Věta Modularita (dříve Taniyamova-Weil domněnka nebo Shimura-Taniyamova-Weil domněnka nebo Shimura-Taniyama domněnka ) uvádí, že pro každou eliptické křivky na ℚ existuje modulární forma váhy 2 pro podskupiny kongruenčních y 0 ( N ), které mají stejnou funkci L jako eliptická křivka.
Hodně z tohoto výsledku, dostatečného pro odvození Fermatovy poslední věty , prokázal Andrew Wiles . Christophe Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond a Richard Taylor na základě svých technik ošetřili zbývající případy v roce 1999.
Tato věta je velmi zvláštním případem domněnek uvedených Robertem Langlandsem spojujícím vzory a automorfní reprezentace .
The (afinní část) eliptické křivky E definované na ℚ (dále jen pole z racionálních čísel ) je dán rovnicí typu
kde koeficienty jsou celá čísla. Můžeme zvolit takovou minimální rovnici (tj. Diskriminační je minimální).
Pokud p je prvočíslo , můžeme snížit modulo na P koeficienty tohoto minimálního rovnice definující E ; pro všechny hodnoty p , s výjimkou konečného čísla, redukovaná rovnice definuje eliptickou křivku přes konečné pole F p . Redukovaná rovnice nemá n p řešení. Poté se můžeme považovat výsledek byl p = p - n p , který je důležitým invariant eliptické křivky E .
Kromě toho modulární forma také vede k řadě koeficientů. Eliptické křivky tak, že sekvence s p souhlasí s informacemi z modulární forma se nazývá modulární . Věta o modularitě předpovídá, že:
"Všechny eliptické křivky na ℚ jsou modulární ." "Slabá verze byla vyslovena od Yutaka Taniyama vZáří 1955, během problémové relace na konferenci v Tokiu : zeptal se, zda je možné najít tvar, jehož Mellinova transformace by poskytla funkci Hasse-Weil L eliptické křivky. V sérii článků vytvořil Goro Shimura pro každou modulární formu obdařenou dobrými vlastnostmi (zejména hmotností 2 a racionálními koeficienty) adekvátní eliptickou křivku, to znamená, že vytvořil polovinu slovníku mezi „eliptickým“ a „modulárním“. Taniyama spáchal sebevraždu v roce 1958.
Tuto domněnku přeformuloval André Weil v šedesátých letech, kdy ukázal, že modularita bude výsledkem jednoduchých vlastností funkcí Hasse-Weil L. Tato formulace učinila domněnku přesvědčivější a Weilovo jméno bylo s ní spojováno po dlouhou dobu, někdy výlučně. Rovněž se stala důležitou součástí programu Langlands .
V 60. letech Yves Hellegouarch studoval vlastnosti eliptických křivek spojených s protiklady k Fermatově poslední větě . Oživení v roce 1980 podle Gerhard Frey a specifikované (in) od Jean-Pierre Serre , tato myšlenka dovoleno Ken Ribet prokázat, že Shimura-Taniyama-Weil těchto křivek "z Hellegouarch-Frey" implikované poslední větu od Fermat. V roce 1994 Andrew Wiles s pomocí svého bývalého žáka Richarda Taylora demonstroval speciální případ domněnky (případ polostabilních eliptických křivek ), který byl dostatečný pro důkaz Fermatovy poslední věty.
Úplnou domněnku nakonec v roce 1999 předvedli Breuil, Conrad, Diamond a Taylor na základě myšlenek Wilesa.
Můžeme odvodit určitý počet výsledků v souladu s Fermatovou poslední větou. Například: „no cube is a sum of two n-th powers that are prime to each other with n ≥ 3“.
v Březen 1996Wiles sdílel Cenu vlka s Robertem Langlandsem . Ačkoli žádný z nich nepředvedl úplnou domněnku, bylo uznáno, že stanovili klíčové výsledky vedoucí k jejímu předvedení.
La Serreova domněnka (ne) „úrovně 1“, která sama ukázala, že povede Šimuru-Taniyama-Weila (přímo) k Fermatově poslední větě, demonstrovali v roce 2005 Chandrashekhar Khare a Jean-Pierre Wintenberger na základě práce Wiles . Obecný případ prokázali v roce 2008.