádí zpoždění (nebo zpoždění) na každou z frekvenčních složek signálu. Pokud není systém lineární ve fázi , je toto zpoždění u každé frekvenční složky jiné. Variace tohoto zpoždění způsobí zkreslení signálu (fázové zkreslení), protože každá složka není zpožděna stejným způsobem. Tato zkreslení jsou viditelná nelinearitami grafu fáze Bodeho diagramu a lze je kvantifikovat změnami skupinového zpoždění a fázového zpoždění vzhledem k frekvenci.

Fázové zpoždění má nejpřímější matematické zdůvodnění. Pro harmonický vstup

{\ displaystyle x (t) = e ^ {i \ omega t} \}

východ je

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} y (t) = | H (i \ omega) | \ e ^ {i \ left (\ omega t + \ phi (\ omega) \ right)} \ \\\ end { zarovnáno}} \}

Pokud si přejeme interpretovat fázový posun z hlediska zpoždění, identifikujeme se , což vede k . Ignorováním shody zjistíme ${\ displaystyle e ^ {i \ left (\ omega t + \ phi (\ omega) \ right)}}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ left (\ omega (t- \ tau _ {\ phi} (\ omega)) \ right)}}$ ${\ displaystyle - \ omega \ tau _ {\ phi} (\ omega) = \ phi (\ omega) [2 \ pi]}$

{\ displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega) = - {\ frac {\ phi (\ omega)} {\ omega}}.}

Čas propagace skupiny je interpretován zvážením několika složek frekvence. Bereme jako vstupní signál vlnový paket lokalizovaný v čase a frekvenci kolem pulzu . Ve frekvenční doméně lze signál zapsat jako $\ omega_0$

{\ displaystyle {\ hat {x}} (\ omega) = {\ hat {A}} (\ omega - \ omega _ {0})}

kde je Fourierova transformace obálky . Za předpokladu, že je soustředěna kolem 0, je výstup filtru aproximován ve frekvenční doméně o ${\ displaystyle {\ hat {A}} (\ omega)}$ $Na)$ ${\ displaystyle {\ hat {A}} (\ omega)}$

{\ displaystyle {\ hat {y}} (\ omega) \ přibližně | H (i \ omega _ {0}) | {\ hat {A}} (\ omega - \ omega _ {0}) e ^ {i \ left [\ phi (\ omega _ {0}) + {\ frac {d \ phi} {d \ omega}} (\ omega _ {0}) \, \ cdot (\ omega - \ omega _ {0} ) \ že jo]}}

Jeden neodhalil člen řádu 1 týkající se modulu, který zde není zajímavý (jeden tedy ignoruje zkreslení amplitudy). Tato aproximace je stále psána: ${\ displaystyle | H (i \ omega) |}$

{\ displaystyle {\ hat {y}} (\ omega) \ přibližně H (i \ omega _ {0}) {\ hat {A}} (\ omega - \ omega _ {0}) e ^ {i {\ frac {d \ phi} {d \ omega}} (\ omega _ {0}) \, \ cdot (\ omega - \ omega _ {0})}}

Proměnlivý člen však odpovídá Fourierově transformaci přeložené obálky s časem šíření skupiny definovaným pomocí ${\ displaystyle {\ hat {A}} (\ omega - \ omega _ {0}) e ^ {i {\ frac {d \ phi} {d \ omega}} (\ omega _ {0}) \, \ cdot (\ omega - \ omega _ {0})}}$ ${\ displaystyle A (t- \ tau _ {g})}$ ${\ displaystyle \ tau _ {g}}$

{\ displaystyle \ tau _ {g} = - {\ frac {d \ phi} {d \ omega}} (\ omega _ {0}) \}

${\ displaystyle \ tau _ {g}}$ se tedy interpretuje jako zpoždění vlnového paketu způsobeného působením filtru.

Podívejte se také

Besselův filtr: IIR filtr přibližující lineární fázový filtr
Podfázový filtr: Filtr, který pro pevnou odezvu zesílení minimalizuje skupinové zpoždění
Rychlost skupiny a rychlost fáze : Šíření pohybující se vlny lze považovat za působení zpožďovací linky, jejíž hodnota zpoždění závisí na poloze. Pro monochromatické vlny toto zpoždění se na vlnočtu , fázové rychlosti a vzdálenosti k rovině ve směru vlnového vektoru. V tomto případě je fázová rychlost vzdálenost dělená fázovým zpožděním. Podobně je rychlost skupiny rozdělena na dobu šíření skupiny. ${\ displaystyle {\ frac {d} {v _ {\ phi} (\ omega)}} = {\ frac {k (\ omega) d} {\ omega}}}$ ${\ displaystyle k {(\ omega)}}$ $v _ {\ phi}$ $d$ ${\ displaystyle \ phi = 0}$ $d$ $d$

Reference

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Skupinové zpoždění a fázové zpoždění “ ( viz seznam autorů ) .