Chevalleyova varování věta je věta z algebry , který zajišťuje, že na konečného pole , některé rovnice polynomu v dostatečném množství proměnných mají řešení. O něco dřívější slabší verze, Chevalleyova věta , demonstrovala Artin a Dicksonovu domněnku, že každé konečné pole je kvazi-algebraicky uzavřeno .
Domníváme se, že nenulové polynomy P j ( x 1 , ..., x n ) z příslušných stupňů d j , s koeficienty v konečného pole F z charakteristické p . Ano
tak :
Hypotéza je optimální v tom smyslu, že na jakémkoli konečném poli F a pro všechna n existují polynomy v n proměnných, jejichž součet stupňů se rovná n a z nichž (0,…, 0) je jediný společný kořen, pro příklad n polynomy x 1 , ..., x n , nebo polynom stupně n dána normou o x 1 1 + x n n , kde k tvoří další báze v prodloužení stupně n z F .
Chevalleyova věta je přeformulována tím, že říká, že pozice Tsen (en) jakéhokoli konečného pole se rovná 1.
Tím, označující q mohutnost z F máme (je-li q ≠ 2), pro jakékoliv přirozené číslo i < q - 1 :
(i pro i = 0, s konvencí 0 0 = 1 přizpůsobenou tomuto kontextu), takže pro jakýkoli polynom P ( x 1 ,…, x n ) stupně < n ( q - 1),
(ve skutečnosti, podle linearity , to stačí zkontrolovat na základě monomials ).
To platí pro polynom
protože jeho stupeň je
Nyní tento polynom má hodnotu 1 v každé společný kořen P j a 0 jinde. Počet společných kořenů je tedy nula modulo p .
V Chevalleyho teorému má případ rodiny polynomů redukovaných na homogenní polynom za následek: každé konečné pole je kvazi-algebraicky uzavřeno, což je skutečnost, kterou Artin předpokládal v roce 1935. Motivací pro tuto domněnku byla poznámka, že Brauerova skupina kvazi-algebraicky uzavřené pole je triviální , spolu se skutečností, že konečného pole také, podle Wedderburnovy věty .
Věta Ax-Katz, kterou prokázal James Ax v případě jediného polynomu a poté Nicholas Katz v obecném případě, přesněji zajišťuje, že počet společných kořenů P j je dělitelný q b ( q také označuje kardinál pole F ), kde b je celočíselná část o více než
Tento výsledek je optimální v tom smyslu, že pro všechny F , n a d j , existují P j stupňů d j , pro které je počet společných kořenů je q b .
Má výklad v étale cohomology , jako výsledek dělitelnosti na inverzích nul a pólech místní funkce zeta : stejná síla q rozděluje každé z těchto algebraických celých čísel .