Teorie rozdíl Galois je odvětví matematiky , která má objekt studii o diferenciálních rovnic pomocí algebraických metod , zejména z metod vyplývající z teorie Galois pro algebraických rovnic .
Připouští několik různých formulací. Nejzákladnější je teorie Picarda-Vessiota (in) . Jedná se o lineární diferenciální rovnice a sestává z konstrukce teorie rozšíření diferenciálních polí analogické s klasickou teorií rozšíření polí: základním příkladem je pole racionálních zlomků se složitými koeficienty, opatřenými obvyklou derivací. Pozoruhodně lze definovat analog rozkladných těl dané rovnice, jako v určitém smyslu nejmenší diferenciální pole obsahující řešení rovnice. Diferenciální Galoisova skupina rovnice je poté definována jako skupina automorfismů rozšíření diferenciálního pole. Je přirozeně opatřen strukturou lineární algebraické skupiny a umožňuje získat Galoisovu korespondenci mezi uzavřenými podskupinami pro Zariskiho topologii skupiny Galois a dílčími příponami diferenciálního pole.
V analytickém kontextu, například pokud je základním polem pole racionálních zlomků se složitými koeficienty opatřenými obvyklou derivací, je monodromy skupina holomorfní diferenciální rovnice do izolované singularity přirozeně identifikována s podskupinou skupiny Galois: je definována geometrickou akcí na prostorech řešení. V případě, že singularity jsou pravidelné, jde dokonce o hustou podskupinu pro Zariskiho topologii. To však není obecný výsledek a pro nepravidelné singularity lze identifikovat další analyticky významné podskupiny skupiny Galois (viz Stokesův jev ).
Dalším hlediskem je tzv. Tannakovský úhel pohledu (of) , který spočívá v uvažování již ne samotné skupiny Galois, ale kategorie jejích reprezentací.
Novější vývoj, zejména díky Bernardovi Malgrangeovi a Jean-Pierre Ramisovi , umožňuje definici Galoisovy teorie pro nelineární diferenciální rovnice. Objekt Galois je pak pouze grupoid .
Rozdíl pole jsou údaje o pole K a odvození na K , který splňuje:
Dovolme být diferenciálním tělem. Pole konstant je množina prvků s nulovou derivací. Všimněte si, že je to tělo.
Dovolit a být dvě diferenciální pole. Rozdílová tělo morphism v je morphism tělo v takové, že pro všechny , .
Dovolit být diferenciální pole a rozšíření polí . Říkáme, že se jedná o rozšíření diferenciálních polí, pokud odvození přesahuje a pokud existuje injektivní morfismus diferenciálních polí v .
Zde je několik příkladů diferenciálních polí
PříkladyVe všem, co následuje, určete diferenciální pole, jehož pole konstant je algebraicky uzavřené a má nulovou charakteristiku. Například je vhodná K = ℂ ( t ) opatřená obvyklou derivací.
DefiniceUvažujme lineární diferenciální systém , kde je čtvercová matice s koeficienty v . Rozšíření Picard-Vessiot je rozšíření diferenciálního pole , například:
Následující příklad jasně ukazuje užitečnost třetí podmínky.
PříkladPředpokládejme K = ℂ ( t ) a . Základní matice je a rozšíření Picard-Vessiot je diferenciální pole ℂ (t, exp (t)). Můžeme snadno ověřit, že pole konstant tohoto posledního pole je ℂ. Na druhou stranu, vezmeme-li jako základní matici , kde a uspokojit jako jedinečné vztahy a , pak ℂ (t, u, v) | ℂ (t) není rozšířením Picarda-Vessiota, protože má nulovou derivaci, ale nemá nepatří k ℂ. Jinými slovy, skutečnost, že pole konstant roste, nám brání vidět algebraické vztahy mezi řešeními.
Věta o existenci a jedinečnostiUvažujme lineární diferenciální systém , kde je čtvercová matice s koeficienty v . Systém má rozšíření Picard-Vessiot . Navíc, pokud a jsou dvě rozšíření Picard-Vessiot pro systém , pak existuje izomorfismus diferenciálního pole v .
V následujícím textu určete diferenciální pole, jehož pole konstant je algebraicky uzavřené a má nulovou charakteristiku. Vezměme si diferenciální systém , kde je čtvercová matice velikosti s koeficienty v . Buď rozšíření Picard-Vessiot a buď základní matice pro toto rozšíření.
DefiniceSkupina rozdíl Galois je skupina (na hmotnost kompozice) diferenciálních isomorphisms opouštějících neměnný.
PříkladNechť K = ℂ (t) .
Prostřednictvím těchto dvou příkladů vidíme, že diferenciální Galoisova skupina je algebraická skupina matic. Budeme tuto představu formalizovat.
DefiniceAlgebraické podskupina ze je podskupinou taková, že existují polynomy , jako tehdy a jen tehdy, jestliže .
Máme injective skupiny morphism ze v pomocí aplikace, která posílá do . Máme následující základní větu:
TeorémObraz morfismu popsaného výše je algebraickou podskupinou .